2023届高三新高考数学试题一轮复习专题6.3等比数列 教案讲义 （Word解析版）

1、 共14页/第页6.3 等比数列课标要求考情分析核心素养1.通过生活中的实例,理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等比数列的前n项和公式,理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题.4.体会等比数列与指数函数的关系.新高考3年考题题 号考 点数学运算逻辑推理数学抽象2020()卷18 求等比数列的通项公式2020()卷18 求等比数列的通项公式、前n项和1等差数列的有关概念 = 1 * GB2 等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比

2、数列的公比；公比通常用字母表示（）.用递推公式表示为：an+1 = 2 * GB2 等比中项：如果a,G,b组成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，由等比数列的定义可知G2=ab . = 3 * GB2 等比数列的通项公式及其变形： = 1 * GB3 等比数列an中，ana则an当n=1时，也成立，故an = 2 * GB3 an=a1qn-1 a = 4 * GB2 等比数列中的函数关系等比数列an中an=a（ = 1 * ROMAN I）当q=1时，an=c，等比数列an是非零常数列. 它的图象是在直线y=c（ = 2 * ROMAN II）当q0且q1时，等比数列an的通项公式an=

3、cqn是关于y=a1qqx（当q1且a10时，等比数列当q1且a10时，等比数列当0q0当0q1且a10（ = 3 * ROMAN III）当q0时，a与b才有等比中项，且a与b有两个互为相反数的等比中项.2.常数列不一定是等比数列，只有非零常数列才是公比为1的等比数列.1【P24 T2】复印纸幅面规格采用A系列，其幅面规格为：A1,A2,A3,A9所有规格的纸张的幅宽(以x表示)和长度(以y表示)的比例关系都为x:y=1:2；将A1纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A2规格；A2纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A3规格；如此对开至A9规格，现有A12【P41 T7】已知数列an的前n项和S

4、n=3n+2-92(1)证明： 考点一等比数列的判定与证明【方法储备】1.证明数列是等比数列的主要方法： = 1 * GB2 定义法：当a10时，证明对任意正整数n都有an+1a = 2 * GB2 等差中项法：证明对任意正整数n都有an+12a2.判定一个数列是否为等比数列，用到的结论： = 1 * GB2 通项公式： ancqnan是以cq = 2 * GB2 前n项和公式法：Sn=kqn-k (k为常数,q0,1) 数列an是以q【典例精讲】例1. (2021海南省模拟) 在S3=17，S1+S2=4，S2=4S1这三个条件中任选一个，补充到下面的横线上，并解答相应问题：已知数列Sn满足

5、Sn0，且Sn+1=3Sn例2. (2021江苏省徐州市月考) 已知数列an的前n项和为(1)求a1，a2，(2)是否存在常数，使得an+为等比数列？若存在，求出【名师点睛】1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n1的情形进行验证.【靶向训练】 练1-1(2022湖南省娄底市期末.多选) 已知数列an的前n项和为Sn，下列说法正确的是()A. 若Sn=n2+1，则an是等差数列B. 若Sn=3n-1，则an练1-2(2021江苏省无锡市月

6、考.多选) 已知数列an的前n项和为Sn，若an是Sn与(0)的等差中项，则下列结论中正确的是 A. 当且仅当=2时，数列an是等比数列B. 数列an一定是单调递增数列C. 数列1a考点二等比数列中的基本量运算【方法储备】1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a12.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q1时，an的前n项和Sn=na1；当q1【典例精讲】例3.(2022广东省茂名市模拟) 已知等比数列an的前n项和为Sn，公比为q，则下列选项正确的是()A. 若S3=4,S6=12，则S9=29B. 若a1=1,q=34，则Sn【名师点睛】1.等差

7、数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a12.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d【靶向训练】练2-1(2022广东省佛山市模拟.多选) 设等比数列an的前n项和为Sn，且满足a10=32a5A. 数列an的公比为2B. 数列an的公比为2C. S练2-2(2021山东省济宁市期末.多选) 如图，已知点A,B,C是O上三个不同定点，Q为弦AB的中点，DnnN*是劣弧BC上异于B、C的一系列动点，连接ADn交BC于Pn，点PnnN*满足PnC=A. 数列an+1是等比数列B. a3=7考点三 等比数列的性质及应用【方法储备】等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项

8、公式的变形(2)等比中项的变形(3)前n项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口【典例精讲】例4. (2021湖南省常德市月考.多选) 设等比数列an的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a11，aA. 0q1C. Sn例5. (2021江西省上饶市模拟) 已知公比不为1的等比数列，存在s，tN*，满足asat=A. 712B. 916C. 17【名师点睛】1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m+n=p+q，则am2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解

