2023届高三数学小题专练-平面向量的线性运算2（含解析）

1、试卷第 =page 5 5页，共 =sectionpages 6 6页试卷第 =page 6 6页，共 =sectionpages 6 6页一、单选题1菱形中，点为中点，则（）AB1CD2在矩形ABCD中，则（）ABCD3如图，在中，则（）ABCD24在矩形ABCD中，则向量的长度为（）ABC12D65如图所示，等腰梯形中，点为线段上靠近的三等分点，点为线段的中点，则（）ABCD6在中，D是AB边上的中点，则=（）ABCD7如图所示，等于（）ABCD8已知点O为ABC的外接圆的圆心，且，则ABC的内角A等于（）A30B60C90D1209如图，D、E、F分别是ABC的边AB、BC、CA的中点，

2、则下列等式中错误的是（）ABCD10在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是（）ABCD11若平面上两点，则过点的直线上满足的点的个数为（）A0B1C2D与直线的斜率有关12设、为非零向量，若，则的取值范围为（）ABCD13化简下列各式：；其中结果为的个数是（）A1B2C3D414已知非零向量，满足，则“”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件15已知点为所在平面内一点，若动点满足，则点一定经过的（）A外心B内心C垂心D重心16若，则的取值范围是（）ABCD17在中，内角所对的边分别为，若则的形状是（）A等腰三角形B等边三角形C等腰直角三角形D钝角

3、三角形18如图，向量，则向量可以表示为（）ABCD19若点M是ABC所在平面内的一点，且满足3，则ABM与ABC的面积之比为（）A12B13C14D2520如图，等腰梯形中，点为线段上靠近的三等分点，点为线段的中点，则（）ABCD二、填空题21已知P，Q分别是四边形ABCD的对角线AC与BD的中点，且是不共线的向量，则向量_.22已知中，边上的高为2，H为上一动点，满足，则的最小值是_23设a，b是不共线的两个向量，已知，若A，B，D三点共线，则k的值为_.24有一东西方向的河流（假设河流宽度一样），一艘快艇从河南岸出发渡河，快艇航行速度的大小为，方向为北偏西，河水的速度为向正东，经过到达北岸

4、，现快艇从北岸返回，速度大小不变，方向为正南，从北岸出发返回南岸的时间是_25已知，则的取值范围为_26给出下列命题：零向量没有确定的方向；在正方体ABCDA1B1C1D1中，；若向量与向量的模相等，则，的方向相同或相反；在四边形ABCD中，必有.其中正确命题的序号是_.27在平行四边形中，、为对角线的三等分点，设，用、表示，则_.28两个大小相等的共点力与，若当它们的夹角为时合力大小为，则当它们的夹角为时合力大小为_29给出下列命题：若同向，则有；与表示的意义相同；若不共线，则有；恒成立；对任意两个向量，总有；若三向量满足，则此三向量围成一个三角形其中正确的命题是_填序号30设是平面内两个不

5、共线的向量，若A，三点共线，则的最小值是_答案第 = page 15 15页，共 = sectionpages 15 15页答案第 = page 14 14页，共 = sectionpages 15 15页参考答案：1B【分析】由线性运算以及数量积的运算性质得，再根据菱形的几何关系，则为等边三角形，所以，代入数量积公式即可得解.【详解】因为菱形中，所以，因为点为中点，则，故选：B.2C【解析】由平面向量的线性运算可得，再由平面向量数量积的运算法则计算即可得解.【详解】由题意作出图形，如下图， 所以.故选：C.3A【分析】根据平面向量基本定理，平面向量的线性运算即可求解【详解】解：在中，则，又，

6、故选：A4B【分析】结合向量运算求得正确答案.【详解】因为，所以的长度为的模的2倍又，所以向量的长度为故选：B5A【分析】利用平面向量的加法和减法以及平面向量的基本定理求解.【详解】，故选：A.6C【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.【详解】故选：C【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.7B【分析】直接由平面向量的加法和减法法则计算即可得到答案.【详解】由平面向量的加法和减法法则可得：故选：B.8A【分析】首先判断四边形是菱形，然后判断出三角形是等边三角形，进而求得的大小.【详解】因为，所以.所以四边形OACB是平行四边形，又因为，所以四边形OACB是菱形，OAC是等边三角形所以.故

