复合材料力学讲义

1、复合材料力学讲义第1页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四考虑多组份材料的构成，组分之间的相互作用用什么样的增强相、基体及复合工艺，获得的复合材料的性能如何？材料性能如何随材料组份含量变化而变化？微观力学:研究材料性能时,详细地研究组分材料的相互作用,并作为确定不均匀复合材料性能的一部分宏观力学:假定材料是均匀的,组分材料的影响仅作为复合材料的平均“表观”性能来考虑如何预测复合材料性能的知识，对制造具有一定表观或宏观性能的复合材料来说是基本的引 言第2页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四引 言用实验方法系统测定各种复合材料的宏观弹性特性和微观力学性能的

2、关系涉及参数太多，费用巨大复合材料性能不稳定和试验误差，使试验结果较为分散单用试验手段很难获得全面的、系统的和有良好规律的结果，需要有理论配合微观力学研究改进复合材料宏观特性减少试验工作量反向推算复合材料中纤维和基体的平均特性第3页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四引 言简单层板的性能实验确定由组分材料的性能用数学方法求得微观力学方法来预测材料力学方法：对力学系统假设性能进行大量简化弹性力学方法：极值原理/精确解/近似解从设计的观点来看微观力学是宏观力学的助手局限性纤维和基体之间理想的粘接假设需要详细的实验验证第4页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四

3、引 言目的用组分材料的弹性模量来确定复合材料的弹性模量用组份材料的强度研究复合材料的强度体积份数纤维（fibres）：Vf=纤维体积/复合材料总体积基体（matrix）：Vm =基体体积/复合材料总体积第5页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四引 言The void fraction第6页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四引 言Silver Copper Alloy reinforced with Carbon Fibers.In Borsic fiber-reinforced aluminum, the fibers are composed of

4、a thick layer of boron deposited on a small diameter tungsten filament.第7页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四引 言Typical compositecross-section micrographThe distribution of fibres is unhomogeneous. In order to build micromechanical models, simplifying assumptions are made on the packing of fibres. The most

5、 simple packing is the square packing as shown第8页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四引 言It is fairly straightforward to find an expression between the fibre volume fraction vf of such a square packing, the fibre diameter d, and the distance between fibre s：第9页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四引 言The fibre volume

6、fractionTriangular packing of fibres第10页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四引 言Maximum packing is obtained in both packing models for d = s . It gives in the case of square packing vf-max=0.79, and for the triangular packing 0.91第11页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四引 言第12页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四引 言In the pr

7、actice, fibre volume fraction for composite based on unidirectional layers can be found in the range 0.5 to 0.8An other remark concerns the void contentTypical autoclave (pressure + vacuum) cured composite products have voids content varying from 0.1 to 1%Pressure bag (no vacuum) cured composites ca

8、n have voids content in the order of 5%第13页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四Mechanics of material approachA block of composite containing fibre and matrix is simplified to block containing two volumes. These two volumes are connected together and represent the matrix (m) and the fibre (f) with their resp

9、ective properties and volume fractionsAn elasticity modulus is then obtained by performing a simple experiment, where the two representative volumes are subjected to an average stress. Poisson effect are neglected第14页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四Mechanics of material approachBasic experiment for the

10、transverse modulus (Reuss model)Basic experiment for the longitudinal modulus (Voigts model)第15页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四引 言简单层板假设宏观均匀线弹性宏观地正交各向异性无初应力纤维假设均匀性线弹性各向同性规则地排列完全成一直线基体假设均匀性线弹性各向同性界面假设理想粘结，穿过界面无应变间断粘结不理想，其性能低于由微观分析得到的结果第16页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四微观力学方法的基础代表性体积单元代表性体积单元：材料的最小范围或小块，分布

