初中数学-中考数学复习讲义-平行四边形的性质及判定讲义学生版

1、平行四边形的性质及判定1X1足中板块考试要求A级要求B级要求C级要求平行四边形会识别平行四边形掌握平行四边形的概念、判定和性质， 会用平行四边形的性质和判定解决简 单问题会运用平行四边形的性 质和判定解决有关问题.平行四边形的性质平行四边形的边：平行四边形的对边平行且对边相等. 平行四边形的角：平行四边形的对角相等，邻角互补. 平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分. 平行四边形的对称性：平行四边形是中心对称图形.平行四边形的周长：一组邻边之和的2倍.平行四边形的面积：底乘以高.平行四边形的判定两组对边分别平行的四边形是平行四边形.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.两条对角线互相平

2、分的四边形是平行四边形.两组对角分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.一、平行四边形的性质【例1】 如图，四边形ABCD为平行四边形，即AB CD , AD BC .通过证明三角形全等来说明:AB=CD , AD=BC .（对边相等）AO二CO , BO=DO .（对角线互相平分）第1页共14页【巩固】如图，点E, F是平行四边形ABCD对角线上的两点，且BE = DF ,那么AF和CE相等吗？请说明理由【例2】 如图，在平行四边形ABCD中，EF / BC, GH / AB, EF与GH相交于点0,图中共有平行四边形【巩固】以三角形的三个顶点作平行四边形，最多

3、可以作（）A. 2个 B. 3个 C. 4个D. 5个【例3】（2008兰州）如图，平行四边形ABCD中，AB AC.对角线AC , BD相交于点0 ,将直线AC 绕点0顺时针旋转，分别交BC , AD于点E , F .证明：当旋转角为90。时，四边形ABEF是平行四边形； 试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等.【例4】 在平行四边形ABCD中，点A、A、A、A和C、C、C、C分别为AB和CD的五等分点，点B、 TOC o 1-5 h z 123412341B和D、D分别是BC和DA的三等分点，已知四边形ABCD的面积为1，则平行四边形ABCD 2124 2 4 2面积为（）3-5-A

4、. 2B.C. -D. 1553第2页共14页【巩固】如图，在平行四边ABCD中，AC、BD为对角线，BC=6 ， BC边上的高为4，则阴影部分的面积为(3).面积为(3).6 C. 12D. 24【例5】现有如图2的铁片，其形状是一个大的平行四边形在一角剪去一个小的平行四边形，工人师傅想用一条直线将其分割成面积相等的两部分，请你帮助师傅设计三种不同的分割方案.【巩固】如图1, O , O , O , O为四个等圆的圆心，A , B , C , D为切点，请你在图中画出一条直 线，将这皿个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是；如图2,O , O , O , O , O为五个等圆

5、的圆心，A , B , C, D , E为切点，请你在图中画出一条 直线，将这五个商分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是.【例6】如图，【例6】如图，求证:E, F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AADF 0 ACBE ；EB DF.第3页共14页【巩固】如图，已知：在平行四边形ABCD中，/BCD的平分线CE交边AD于E , ZABC的平分线BG交 CE于F，交AD于G .求证：AE=DG .【例7】 已知：如图，平行四边形ABCD内有一点E满足ED AD于点D , / EBC=/ EDC , / ECB=45。, 请找出与BE相等的一条线段，并给予证明.【巩固】如图

6、，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，BE DF，求证：AF=CE .【例8】 如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线BD ,过A, C两点分别作AE 1BD, CF 1BD, E, F为 垂足，求证：四边形AECF是平行四边形【巩固】如图，平行四边形ABCD中，E是BC的中点，DE、AB的延长线交于点F ,连接AE、CF .求 证：S AABE = SAEFC ,第4页共14页【例9】 如图，已知等边三角形的边长为10 , P是AABC内一点，PD AC , PE / AB, PF / BC , 点 D, E, F 分别在 AB, BC, AC 上，则 PD + PE + PF =