9、题时注意设而不求思想的运用.【靶向训练】练3-1(2022天津市模拟) 已知数列an是等比数列，数列bb1+b6+A. 1B. 22C. -2练3-2(2022安徽省淮南市模拟) Sn为等比数列an的前n项和，若2S4 考点四等比数列的前n项和公式的综合应用【方法储备】1.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论：当q1时，an的前n项和Sn=na1；当q12.等比数列最值有关问题的解题思路求解此类问题的常用思路是根据题目所给条件建立关于变量n的函数关系进行求解，有时也注意基本不等式的应用3.解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成

10、等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解【典例精讲】例6.(2021江苏省南通市月考) 设Sn是等比数列an的前n项和，an0，若S6A. 14B. 12C. 20例7.(2022山东省莱芜市月考) 已知等差数列an和等比数列bn满足nN*(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设数列an中不在数列【名师点睛】1.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q2.涉及最值问题时，要注意方程思想与不等式知识的应用.【靶向训练】练4-1(2021广东省揭阳

11、市模拟.多选) 已知等比数列an的公比为q，且a5A. a3+a72B. 练4-2(2021河北省邢台市期中) 已知等比数列an的前n项和与前n项积分别为Sn，Tn，公比为正数，且a3=16，S3=112，则使TA. 8B. 9C. 12D. 13易错点1 利用等比数列前n项和公式时，忽略公比q=1例8. (2022安徽省蚌埠市月考) 已知等比数列an的前n项和为Sn，且a3=32，S3=92(1)若a3,m,答案解析【教材改编】1【解析】由题意，若A1长宽(2a,a)，A2长宽a,2a224a=2，可得a=8，则A1长宽由上知：9张纸的面积是首项为642，公比为19张纸的面积之和：642故答

12、案为：642，5112【解析】(1)证明：当n2时，an=Sn-Sn-1=3n+2-3n+12=3n+1，又a1=S1=9，符合上述通项公式，所以an的通项公式为a【考点探究】例1.【解析】(1)证明：数列Sn中，Sn0，且Sn+1=3Sn+2，所以Sn+1+1=3(Sn+1)，数列Sn+1是公比q=3的等比数列；(2)选择条件，不存在，因为S3=17，所以S3+1=18，因为Sn+1是公比为3的等比数列，所以(S1+1)32=18，解得S1=1，Sn+1=23n-1，Sn=23n-1-1；当n1时，Sn-1=23n-2-1，Sn-Sn-1=an=43n-2，因为a1=1，不符合上式，所以数列

13、an不是等比数列，所以不存在选择条件，不存在，因为例2.【解析】(1)当n=1时，S1=a当n=2时，S2=a当n=3时，S3解得a3(2)假设a则(a即(9+)2=(3+)(21+)下面证明aSn=2an+1=2(an+3)=存在=3，使得数列an+3是首项为aa即a练1-1.【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，若Sn=n2+1，则a1=S1=2，a2=S2-S1=3，a3=S3-S2=5，则an不是等差数列，A错误，对于B，若Sn=3n-1，则a1练1-2.【解析】因为an是Sn与的等差中项，所以2a又2an-1=Sn-1所以数列an是以为首项，2为公比的等比数列，得an=2n-1，故

14、选项A错误；当1得q0，由于a11，a9a101，则q0且q1由a9-1a10-1若a10a9，则q1，而a11，则an=a1qn-11，则由a91，a100,lga100，所以数列lg因为lga10+lga因为0q1，所以数列各项均为正数，所以Sn故选：AD例5.【解析】存在s，tN*，满足asat=a42，s+t=8，且s，t N*，则2s+12t=18(s+t)(2s+12t)=18(2+12+2ts+s2t)，令x=ts，则2ts+s2t=2x+12x练3-1.【解析】在等差数列bn中，由b1+b6+在等比数列an中，由a2a1-a3a9=1-(3)练3-2.【解答】设等比数列an的公比为q，由于2S4=S2+2，2S4=2(a1+a1q+a1q2+a1q3)，S2+2=a1+a1q+2，所以2(a1+a1q+a1q2+a1例6.【解析】设等比数列的an的公比q0，q1，S6-2S3=5，a1q6-1q-1-2a1q3-1例7.【解析】(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，由a1=2，b2=4，an=2log2bn，可得b1=2，a2=4，则d=2，q=2，an=2n，bn=2n，nN*；(2)由题意可得cn的前几项为6，10，12，14，18，20，22，练4-1.【解析】根据题意，依次分析选