11、于其上的应力和应变是宏观上均匀的，能够完全表征材料的所有特征从微观的角度上，由于材料的不均匀性，应力和应变是不均匀的，体积尺度是很重要的一般来说，在一个代表性体积单元中只有一个纤维，但也可能需要多于一根纤维（复合定义的内涵）单向复合材料简单层板中，纤维的间距是代表性体积单元的一维，另外两维的一维是简单层板的厚度，或当厚度大于一层纤维厚度是纤维在后读方向的间距，第三维是任意的第17页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四微观力学方法的基础体积单元第18页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四刚度的材料力学分析方法基本假设在单向纤维复合材料中，纤维和基体在纤维方

12、向上的应变是一致的纤维1121LL基体基体垂直于1轴的截面在承载前是平面，在承载后仍然是平面材料力学方法中最基本的假设之一，在板、壳、梁理论分析中经常用到第19页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四纤维1121LL基体基体刚度的材料力学分析方法表观弹性模量E1的确定：纤维方向表观弹性模量混合率表达式（与试验的吻合程度8090%）并联模型(iso-strain)第20页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四ExampleCalculate the composite modulus for polyester reinforced with 60 vol%

13、E-glass under iso-strain conditions.Epolyester = 6.9 x 103 MPaEE-glass = 72.4 x 10 3 MPaEc = (0.4)(6.9x103 MPa) + (0.6)(72.4x103 MPa) = 46.2 x 103 MPa第21页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四刚度的材料力学分析方法纤维221基体基体2W串联模型与试验值相比，较小，由于纤维随机排列，兼有串联和并联的成分(iso-stress)表观弹性模量E2的确定：第22页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四刚度的材料力学

14、分析方法无量纲化E2/EmEf/Em=10Ef/Em=5Ef/Em=11VfVf=1，预测的模量为纤维模量即使Ef=10Em，要提高横向模量到基体模量的两倍，需要50%以上的纤维体积含量（理想粘接）第23页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四刚度的材料力学分析方法假设的不完善性：在纤维和基体界面上的横向应变是不一致的与实验不符垂直于纤维和基体边界上的位移完全一致将形成精确解-弹性力学解法纤维和基体的泊松比不同，在纤维和基体中出现了纵向应力以及在纤维和基体界面出现了剪应力纤维221基体基体2W第24页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四刚度的材料力学分析方

15、法纤维1W21LL基体基体W/2E1混合率表达式表观泊松比12的确定：第25页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四刚度的材料力学分析方法纤维21基体基体Wfm/2表观剪切模量G的确定：假设纤维和基体中的剪应力相等E2第26页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四ExampleCarbon reinforced polyetherimide (PEI，聚醚)基体质量分数mm=41.4%，纤维体积分数Vf=51%面内性能测试和预报第27页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四Example混合律获得纵向弹性模量E1=109GPa第28页，共1

16、31页，2022年，5月20日，6点21分，星期四Example第29页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四考虑材料处于二向应力状态时E2的确定简化假设沿纤维方向，纤维与基体的变形相等纤维与基体承受着同一横向应力利用两向应力状态下的应力应变关系（胡克定律），忽略纤维和基体界面上的剪应力，得出第30页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四考虑材料处于二向应力状态时E2的确定对某些复合材料有对E2修正不明显第31页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四考虑材料处于二向应力状态时E2的确定对碳/环氧复合材料，由于碳纤维很细，一般不用单丝而用加捻

17、的纤维束，欧克凡尔（J. C. Ekvall）考虑了由于纤维约束引起在基体中的三向应力状态而得到了如下的混合率表达式加捻的纤维束增强了基体第32页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四圆形截面纤维增强复合材料对E2的影响上述分析基于纤维的横截面为方形或矩形时导出实际为圆形，对模型进行修正欧克尔采用了折算半径的概念，令R=df/sdf为圆截面纤维的直径，s为纤维的间距sRdf折算半径实际上反映了纤维含量体积比Vf的影响第33页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四圆形截面纤维增强复合材料对E2的影响经过复杂的数学演算和推倒，当如果R=0，即Vf=0，全部为基体

