信息光学第一章io1.4卷积和相关

1、 1.4 卷积与相关(convolution and correlation) 是两种运算关系（或过程）；都是含参量的无穷积 分，与 FT、线性系统密切相关。都是两个函数通过某种运算得到另外一函数。一个函数是输入函数（待观测量、输入信号），一个函数描述观测方式或观测仪器的特征（或作用特点），另外一个函数就是输出函数（信号），即观测得到的结果。“某种运算”：就是观测方式或观测仪器对输入函数作用的数学描述。1.4.1卷积1定义 卷积运算：可用来表示一个观测系统或一个观测仪器对输入信号的作用过程，等等。相关运算：常用于比较两个函数的关联性，相似程度，用于信号检测其中 x, y 及 , 都是实变量，f

2、 , h可实可复。 一维卷积运算可以简单地理解为：f()h(x-)曲线下的面积随 x 在 - 到 + 之间的变化，它是 x 的函数。注意：在进行相乘之前 h(x) 必须关于原点反转。 二维卷积运算可以简单地理解：f(,)h(x-, y-)曲面下的体积随x和y在-到+之间 的变化，它是x，y函数 f 是输入信号（或理想输出信号），h 是描述线性不变系统（观测方式，观测仪器）的作用。 g 是输出信号（观测到的信号）。 h(x): 线性系统f(x)g(x)2卷积计算方法 有三种方法可以得到两个函数的卷积： 几何方法(the graphical method) 直接积分(direct integrat

3、ion) 数值积分(numerical integration)以下列的一维函数为例来说明: 32x32x 几何方法(the graphical method)几何方法比较直观，有助于理解卷积的含义。 具体求法大体可分六步：1）f(x)f() 将自变量 x 换成积分变量 ，绘出函数曲线2）h(x) h() h(-) h(x- )，选用一定的x值 3）求 f() h(x- )，对于任何给定x，它是的函数，画出 f() h(x- ) 对应的曲线 4）求 f(x) h(x- ) 曲线的面积，即 ，该面积即为给定x值下的卷积值： 5）返回步骤(2)，选用另一个 x 值，再重复步骤(3)和(4) 6）由

4、求出的 g(x) 值画出 g(x) x 曲线 f()02h(-)02h(-1-),02x = -1h(0-),02x = 0f ()h(-1-)02Area=g(-1)=0f () h(0-)02Area=g(0)=1/3h(1-),02x = 1f () h(1-)02Area=g(1)=4/3h()02f()02h(-)02h(2-),02x = 2h(3-),02x = 3f () h(3-)02Area=g(3)=3h(4-),02x = 4f ()h(2-)02Area=g(2)=3f () h(4-)02Area=g(4)=8/3f()02h(-)02h(5-),02x = 5h(

5、6-),02x = 6f () h(6-)02Area=g(6)=0f ()h(5-)02Area=g(5)=5/3g(-1)=0, g(0)=1/3, g(1)=4/3, g(2)=3, g(3)=3, g(4)=8/3, g(5)=5/3, g(6)=0, “Area” g(x)f()02h(-)02展宽平滑直接积分法（Convolution by Direct Integration）:对于一般的函数用直接积分的方法很容易。对于一些特殊函数来说，也可以用直接积分方法，但一般需要对平移量x进行分段，并确定积分段的上、下限。例如对上面的例子，平移量是 x ，可分成5段。f()02h(-)02

6、“Area” g(x)展宽平滑又如：a-aax展宽平滑作业：求卷积12xg(x)展宽、平滑数值积分 (Convolution by Numerical Integration):编制一个简单程序，或用软件提供的功能直接求程序一般用两层循环： 外层循环的增量是平移变量x的抽样间隔 内层循环对两个函数抽样值的乘积求和3. 卷积存在条件(Existence Conditions)数学上, 充分条件：f(x)或h(x)，都在(- ,+)之间绝对可积。但不是必要条件，有些情况下，不一定非要满足这个条件。物理上的可能性，就是其存在的充分条件。4卷积的性质 1）线性性质(Distributive)叠加性和均

7、匀性 2）可交换性(Commutative) 3）结合性(Associative) 4）平移不变性(Shift invariance) 5）坐标缩放性质 6）函数的卷积 7）卷积运算具有平滑和展宽效应 1）线性性质(Distributive)叠加性和均匀性 a和b是为任意常数叠加性: 函数和的卷积等于函数卷积的和。均匀性：当一个函数放大或缩小时，其卷积放大或缩 小相同的倍数。线性性质：指同时具有叠加性质和均匀性质。 线性性质也称为分布性质。证明：卷积运算是积分运算，积分运算是连续的叠加求和，积分运算具有叠加性和均匀性。据此性质可知：复函数之间的卷积运算，可转换成实函数之间的卷积运算，即若: 则

