2023届高三新高考数学试题一轮复习专题3.9函数模型及其应用 教案讲义 （Word解析版）

1、第 Page * MergeFormat 16 页 共 NUMPAGES * MergeFormat 16 页3.9 函数模型及其应用课标要求考情分析核心素养1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.新高考3年考题题 号考 点数学运算数学建模2020()卷6 指数型函数模型 1几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0)反比例函数模型f(x)eq f(k,x)b(k，b为常数且k0)二次

2、函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)幂函数模型f(x)axnb (a，b为常数，a0)2.三种函数模型的性质函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxn0)模型应用题的求解方法:(1)函数y=x+ax(a0)也称为“

3、对勾”函数.解决“【典例精讲】例1.(2022重庆市期末) 食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的建康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社会每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P=80+42a，Q=14a+120，设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)(1)求f(50)的值；【名师点睛】二次函数的模型解题时，一定要注意自变量的取值范围,根据图象的对称

4、轴与定义域在数轴上表示的区间之间的位置关系讨论求解.【靶向训练】 练1-1(2022湖北省八市联考) 某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32m2的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区(如图所示).要求试验区四周各空0.5m，各试验区之间也空练1-2(2021福建省福州市月考) 为了参加校教职工运动会，某校高三年级组准备为本年级教师订制若干件文化衫，经与厂家协商，可按出厂价结算，同时厂家也承诺超过50件就可以每件比出厂价低22元给予优惠.如果按出厂价购买年级组总共应付a元，但若再多买15件就可以达到优惠条件并恰好也是共付a元(a为整数)，则a的值为考点二分段函数模型【方

5、法储备】分段函数模型应用题的求解方法：1.实际问题中变量间的关系,不能用同一个关系式给出,而是几个不同的关系式构成分段函数.2.分段函数中每一段自变量变化所遵循的规律不同,在应用时,可以先将其当作几个问题, 将各段的变化规律分别找出来, 再将其合到一起.要注意各段自变量的范围,特别是端点值.3.构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理,不重不漏.【典例精讲】例2.(2022河南省郑州市一模) 改善农村人居环境，建设美丽宜居乡村，是实施乡村振兴战略的一项重要任务.某地计划将一处废弃的水库改造成水上公园，并绕水库修建一条游览道路.平面示意图如图所示，道路OC长度为8(单位：百米)，OA是函数

6、y=loga(x+b)图象的一部分，ABC是函数y=Msin(x+)(M0,0,|A. y=log3(x+1),0 x4433sin(6【名师点睛】判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法：(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案【靶向训练】练2-1(2022江苏省无锡市模拟) 新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n天，每个检测对象从接受检

7、测到检测报告生成平均耗时t(n)(单位：小时)大致服从的关系为t(n)=t0n,nN0,t0N0,nN0,(练2-2(2021福建省泉州市月考) 漳州市龙海区港尾镇和浮宫镇盛产杨梅，杨梅果味酸甜适中，有开胃健脾、生津止渴、消暑除烦，抑菌止泻，降血脂血压等功效杨梅的保鲜时间很短，当地技术人员采用某种保鲜方法后可使得杨梅采摘之后的时间t(单位：小时)与失去的新鲜度y满足函数关系y=11000t2,0t10,mat,10t100,其中m，a为常数已知采用该种保鲜方法后，杨梅采摘10小时之后失去10%的新鲜度，采摘40小时之后失去20%的新鲜度如今我国物流行业蓬勃发展，为了保证港尾镇的杨梅运输到北方某

8、城市销售时的新鲜度不低于85%A. 20小时B. 25小时C. 28小时D. 35小时 考点三指数、对数、幂函数模型【方法储备】指数函数、对数函数模型、幂函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指数与对数的互化.【典例精讲】例3.(2022江苏省无锡市联考) 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L=L0DGG0，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模

9、型的初始学习率为0.5，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为0.45，则学习率衰减到0.05以下(不含A. 11B. 22C. 227D. 481【名师点睛】1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点.(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.2.利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.【靶向训练】练3-1(2022北京市期末) 中国茶文化博大精深茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关经验表明，有一种茶用85的水泡制，再等到茶水温度降至55时饮用，可以产生最佳口感某研究人员在室温下，每隔1min测一次茶