18、第34页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四刚度的材料力学分析方法conc. of fibersE- matrixE - fiber*Upper boundLower bound(iso-strain)(iso-stress)Actual Values第35页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四上下限=？第36页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四刚度的弹性力学分析方法刚度估算分为材料力学、弹性力学方法不严密夏米斯（Chamis）和森德克（Sendeckyj）把求刚度的微观力学方法分成许多类：网络分析法：纤维提供所有纵向刚度，基体提供

19、横向剪切刚度及泊松比，比较保守，但仍有人用，缠绕复合材料材料力学法独立模型法用能量极值原理的变分法精确解，统计法，离散单元法半经验法和微观结构理论弹性力学第37页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四刚度的弹性力学分析方法弹性力学的极值法Paul在1960年首次提出用弹性力学的极值法来讨论度多相材料弹性模量的上、下限分析合金（均匀分布和没有优先方向），材料是各向同性的基体的性能用m表示，弥散相的性能用d表示第38页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四刚度的弹性力学分析方法满足上述条件最简单的关系是：时，混合律得出复合材料模量的上限假设复合材料组分对复合材料

20、刚度起的作用正比于它们的刚度和体积含量第39页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四刚度的弹性力学分析方法 从复合材料的柔度1/E必须附和Vm=1时为基体的柔度 1/Em和Vd=1时为弥散材料的柔度得到柔度混合律 由此得到的复合材料的弹性模量为下限.对于确定复合材料线弹性模量E的单向拉伸试验中，假设应力和应变状态是宏观上均匀的，但在微观范围内，应力和应变状态都不均匀。在单向拉伸试验中：应变能可以写成以下两种形式第40页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四刚度的弹性力学分析方法最小势能原理：在所有的协调位移场中，真实位移场的势能最小最小余能原理：在所有的许可

21、应力场中，真实应力场的余能最小第41页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四最小余能原理：（应力） 物体表面作用着力（力矩），令证明：表观弹性模量的下限不一定满足位移连续条件和位移边界条件 满足应力平衡方程和指定的边界条件的应力场，即容许应力场，令Uo是由应力-应变关系式和应变能表达关系式得到的特定应力场下的应变能第42页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四证明：表观弹性模量的下限应变能表达关系式由规定载荷引起的物体的实际应变能U不超过Uo对于单向载荷试件，满足该载荷和应力平衡方程的内应力场为：第43页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期

22、四证明：表观弹性模量的下限应变能可写为：不是常数与材料力学求得的模量一致第44页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四证明：表观弹性模量的上限最小势能原理：（应变） 物体表面作用力为零外的表面有给定的位移，令 不一定满足应力平衡方程和指定的边界条件的应力场 是任一满足指定位移边界条件的相容应变场，即容许应变场第45页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四证明：表观弹性模量的上限U*是由应力-应变关系式：和应变能表达关系式得出的在 下的应变能，因此，由规定的位移得到的物体中的实际应变能U不超过U*第46页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四

23、证明：表观弹性模量的上限 使单轴向试件承受一个伸长L， 是平均应变，L是试件长度，相应于试件边界上的平均应变的内应力场为：利用应力-应变关系第47页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四证明：表观弹性模量的上限给定应变场下，基体的应力为：弥散材料的应力为：第48页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四证明：表观弹性模量的上限代入应变能方程得到应变能表达式：第49页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四证明：表观弹性模量的上限泊松比是未知的，因此E的上限也是未知的，按最小势能原理，应变能表达式U*必须对不确定的常数求极小值，以确定E的界限，即

24、：时第50页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四证明：表观弹性模量的上限由于基体和弥散相是各向同性的总是正值第51页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四证明：表观弹性模量的上限U*相应于以泊松比为函数的最大、最小或拐点U*为绝对极小值第52页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四证明：表观弹性模量的上限繁琐第53页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四证明：表观弹性模量的上限如果Paul的方法主要用来解决各向同性复合材料，也可以用来解释纤维增强复合材料，与材料力学方法得到的结果相一致第54页，共131页，2022年，5