7、如图1,在平行四边ABCD中，/A = 120。，则/D =B图1B图1O.D图2O.D图2如图2,在平行四边形ABCD中，DB = DC , /A = 65。，CE BD于E ,已知四边形的四条边长分别是a,b, c, d，其中a, b为对边，并且满足 a2 + b2 + c2 + d2 = 2ab + 2cd则这个四边形是(A.任意四边形C对角线相等的四边形B.平行四边形D.对角线垂直的四边形（2009东营）如图3,在平行四边ABCD中，已知AD=8cm ， AB=6cm ， DE平分ZADC交BC边于点E，则BE等于已知平行四边形ABCD的周长为60cm ,对角线AC、BD相交于。点，A

8、AOB的周长比NBOC的周长多8cm，则AB的长度为第5页共14页【巩固】一个平行四边形的两条对角线的长分别为5和7,则它的一条边长。的取值范围是DCDC【例10如图，是某区部分街道示意图，其中CE垂直平分AF , AB DC , BC DF，从B站乘车到E 站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是B - D- A- E，路线2是B - C - F - E，请比较 两条路线路程的长短，并给出证明.【巩固】如图是某市一公园的路面示意图，其中，ABCD是平行四边形，BE AC , DF AC , E、F是 垂足，G、H分别是BC、AD的中点，连接EG, GF , FH . HE为公园中小路，问小

9、明从B 地经E地，H地到F地，与小强从D地经F地，G地到E地，谁的路程远.【例11在平行四边形ABCD中，过A任作一直线AM，过B、垂足分别是E、F、G，求证：BE=DG - CF .巩固AC是平行四边形ABCD较长的一条对角线，点O是ABCD内部一点，OE AB于点E , OF AD 于点 F , OG AC 于点 G，求证：AE - AB + AF - AD = AG - AC .第6页共14页二、平行四边形性质和判定的综合应用【例12】点A、B、C、D在同一平面内，从AB CD，AB=CD，BC AD，BC=AD .这 四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（）种A.

10、 3B. 4 C. 5D. 6【巩固】如图，已知：AD是AABC的角平分线，DE / AB,在AB上截取BF = AE，连接DE, EF ,求 证：四边形BDEF是平行四边形BD C【例13已知：如图，在平行四边形ABCD中，E, F分别是AB, CD的中点.求证：（1） AAFD 0 A CEB ； （2） 四边形AECF是平行四边形.【巩固】如图，四边形ABCD中，AB / CD , /B = ZD , BC=6 , AB=3，求四边形ABCD的周长.【例14如图所示，P为平行四边形ABCD内一点，求证：以AP、BP、CP、DP为边可以构成一个四 边形，并且所构成的四边形的对角线的长度恰好

11、分别等于AB和BC.【例15如图所示，在平行四边形ABCD中，、F是对角线AC上两点，且AF=CE ,求证：四边形BEDF 是平行四边形.第7页共14页【巩固】已知：如图，AD BC , ED BF，且AF=CE .求证：四边形ABCD是平行四边形.【巩固】【例16】【例16】如图，在平行四边形ABCD的各边AB, BC, CD, DA上，分别取E, F, G, H，使AE=CG , BF = DH，求证：四边形EFGH为平行四边形【例17】【例17】如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P ,过点P作直线交AD于点E ,交BC于点F.若 P P ，且AP + AE=CP + CF .求

12、证：四边形ABCD是平行四边形.【巩固】如图，在平行四边形ABCD中，点M、N是对角线AC上的点，且AM=CN , DE = BF，求证: 四边形MFNE是平行四边形.【巩固】如图，E、F分别是平行四边形ABCD的AD、BC边上的点，且AE=CF .求证：AABE 0 ACDF ；若M , N、分别是BE、DF的中点，连接MF、EN，试判断四边形MFNE是怎样的四边形， 并证明你的结论.【例18如图，过四边形ABCD对角线的交点O作直线EF交AD、BC分别于E、F，又G、H分别为第8页共14页OB、OD的中点，求证：四边形EHFG为平行四边形.B f C【巩固】如图，AACD、AABE、ABC