7、选：A9D【分析】根据所给图形，由向量的线性运算，逐项计算判断即可得解.【详解】，A正确；，B正确；，C正确；0，D错误，故选：D10C【分析】根据平行四边形中的对边平行且相等结合向量的概念求解.【详解】，所以A正确；，所以B正确；所以C错误；，所以D正确.故选：C11C【分析】利用向量的减法运算可得，从而求出点轨迹方程为，从而可得点的个数即为与圆的交点个数，由直线过定点即可判断.【详解】解：由，则，可得，即，可得点轨迹为圆，设，则，整理可得方程为：，故点的个数即为与圆的交点个数.由于直线过定点，且在圆内，所以直线与圆有两个交点，故选：C12C【分析】求出的最大值和最小值，可得出结果.【详解】

8、解：、分别为、方向上的单位向量，则，当且仅当、方向都相同时，等号成立，作，当时，如下图所示：以、为邻边作平行四边形，则该四边形为菱形，且，所以，为等边三角形，且，又因为，由图可知，即，综上所述，.故选：C.13B【分析】根据向量的加减运算法则计算，逐一判断的正确性，即可得正确答案.【详解】对于：，对于：，对于：，对于：，所以结果为的个数是，故选：B14C【解析】由非零向量，满足，推导出“” “”，从而得到“”是“”的充分必要条件【详解】非零向量，满足， “”， “”， “”， ， “”是“”的充分必要条件故选：C.【点睛】该题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查向量的性质等基础知识，考

9、查运算求解能力，属于基础题目15D【分析】取的中点，由，得，从而可得与共线，得直线与直线重合，进而得结论【详解】解：取的中点，则，因为，所以，所以与共线，即直线与直线重合，所以直线一定过的重心，故选：D16C【分析】利用向量模的三角不等式可求得的取值范围.【详解】因为，所以，即.故选：C.17B【分析】利用向量的减法及平面向量基本定理即得.【详解】因为，所以所以，所以故为等边三角形.故选：B.18C【分析】利用向量加法和减法的三角形法则计算即可.【详解】故选：C.19B【分析】由平面向量的加法结合已知可得M为AD的三等分点，然后由等高的三角形面积之比等于底边之比可得.【详解】如图，D为BC边的

10、中点，则因为所以，所以所以.故选：B20B【分析】利用平面向量的加法和减法以及平面向量的基本定理求解.【详解】由题可得：故选：B21【分析】取AB的中点E，连接，然后利用向量的加法法则和三角形中位线定理求解.【详解】如图，取AB的中点E，连接，因为P，Q分别是四边形ABCD的对角线AC与BD的中点，所以，所以.故答案为：228【分析】利用共点的三个向量，终点共线的充要条件得，再用直角三角形边角关系化角为边，最后借助“1”的妙用即可得解.【详解】因为，H为上一动点，即B，H，C三点共线，由共点的三个向量，终点共线的充要条件得，中，边上的高AD=2，如图：令AB=c，AC=b，则，则，所以，当且仅

11、当时取“=”，所以当时，取最小值8故答案为：823-1【分析】根据三点共线可得向量平行，建立方程求解即可.【详解】，A，B，D三点共线，则存在实数使得：，得得：.故答案为：24【分析】根据题意画出图形，结合图形求出南北两岸的距离，再计算快艇从北岸返回南岸的时间【详解】解：如图所示，由题意知，所以，所以南北两岸的距离为；现快艇从北岸返回，速度大小不变，方向为正南，所以，即从北岸出发返回南岸的时间是故答案为：25【分析】由题可得，利用即可求解.【详解】因为，所以，又，即，即.故答案为：.26【分析】根据零向量、相等向量、向量和及向量模等概念逐一判断.【详解】正确；正确，因为与的大小和方向均相同；，

12、不能确定其方向，所以与的方向不能确定；只有当四边形ABCD是平行四边形时，才有.综上可知，正确命题为.故答案为:27或【分析】由平面向量的线性运算法则即可求出结果.【详解】若点靠近点，则由平面向量的线性运算法则可得；若点靠近点，则由平面向量的线性运算法则可得；故答案为：或.28【分析】先由已知根据平行四边形法则求出分力的大小，当夹角为120时，再根据三角形法则求出合力的大小【详解】对于两个大小相等的共点力，当它们的夹角为，合力的大小为时，由平行四边形法则可知，这两个力的大小都是，当它们的夹角为时，由三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形，因此合力的大小为故答案为：29【分析】根据向量的模、共线向量的基本概念以及向量加法的法则，逐一分析即可【详解】对于，若同向，则与同向，所以，故正确；对于，与前者表示向量，后者表示向量模的和，表示的意义不相同，