25、月20日，6点21分，星期四刚度的弹性力学分析方法第55页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四刚度的弹性力学分析方法玻璃/环氧复合材料上下限差得很大Hashin（哈欣）和Shtrikman（施特里特曼）试图缩小Paul给出的上下限，以得到不均匀各向同性材料模量更为有用的估算上限下限EEmEfVf第56页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四刚度的弹性力学分析方法用同心球模型来处理不均匀材料这一材料如同在弹性基体材料中有一同心弹性球体，它与在复合材料总体积中的球形包含物的体积含量成比例此模型中虽然包含的球互不接触，但是随着球形部分体积百分比的增加，接触的可能

26、性就增大，如果不接触，意味着球形部分完全理想排列，实际上是不现实的Hashin（哈欣）和Shtrikman（施特里特曼）试图缩小Paul给出的上下限，以得到不均匀各向同性材料模量更为有用的估算第57页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四空隙纤维基体刚度的弹性力学分析方法哈欣和罗森推广到纤维增强复合材料：考虑纤维的圆形截面，可以是空心或实心的规则的空心纤维六角形阵列第58页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四刚度的弹性力学分析方法哈欣和罗森的纤维增强材料的几何形状和复合材料圆柱体模型不规则的空心纤维随机阵列纤维方向模量可用混合率横向模量的表达式十分复杂第5

27、9页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四刚度的弹性力学分析方法精确解利用弹性力学知识，求出精确解是十分复杂而困难的，但可以用其结果来比较材料力学方法的正确性多用圣维南半逆解法来解决很大程度上取决于复合材料的几何形状、排列和纤维、基体的特性第60页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四300刚度的弹性力学分析方法六角形阵列和代表性体积单元矩形截面纤维的交错式正方形阵列和代表性体积单元第61页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四刚度的弹性力学分析方法圆形截面纤维正方形阵列和代表性体积单元圆形截面纤维交错式正方形阵列和代表性体积单元第62页，

28、共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四刚度的弹性力学分析方法Adams和Tsai研究了两种阵列正方形随机阵列六角形随机阵列六角形随机阵列比正方形随机阵列的分析结果与实验更符合，这一情况同非随机阵列中正方形阵列比真实的六角形阵列更符合试验结果相比更能令人满意）有重复的单元，不是真正的随机第63页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四刚度的弹性力学分析方法独立模型精确解方法之一将一个单一的空心纤维插在基体材料的同心圆柱中，仅研究一个插入物复合材料圆柱体的插入物的体积含量和复合材料中全部纤维的体积含量是相同的，与纤维的具体阵列无关Whitney-Riley数学模型第

29、64页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四刚度的弹性力学分析方法略去第65页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四刚度的弹性力学分析方法第66页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四刚度的弹性力学分析方法Ef=410.19GPa f=0.2 Em=4.11GPa m=0.35VfE1E2G12%实验预测差值%实验预测差值实验预测差值2080.7186.26.8455207.51229.577.8060246.14249.581.421.3821.280.6565244.77270.2610.4123.4424.524.4170237.91

30、290.9623.326.7729.038.2512.167.5538.47533.8334.522.0416.778.6348.5硼/环氧复合材料预报分析时没有考虑到RVE之间的相互作用，这个缺陷对G12特别敏感第67页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四刚度的弹性力学分析方法实际纤维阵列示意图随机阵列、纤维相互接触和不接触都有C=0 孤立的纤维和树脂接触C=1 孤立的基体纤维接触所有纤维彼此完全分开时的解和彼此接触的解的线性组合提供更为准确的模量第68页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四刚度的弹性力学分析方法 考虑纤维接触的弹性力学方法，Tsai得

31、到了垂直于纤维的模量第69页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四刚度的弹性力学分析方法接触系数C是用于判定实验数据和理论预测之间的对比关系的所谓的“造因子”，只在实验数据落在理论界限之内才有用，其概念在某种程度上表达了复合材料的一相对另一相的连续性，拉伸比压缩的影响要大得多第70页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四刚度的弹性力学分析方法修正的混合律K:纤维不同线系数0.91由实验确定并取决于制造过程 实际制造中，纤维本身不是笔直的，对纤维方向的模量，TSai考虑到纤维的非直线性影响，对混合律进行了修正第71页，共131页，2022年，5月20日，6点2