13、F均为直线BC同侧的等边三角形.当AB丰AC时，证明四边形ADFE为平行四边形.【例19】如图，点E，F，G，H，M，N分别在AABC的BC，AC，AB边上，且NH / MG / BC, ME NF AC , GF EH AB，有黑、白两只蚂蚁，它们同时同速从F点 出发，黑蚂蚁沿路线F T N T H T E T M T G T F爬行，白蚂蚁沿路线F T B T A T C T F 爬行，那么（）A.黑蚂蚁先回到F点B.白蚂蚁先回到F点C.两只蚂蚁同时回到F点D.哪只蚂蚁先回到F点视各点的位置而定【巩固】以口 ABCD的对边AB、CD为边分别在外作等边AABE、等边ACDF .求证：四边形A

14、ECF是 平行四边形.【巩固】等边AABC中，点D在BC上，点E在AB上，且CD=BE 四边形CDFE是平行四边形.第9页共14页【例20如图，已知AC是平行四边形ABCD的对角线，AACP和AACQ都是等边三角形，求证：四边形 BPDQ是平行四边形.【巩固】如图，ABC中，D是AB的中点，E是AC上任意一点，EF / AB , DF / BE .求证：DF与AE互相平分.【例21如图，田村有一 口呈四边形的池塘，在它的四个角A, B,C, D处均种有一颗大核桃树，田村准备 开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想让核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四 边形的形状，请问田村能否实现这一设

15、想？若能，请你设计并画出图形，若不能，请说明理由巩固如图，在AABC中，ZACB=90。，点E为AB中点，连结CE ,过点E作ED BC于点D ,在DE 的延长线上取一点F,使AF二CE .求证：四边形ACEF是平行四边形.【例22如图，在平行四边形ABCD中，DE AB于E , BM=MC=DC ,那么/EMC与/BEM的大小 关系怎样？第10页共14页【巩固】已知平行四边形ABCD, BC=2AB , M为AD的中点，CE AB .求证：/EMD=3ZAEM .【例23】已知：如图，平行四边形ABCD中，AE. BE、CF、DF分别平分/BAD ZABC、/BCD、/CDA, BE、DF的

16、延长线分别交AD. BC于点M、N .连接EF，若AD=7 , AB = 4 .求EF的长.【例24如图，P为平行四边形ABCD内一点，过点P分别作AB、AD的平行线，交平行四边形于E、F、 G、H 四点，若Sahpe = 3 , SPFCG = 5，求SPBD .【例25如图，在AABC中，AB = AC , AD 1 BC于D,点P在BC上，PE BC交BA的延长线于E, 交 AC 于 F。 求证：2AD=PE+PF；BB【巩固】如图，四边形EFGH中，若Z1 = Z2，则Z3必然等于24 .请运用结论证明下述问题：如图， 在平行四边形ABCD中取一点P，使得Z5 = /6，求证：Z7 =

17、 /8.第11页共14页【巩固】如图所示，在平行四边形ABCD中，求证AC2 + BD2 = AB2 + BC2 + CD2 + DA2 .【例26如图，AABC中，/C=90。，点M在BC上，且BM=AC ,点N在AC上，且AN = MC, AM与 BN相交于点P，求证：/BPM=45。BB【例27如图，ABCD为平行四边形，AD=a , BE AC , DE交AC的延长线于F点，交BE于E点.求证：DF = FE ；若 AC = 2CF , ZADC = 60。，AC DC，求 BE 的长； 在的条件下，求四边形ABED的面积.BBL Ik课后练习第12页共14页如图所示，已知四边形 AB

18、CD，从AB DC :AB=DC :AD BC :AD=BC ；/A = /C；/B = ZD中取两个条件加以组合，能推出四边形ABCD是平行四边形的有哪几 种情形？请写出具体组合。如图3, 一个平行四边形被分成面积为SS巧、S4四个小平行四边形，当CD沿AB自左向右在平行四边形内平行滑动时.123 4SS与SS的大小关系为.已知点C与点A、 B不重合时，图中共有个平行四边形，如图，在平行四边形ABCD中，AD=5 , AB=3 , AE平分/BAD交BC边于点E，则线段BE ,EC的长度分别为（）A. 2和3 B. 3和2C. 4和1D. 1和4如图已知BD为平行四边形ABCD的对角线，过C作CE BD，连接AE交BD的延长线于F ,求证：AF = FE .如图，平行四边形ABCD 中，AE BD于E , CF BD于F .求证：AE = CF .第13页共14页如图，在平行四边形ABCD中，点E, F在AD, BC上，且AE=CF ,