2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(浙江卷)

1、2015年普通高等学校招生全国统一考试浙江文科数学选择题部分(共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015浙江,文1)已知集合P=x|x2-2x3,Q=x|2x4,则PQ=()A.3,4)B.(2,3C.(-1,2)D.(-1,3答案:A解析:因为P=x|x-1或x3,所以PQ=x|3x0”是“ab0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:D解析:当a=-2,b=3时,a+b0,但ab0,但a+b0”是“ab0”的既不充分也不必要条件.4.(2015浙江,文4)设

2、,是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l,m.()A.若l,则B.若,则lmC.若l,则D.若,则lm答案:A解析:若l,又l,由面面垂直的判定定理,得,故选项A正确;选项B,lm或lm或l与m相交或异面都有可能;选项C,或与相交都有可能;选项D,lm或l与m异面都有可能.5.(2015浙江,文5)函数f(x)=x-1xcos x(-x且x0)的图象可能为答案:D解析:因为f(-x)=-x+1xcos(-x)=-x-1xcos x=-f(x),所以f(x)又f()=-1cos =-+10,排除C6.(2015浙江,文6)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间

3、颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且xyz,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m2)分别为a,b,c,且ab1,则f(f(-2)答案:-1226-解析:f(-2)=(-2)2=4,f(f(-2)=f(4)=4+64-6=-1当x1时,f(x)min=0;当x1时,f(x)=x+6x-626-6,当且仅当x=6x,即x=6时,f(x)取最小值26-因为26-6b0)的右焦点F(c,0)关于直线y=bc答案:2解析:设Q(x0,y0),则y解得x因为点Q在椭圆上,所以c2(c化简得a4c2+4c6-a6=0,即4e6+e2-1=0.即4e6-2e4+2e4+e2-

4、1=0,即(2e2-1)(2e4+e2+1)=0.所以e=22三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本题满分14分)(2015浙江,文16)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知tan4+A(1)求sin2Asin2(2)若B=4,a=3,求ABC的面积本题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.满分14分.解:(1)由tan4+A=2,得tan 所以sin2A(2)由tan A=13,A(0,),得sin A=1010,cos A=又由a=3,B=4及正弦定理asinA=bsin由sin C=

5、sin(A+B)=sinA+4得sin 设ABC的面积为S,则S=12absin C=917.(本题满分15分)(2015浙江,文17)已知数列an和bn满足a1=2,b1=1,an+1=2an(nN*),b1+12b2+13b3+1nbn=bn+1-1(nN(1)求an与bn;(2)记数列anbn的前n项和为Tn,求Tn.本题主要考查数列的通项公式、等差和等比数列等基础知识,同时考查数列求和等基本思想方法,以及推理论证能力.满分15分.解:(1)由a1=2,an+1=2an,得an=2n(nN*).由题意知:当n=1时,b1=b2-1,故b2=2.当n2时,1nbn=bn+1-bn,整理得b

6、所以bn=n(nN*).(2)由(1)知anbn=n2n,因此Tn=2+222+323+n2n,2Tn=22+223+324+n2n+1,所以Tn-2Tn=2+22+23+2n-n2n+1.故Tn=(n-1)2n+1+2(nN*).18.(本题满分15分)(2015浙江,文18)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D是B1C1的中点.(1)证明:A1D平面A1BC;(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.本题主要考查空间点、线、面位置关系,直线与平面所成的角等基础知识,同时考查空间想象能力和运算求解能

7、力.满分15分.解:(1)设E为BC的中点,由题意得A1E平面ABC,所以A1EAE.因为AB=AC,所以AEBC.故AE平面A1BC.由D,E分别为B1C1,BC的中点,得DEB1B且DE=B1B,从而DEA1A且DE=A1A,所以AA1DE为平行四边形.于是A1DAE.又因为AE平面A1BC,所以A1D平面A1BC.(2)作A1FDE,垂足为F,连结BF.因为A1E平面ABC,所以BCA1E.因为BCAE,所以BC平面AA1DE.所以BCA1F,A1F平面BB1C1C.所以A1BF为直线A1B和平面BB1C1C所成的角.由AB=AC=2,CAB=90,得EA=EB=2.由A1E平面ABC,

8、得A1A=A1B=4,A1E=14.由DE=BB1=4,DA1=EA=2,DA1E=90,得A1F=72所以sinA1BF=7819.(本题满分15分)(2015浙江,文19)如图,已知抛物线C1:y=14x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点(1)求点A,B的坐标;(2)求PAB的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.本题主要考查抛物线的几何性质,直线与圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方

9、法和综合解题能力.满分15分.解:(1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t),由y=k(x-t),y=14x2消去由于直线PA与抛物线相切,得k=t.因此,点A的坐标为(2t,t2).设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0),由题意知:点B,O关于直线PD对称,故y解得x因此,点B的坐标为2t(2)由(1)知|AP|=t1+t2和直线PA的方程tx-y-t2=点B到直线PA的距离是d=t2设PAB的面积为S(t),所以S(t)=12|AP|d=t20.(本题满分15分)(2015浙江,文20)设函数f(x)=x2+ax+b(a,bR).(1)当b=

10、a24+1时,求函数f(x)在-1,1上的最小值g(a)(2)已知函数f(x)在-1,1上存在零点,0b-2a1.求b的取值范围.本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识,同时考查推理论证能力,分类讨论等分析问题和解决问题的能力.满分15分.解:(1)当b=a24+1时,f(x)=x+a22+当a-2时,g(a)=f(1)=a24+a+当-22时,g(a)=f(-1)=a24-a+综上,g(a)=a(2)设s,t为方程f(x)=0的解,且-1t1,则s由于0b-2a1,因此-2tt+2s1-2tt+2(-1当0t1时,-2t2t+2由于-23-2t2t+20和-所以-23

11、b9-45当-1t0时,t-2t2t+2由于-2-2t2t+20和-3所以-3b0.故b的取值范围是-3,9-45.附:自选模块1.“复数与导数”模块(10分)(1)已知i是虚数单位,a,bR,复数z=1+ai满足z2+z=1+bi,求a2+b2的值.(2)设函数f(x)=(x2+2x-2)ex(xR),求f(x)的单调递减区间.解:(1)由题意得(2-a2)+3ai=1+bi,解得a2=1,b=3a,故a2+b2=10.(2)对f(x)求导,得f(x)=(x2+4x)ex,由f(x)0,解得-4x0,所以f(x)的单调递减区间为(-4,0).2.“计数原理与概率”模块(10分)(1)已知n为正整数,在(1+x)2n与(1+2x3)n展开式中x3项的系