32、1分，星期四Random FibresEc = KEfVf + EmVmwhere efficiency factor K 0.1 to 0.6第72页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四刚度的弹性力学分析方法哈尔平-蔡方程（Halpin-Tsai）：近似表达比较复杂的微观力学结果的内插法很简单容易设计能概括虽说是有限的但是比较精确的微观力学结果有可能将各种学派统一起来确定比较困难M：模量E2、G12、23：与纤维几何形状、填实几何形状和载荷形状有关的的复合材料中纤维增强作用的量度第73页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四刚度的弹性力学分析方法=0：是

33、串联模型，下限=：是并联模型，上限是纤维对复合材料增强作用的度量值较小时：纤维作用不大值较大时：纤维很有效地增强复合材料的刚度使之超过基体的刚度=1：刚性嵌入件=0：均匀材料= -1/：空隙Vf：缩减的纤维体积含量：受组分材料的性能及增强因子影响第74页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四Other Composite PropertiesIn general, the rule of mixtures (for upper and lower bounds) can be used for any property Xc - thermal conductivity, d

34、ensity, electrical conductivityetc.第75页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四Tensile StrengthIn longitudinal direction, the tensile strength is given by the equation below if we assume the fibers will fail before the matrixs*c = smVm + sfVf第76页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四强度的材料力学分析方法第77页，共131页，2022年，5月20日，6点21

35、分，星期四强度与损伤状态相关UndamagedDamaged第78页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四强度与损伤演化状态第79页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四强度与损伤演化状态吸收断裂能很小，材料断裂韧性差吸收断裂能很大，材料断裂韧性增加第80页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四强度与损伤状态相关第81页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四强度与损伤状态相关Crack Front (N = Nf)Crack Front (N = N1)Fiber-Bridged Matrix Crack第82页，共131

36、页，2022年，5月20日，6点21分，星期四强度的材料力学分析方法对纤维增强复合材料强度的预报，还没有达到研究刚度预报那样的接近问题实质的水平强度准则：宏观的强度预报，不是破坏模型，微观强度分析：材料微观破坏的机理描述材料的强度，与材料的局部性能和应力状态有关，与材料的整体性能和整体应力状态关系相对较小，材料的不均匀性影响较大而刚度的情况相反材料发生破坏，总是从最薄弱的环节开始，而后引起整个材料的破坏第83页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四强度的材料力学分析方法考虑因素组份材料在物理、化学、力学性能上的差别界面的粘结情况材料的本构关系不同，破坏规律也不同纤维和基体的弹

37、性、塑性、弹塑性、粘弹性等体积分数残余应力的大小，空隙和裂纹的大小和分布纤维在基体中的分布合排列载荷的历史和现状很多描述纤维增强基体材料的强度特征的有益的模型表示了对现象的实际观察和力学描述的高度结合第84页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四强度的材料力学分析方法微观力学研究，是用纤维、基体和界面性能特点和有关几何描述来进行复合材料强度预报纤维增强复合材料的强度，包括各根纤维或纤维束的强度合同一根纤维在沿长度方向的强度分布，基体和界面因裂纹和缺陷带来的影响等，都是具有随机的性质，因此采用统计力学的方法可能会得到更好的结果纤维大多相对为脆性（承力），基体相对为韧性（保护、传

38、递）相反的情况：陶瓷增韧第85页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四强度的材料力学分析方法第86页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四强度的材料力学分析方法沿纤维方向的拉伸强度单向纤维增强复合材料随载荷增加的变形情况纤维和基体都是弹性变形纤维继续弹性变形弹基体塑性变形纤维和基体都是塑性变形纤维断裂继而复合材料断裂纤维和基体的相对脆性或韧性纤维比基体脆，是强度链中的弱环第87页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四强度的材料力学分析方法纤维基体弹性弹性塑性塑性第88页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四强度的材料力学分