10、水温度，得到数据如下：放置时间/min012345茶水温度/85.0079.0073.6068.7464.3760.43为了描述茶水温度y与放置时间xy=kax选择最符合实际的函数模型，可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为()(参考数据：lg20.301，A. 6minB. 6.5minC. 7minD. 7.5min练3-2(2022浙江省金华市期末) 节约资源和保护环境是中国的基本国策某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为2mg/m3，首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为1.94mg

11、/m3.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为r0，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为r1，则第n(1)试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型；(2)依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过0.08mg/m3，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标(考点四函数模型的综合应用【方法储备】1.已知函数模型的实际问题（1）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数（2）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数（3）利用该模型求解实际问题2.构建函数模型解决实际问题：（1）明确题意,引进数学符号,利用数量关系建立函

12、数模型；（2）利用函数性质对函数模型进行解答,并给出实际问题的解.【典例精讲】例4. (2022湖北省武汉市月考) 经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q(单位：L)与速度v(单位：km/h)(40v120)v406090100120Q5.268.3251015.6为描述Q与v的关系，现有以下三种模型供选择：Q(v)=0.04v+3.6，Q(v)=0.5v+a，Q(v)=0.000025v3-0.004v2+0.25v.选出最符合实际的函数模型，解决下列问题：某高速公路共有三个车道，分别是外侧车道、中间车道、内侧车道，车速范围分别是60，90)，90，A. 在外侧车道以80km/h行驶B.

13、 在中间车道以90km/h行驶C. 在中间车道以95km/h行驶D. 在内侧车道以115km/h行驶【名师点睛】构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制【靶向训练】练4-1(2022江苏省南京市月考) 2019年1月3日，嫦娥四号探测器在月球背面预选着陆区成功软着陆，并通过鹊桥中继卫星传回了世界第一张近距离拍摄的月背影像图，揭开了古老月背的神秘面纱，如图所示，地球P和月球Q都绕地月系质心O做圆周运动，PO=r1，QO=r2，设地球质量为M，月球质量为m，地月距离PQ为R，万有引力

14、常数为G，月球绕O做圆周运动的角速度为A. =G(M+m)R2B. =G(M+m)练4-2(2022安徽省合肥市月考) 为吸引顾客，甲、乙两商场均采取了促销手段，其中甲为“全场八五折”，乙为“每满100元减20元”，则顾客购买100元以上商品到甲商场更合算的价位是()A. (4003,200)B. (800核心素养系列 数学抽象函数的新定义问题新定义问题是高考考查的创新点之一，函数新定义问题题型较为新颖,所包含的信息丰富,能较好地考查学生分析问题、用原有的知识与方法解决新情景下问题的能力.考查学生数学思维的深度、广度以及对知识内容掌握的综合性和灵活性,涉及函数与方程、数形结合、转化与化归等数学

15、思想和递推法、构造函数法、数学归纳法、反证法等解题方法.【方法储备】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题.1.理解新函数的定义：理解新函数的定义、性质或满足的条件，将定义、性质等与所求之间建立联系.2.转化：将新函数与已学函数建立联系，类比已学函数的性质、图像解决问题，或者将新函数转化为已学过的函数的复合函数形式.3.代入特殊值：如果新函数的某一性质对某些数值恒成立，可以通过代入特殊值，得到特殊函数值甚至函数解析式，从而解决问题.【典例精讲】例5. (2022安徽省合肥市模拟) 函数fx的定义域为D，对D内的任意x1,x2，当x1x2

16、时，恒有fx1fx2，则称fx为非减函数已知f【名师点睛】解决函数新定义问题，首先要仔细审题,理解“新定义”.其次要分析题干,化生为熟，对试题做深度剖析,寻找一切可以挖掘的信息,包括显性和隐性条件,然后与已有知识脉络相联系,寻求题意的着落点.最后,探究方法, 解决问题.将“新定义”型问题化归为已有知识体系中常见类型进行探究, 最终解决问题.【靶向训练】练5-1. (2022江苏省扬州市期中.多选) 中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美在平面直角坐标系中，如果一个函数的图象能够将某个圆的周长和