8、: 线性性质（分布性质）是线性系统的本质特性，在信息处理及许多学科中非常重要。2）可交换性(Commutative)证明：3）平移不变性(Shift invariance)若：则： 参与卷积的两个函数发生平移，卷积结果也仅发生平移，卷积结果的幅值和形式不变。 平移量等于两者平移量之和。 证明：其它结论同样可证。平移不变性是线性系统的重要特性，在信息处理及许多学科中非常重要。4）结合性(Associative)并利用平移不变性变换积分次序有结合性与交换性知，卷积运算的先后顺序对结果无影响。5）坐标缩放性质（定标性质）The scaling property则:若: 当两个函数的坐标放大或缩小同样

9、倍数时，其卷积的坐标也放大或缩小相同的倍数，但卷积的幅值将缩小或放大相同的倍数。6） 函数的卷积性质 函数为偶函数 函数与任何另一个函数的卷积仅仅是重新产生这个函数或使这个函数产生相同的平移量。 函数的卷积性质及前面讲过的乘积性质、积分性质、FT性质等等，是非常重要的。 任意函数与函数的卷积等于函数本身，或仅仅发生平移，平移到函数（脉冲）所在的位置。 7）卷积运算具有平滑和展宽效应 -The smoothing and widening property在前面讲的关于卷积的例子中，已经可以看出卷积的平滑和展宽效应，下面在进一步解释说明。 一般情况下： 1）卷积结果函数比参与卷积的两个函数中的任

10、何一个都平滑。高低起伏被消弱或消除，细节、精细结构被模糊或消除。 2）卷积结果函数的宽度（非零值区间）近似等于卷积的各函数的宽度之和。当参与卷积的每个函数的宽度均为有限时，取等号，即：Wg = Wf + Wh 举例说明： f(x)与一个宽度变化的单位面积的三角函数的卷积： 为宽度无限窄但面积为1的三角函数，函数 Wf Wh Wg=Wf+Wh又例如：特殊情况下： 有些函数之间的卷积，既无展宽效应，也无平滑效应。 例如：重复卷积：多个函数的卷积一般产生一个比任一被卷的个别函数都平滑得多的函数。即：n个函数的卷积，当n较大（n10）时，趋于Gaus函数。例如：多个不同宽度的矩形函数的卷积，仅仅4个。

11、f1(x)f2(x)f3(x)f4(x)f3(x)f1(x) f2(x)f1(x) f2(x) f3(x)f1(x) f2(x) f3(x)f4(x)Gaus函数的FT仍然是Gaus函数。 并且， Gaus函数的卷积仍然是Gaus函数，只是幅值比例和标度有变化。 5 总结是一种运算关系（或过程）；是两个函数通过某种运算得到另外一函数；是含参量的无穷积分。常用于比较两个函数的关联性，相似程度，用于信号检测。1.4.2 互相关和自相关 (Cross-correlation and Autocorrelation1 定义1）互相关定义其中：x, y, , 均为实变量，f, g 可实可复； *表示复共

12、轭，仅对复函数才有意义。 f(x,y)和g(x,y) 的互相关为：或与卷积的不同是：第一个函数取复共轭且两个函数都不反演。 2）自相关定义当g(x,y)=f(x,y)，是自相关 2相关与卷积的关系（相关的卷积表达式） 1）互相关与卷积的关系相关运算相当于先对f(x,y)反演，取共轭，再进行卷积运算。 证明： 令3. 相关运算的性质2）自相关与卷积的关系自相关运算相当于函数自身先反演、取共轭，再与自身进行卷积运算。 1）互相关运算一般不具有可交换性即：而是有：证明：显然，当 f, g 均为实函数时，有 ：2）自相关函数具有厄密对称性即 ：自相关函数是实偶函数。对称分布。当 f(x, y) 是实函

13、数时，有：一个复函数，若实部是偶的而虚部是奇的，则称之为厄米的，相反的情况则称为反厄米的。3) |Rfg(x,y)|2 = Rff(0,0)Rgg(0,0)，其中: 仅当 f(x,y) = kg(x,y) 时，(k为复常数)，才可能取等号。该性质的重要性在于它反映了互相关运算的意义和作用，即：互相关函数 Rfg(x,y) 反映了 f(,)和 g(+x,+y) 之间的相关性，|Rfg(x,y)| 的数值反映了在给定点(x,y)处这种关联性的强弱，显然，当f(x,y) = kg(x,y) ，即二者完全相关时， |Rfg(x,y)| 取最大值 。4) |Rff(x,y)| = Rff(0,0)自相关函数在原点处取最大值，且为正值。 1）当 f(x,y) 是复值函数时， Rff(x,y) 是厄米函数。 即： Rff(x,y) = R*ff (-x,-y) ，|Rff(x,y)| = Rff(0,0)。 对自相关函数的进一步说明:2）当 f(x,y) 是实函数时，