39、析方法纤维基体fmaxmmax(m)fmaxfmaxmmax等强度纤维模型凯利(Kelly)和戴维斯(Davies)：纤维有相同的强度并比基体脆若复合材料有多于某一最小纤维体积含量Vf，则纤维变形达到其相应最大应力时，复合材料达到极限强度第89页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四强度的材料力学分析方法纤维的最大拉伸应力基体应变等于纤维最大拉伸应变时的基体应力纤维基体fmaxmmax(m)fmaxfmaxmmax如果假定在纤维方向的纤维应变等于基体应变,则复合材料的极限强度为第90页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四强度的材料力学分析方法如果纤维增强材

40、料得到的强度大于单一基体得到的强度则纤维起增强作用而必须超过的临界Vf值为纤维基体fmaxmmax(m)fmaxfmaxmmax第91页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四强度的材料力学分析方法对于较小的纤维体积份数复合材料不可能按式子，因为可能没有足够的纤维来控制基体的伸长,这样纤维受到较小载荷时将有高应变并将断裂第92页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四强度的材料力学分析方法否则，复合材料全部破坏如果纤维在同一应变时断裂，基体尚能承受复合材料的全部载荷，即：纤维基体fmaxmmax(m)fmaxfmaxmmax第93页，共131页，2022年，5月

41、20日，6点21分，星期四强度的材料力学分析方法整个复合材料将在纤维断裂以后破坏，实用的Vf的最小值为第94页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四强度的材料力学分析方法基体控制纤维控制假设的前提缺陷的存在需用统计理论复合材料的强度（最大复合材料应力）作为纤维体积含量的函数给出基体控制纤维控制：小于基体强度纤维控制第95页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四强度的材料力学分析方法第96页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四强度的材料力学分析方法一般来讲纤维体积份数在0.40.7Vf太小，达不到增强基体的效果，反而因纤维的存在和断裂消弱了

42、基体的强度Vf太大，超过0.785后，对正方点阵排列纤维来说，彼此接触，对随机排列来说纤维密集，基体的粘结作用变得很差，材料脆性增大，断裂韧性明显下降第97页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四强度的材料力学分析方法上述分析是以等强度连续纤维在同一纵向位置断裂为前提的但拉伸时纤维不可能都有相同的断裂强度，也不会断在同一个地方纤维表面缺陷是不确定的，总会有不同的断裂强度，必须用统计理论来合理地确定复合材料的强度第98页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四强度的材料力学分析方法统计强度分布纤维罗森模型代表性体积单元由若干根纤维和一根断裂纤维构成在加载和随之发

43、生的纤维断裂时，代表性体积单元或者改变尺寸或者在一个固定体积单元尺寸内增加纤维断裂的根数f0 xx纤维基体第99页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四强度的材料力学分析方法可以推断断裂纤维承受着足够高的应力,以使其在表面缺陷处开裂,断裂纤维引起断裂部分周围的应力重新分布应力必须从断裂纤维的一端通过断裂部分传递到另一端f0 xx纤维基体第100页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四强度的材料力学分析方法完成这一传递机理的是在断裂纤维一个很小范围的基体内产生高的剪应力由于基体传递剪应力的作用，纵向纤维应力从断裂处的零增加到与复合材料中其它任意一根纤维一样的应

44、力，断裂纤维周围纤维的应力增加20%左右f0 xx纤维基体第101页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四强度的材料力学分析方法复合材料的破坏分两个途径发生纤维周围基体剪应力可以超过允许的基体剪应力：按在断裂纤维之间传递应力的机理有高的剪应力而使纤维和基体之间的粘结发生破坏纤维断裂实际上可横过基体扩展到其它纤维,由此引起整个复合材料断裂：如果纤维和基体之间的粘结很好以及基体的断裂韧性较高,那么纤维可连续直到累计足引起整个复合材料的破坏第102页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四强度的材料力学分析方法ref是基准应力，是纤维和基体性能的函数，本质上就是纤维