17、面积同时平分，那么称这个函数为这个圆的“优美函数”.则下列说法中正确的有()A. 对于一个半径为1的圆，其“优美函数”仅有1个B. 函数f(x)=x3-3x可以是某个圆的“优美函数”C. 若函数y=f(x)是“优美函数”，则函数y=f(x)的图象一定是中心对称图形D. 函数y=2cos(3练5-2(2021浙江省杭州市模拟.多选) 定义：若函数F(x)在区间a,b上的值域为a,b，则称区间a,b是函数F(x)的“完美区间”.另外，定义区间a,b的“复区间长度”为2(b-a)，已知函数f(x)=|x2A. 0,1是f(x)的一个“完美区间”B. 1-52,1+52是f(x)的一个“完美区间”C.

18、 f(x)的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+5D. 易错点05 应用题理解题意有误例6. (2021江苏省徐州市月考) 鲜花店鲜花的售价随进价的变化而变化，已知某鲜花店鲜花A在第一天的进价为4元/枝，售价为10元/枝，并规定从第二天起，该鲜花当日售价的涨跌幅是当日进价的涨跌幅的50%注：当日进价的涨跌幅=当日进价-前日进价前日进价100%，当日售价的涨跌幅=当日售价-前日售价第一天第二天第三天第四天第五天进价(元/枝)489.64.86.72售价(元/枝)101516.5xy以下结论正确的是()A. x10B. y10C. 这5天内鲜花A第二天的当日差价最大D. 这5天内鲜花A第一天

19、的当日差价最小答案解析【教材改编】1. 【解析】由题设，若原杂质含量为m，过滤n次后杂质减少到原来的10%以下，m(12)nlog122. 【解析】(1)因为y=kax(k0,a1)的增长速度越来越快，y=px则有ka2=18ka(2)由(1)，知y=8(32)x(xN)，当x=0设经过x个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1000倍，有8(32)x所以约经过17个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1000倍【考点探究】例1. 【解析】(1)甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，f(50)=80+4250+14150+120=277.5万元(2)f(x)=80+42x+14(200-x)+1

20、20=-14x+42x+250，依题意得x20200-x2020 x180，故f(x)=-14x+42x+250(20 x180)练1-1. 【解析】设矩形空地的长为xm，则宽为32xm，依题意可得，试验区的总面积S=(x-0.54)(32x-0.52)=34-x-64x34-2x64x练1-2. 【解析】设按出厂价购买x套(x50)，应付a元，出厂价为y元，则有a=xy，在过买15套，就可以按优惠价格计算，恰好也付a元，则有a=(x+15)(y-22)，(其中x39)，联立可得xy=xy+15y-22x-330，所以y=22又由x50 x+1550，可得35x50且a为整数，套数x也为整数且

21、为15的倍数，则有35x0,0,|22所以所需的训练迭代轮数至少为481轮.故选D练3-1. 【解析】由表格中数据可得，每分钟茶水温度的减少值依次为6，5.4，4.86，4.37，3.94， 呈现越来越小的变化趋势，故选用模型为更符合实际的模型由x=0时，y=85.00，代入y=kax+25，得85=k+25，解得k=60y=60ax+25由x=1时y=79.00，可得79=60a+25，解得a=910，y=60910 x+25，由55=60910 x练3-2. 【解析】(1)由题意得r0=2，r1=1.94，所以当n=1时，r1=r0-(r0-r1)50.5+p，即1.94=2-(2-1.9

22、4)50.5+p，解得p=-0.5，所以rn=2-0.0650.5n-0.5(nN*)，故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为rn=2-0.0650.5n-0.5(nN*)例4. 【解析】由Q与v的数据关系，可发现Q(v)为增函数，故Q(v)=0.5v+a不合题意；若选择Q(v)=0.04v+3.6，此时Q(90)=7.2，Q(100)=7.6，Q(120)=8.4，与实际数据相差较大，所以此种模型不符合，所以应选择Q(v)=0.000025v3-0.004v2+0.25v，W=100vQ(v)=0.0025v2-0.4v+25=0.0025(v-80)练4-1. 【解析】GMmR2=m2r2，r2=GMR22，GMmR2=M2r1，r1=GmR22