45、的拉伸强度，但具有某种统计意义是纤维强度的weibull分布统计参数应用统计理论：Rosen得到第103页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四强度的材料力学分析方法提高拉伸强度：提高体积分数和提高纤维性能根据混合率法则第104页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四强度的材料力学分析方法Rosen统计分布混合律纤维体积含量Vf正则化复合材料强度复合材料的断裂强度超过单一纤维的断裂强度复合材料吸收能量的能力超过纤维吸收能量的能力有益的结论：第105页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四强度的材料力学分析方法纤维长度破坏应力极限载荷分数断裂

46、数纤维强度与纤维长度成反比达到极限载荷的一半时，纤维开始断裂第106页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四强度的材料力学分析方法沿纤维方向的压缩强度通过光弹试验验证，破坏形式主要是纤维屈曲，屈曲波长正比与纤维直径PL2ChxyL2Ch拉伸型剪切型基体产生横向拉压变形，Vf较小基体产生剪切变形，Vf较大两者之间第107页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四强度的材料力学分析方法在两种屈曲模式中，纤维可以看成为厚度为h的板由宽度为2C的基体隔开，可以化简为二维问题每个纤维承受着压应力载荷PL2ChxyL2Ch拉伸型剪切型纤维的剪切刚度远比基体的刚度高忽略纤维

47、的剪切变形第108页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四强度的材料力学分析方法根据铁摩辛柯（Timoshenko）和盖尔（Gere）研究的能量方法：屈曲状态时纤维应变能的改变加上基体应变能的改变，等于纤维上的力所做的功对屈曲形式的屈曲挠度形状是假定的。能量法的一个重要原理：计算的屈曲载荷是真实屈曲载荷的上限。单根纤维在垂直于纤维方向屈曲时的位移用级数形式表示为：我们需要求出两种情况屈曲载荷中最低的一个控制量，控制着复合材料中的纤维屈曲第109页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四强度的材料力学分析方法L2Chxy拉伸型根据铁摩辛柯和盖尔研究第110页，共

48、131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四强度的材料力学分析方法第111页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四强度的材料力学分析方法纤维屈曲波数23373839可推导光弹试验观测：m比较大，可以把f看作为m的连续函数假设对特定的正弦波，第m个波时，P达到极小值f2.737.5第112页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四强度的材料力学分析方法纤维屈曲波数23373839而下一个m=37.5虽然也不存在，但接近真实最小值，对m=37或m=38载荷相差不大研究一假定的fcr对m的关系，仅取m为整数值。M=2.7时所指出的屈曲载荷最低值实际上是不存在

49、的，与m=2是偏离较大如果m较小，求f时，应取离散的（整数）m值。f2.737.5第113页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四强度的材料力学分析方法假定基体在纤维方向上承受和纤维相同的应变假设和纤维相比，基体基本不受力第114页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四强度的材料力学分析方法剪切模型：纤维位移相等并有同样的方向假设剪应变仅是纤维方向坐标函数横向位移与横向坐标y无关剪应变与y无关2Ch/2u(-c)u(c)y第115页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四强度的材料力学分析方法纤维剪应变可以忽略已知基体应变能仅由于剪切第116

50、页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四强度的材料力学分析方法屈曲波长是L/m，波长相对于纤维直径h大时相对较小第117页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四强度的材料力学分析方法拉伸型剪切型弹性非弹性纤维体积含量压缩强度玻璃/环氧复合材料在较宽的纤维体积含量范围内：剪切模型有最低的复合材料强度体积分数较低时：拉伸模型控制复合材料强度第118页，共131页，2022年，5月20日，6点21分，星期四强度的材料力学分析方法按此公式预测的强度一般总是高于试验值理论分析采用的是二维屈曲模型，实际上纤维周围都是基体，纤维不一定是平面屈曲，可能是空间屈曲，所以实际屈曲临界应力小于二维求得的值假设纤维是平直的，如不是，临界应