材料力学课程中内力求解方法研究

1、材料力学课程中内力求解方法研究摘要：为了提高材料力学中内力求解的准确率，提高内力图绘制的效率，以材料力学课程中内力的 求解方法与内力图的绘制方法为研究对象，通过对拉压杆、轴和梁等构件的内力求解方法与内力图绘制 方法进行分析，以揭示3种不同构件内力的变化规律和内力图的形状特征#结合内力的突变特征、内力 图的形状特征以及内力方程的边界条件，提出了一种内力求解的新方法突变x形状-边界法#利用 该方法，学生只需对约束力进行计算，便可以根据内力突变特征、内力图形状特征和边界条件等快速准确 地确定构件的内力和内力图。关键词：材料力学；内力；截面法；力系简化法；突变X形状-边界法；梁Research on

2、the Method of Solving Internal Force in the Course of Material MechanicsAbstract: To i mprove the accuracy of solv i ng i nternal force and the effi c i ency of drawi ng i nterna 1 force d i agram i n material mechanics, the methods of solving mternal force and drawing interna 1 force diagram in the

3、 course were taken as the reX searching object, both the solving and drawng methods of interna l forces of the tension-compression rod, the circular axis and beam were analyzed to descrbe the changing law of the interna l forces of three different components and the shape charX acteristics of the nt

4、ernal force diagram. Comb ined the catastrophic characteristics of the interna l force, the shape characteristics of the internal force diagram and the boundary conditions of the interna l force equation, a new method of catastropheshapeboundary was put forward. By us ing this method, students only

5、need to calculate the constramt force, and then they can determne the interna l forces of components and nternal force diagrams quickly and accurately accordng to the cataX strophic characteristics of the interna l force, the shape characteristics of the nternal force diagram, and the boundary cond

6、i- tons of the Bnternal force equaton.Key words: material mechanics, internal force, section method, s implified method of system of forces, catastrophe shapeboundary method , beam对于机械类的本科生而言，材料力学（含工程力 学）课程是最重要的专业基础课程之一。由于其与 工程问题（强度、刚度及稳定性等问题）联系最紧 密口），所以是培养学生解决复杂工程问题一一当前 工程教育与专业认证对本科毕业生的根本要求”的 重要理论基

7、础。因此，开展材料力学课程改革，对于 实现当前工程教育与专业认证的根本要求具有重要 的现实意义和应用价值&在材料力学的授课过程中，学生反映最多的问 题是截面法内力计算的过程不仅复杂繁琐，而且重 复性计算太多，在内力计算和画受力图过程中很容 易出错由于内力的计算与内力图的绘制是解决材 料力学中强度与刚度等问题的基础，如果掌握不牢, 就无法准确有效地解决工程构件的强度、刚度等问 题，这必然严重制约学生解决复杂工程问题能力的 提高&因此，内力图一直是材料力学教学中研究的 热点为了满足工程教育与专业认证中毕业生 具有解决复杂工程问题能力的根本要求6-9,当前材 料力学课程改革中最重要的任务之一是对传统

8、内力 求解与内力图绘制方法进行革新&为了进一步提高材料力学课程教学质量并培养 学生解决工程问题的能力，本文以材料力学课程为 研究对象，对其基础知识内力的求解方法与内 力图的绘制方法进行革新研究，旨在提出一种能够 快速准确进行内力求解与内力图绘制的方法&1内力求解方法与内力图绘制方法分析求解内力与绘制内力图是材料力学课程中最基 础的内容，是解决各种受力构件强度和刚度问题的 第1步。拉压杆、扭转轴（轴）和弯曲梁是材料力学 中3种基本受力构件，它们的内力与内力图名称见 表1表1拉压杆、轴和梁的内力与内力图名称受力构件内力/内力图拉压杆轴力+n/+n图轴扭矩T/T图弯曲梁剪力f./f.图弯矩M./M.

9、图目前，传统的内力求解方法主要采用截面法# 对于梁的内力，除了采用截面法，当前有些高校和教 材中已经开始采用力系简化法求解横截面上的内 力 #1.1截面法截面法求解内力与绘制内力图的主要步骤如 下：求约束力（视情况），确定分段，逐段截断取分 离体，逐段画受力图，逐段求内力（拉压杆和轴）或 内力方程（梁），画内力图#在拉压杆、轴和梁这3种构件中，拉压杆和轴的 内力计算与内力图的绘制过程相对简单#尽管如 此，随着受力构件分段的增加，重复性的内力计算极 大地削弱了学生的积极性；而对于内力相对复杂的 多段梁而言，采用截面法求解内力方程的过程不仅 繁琐复杂，而且极易出现错误。课程实践证明：截面 法求解内

10、力，尤其是梁的内力方程求解，是学生最容 易出现问题的环节之一，也是学生最不喜欢的内容 之一#1. 2力系简化法力系简化法求解横截面上内力的基本步骤如 下：求约束力（视情况），确定分段和控制面（每段一 般2个控制面），逐面（控制面）求解内力，a.根据 控制面内力值逐段画内力图（Fn图和T图）；b.根 据控制面内力值和微分关系逐段画内力图（F图和 M图）。与截面法相比，采用力系简化法，不需要逐段画 分离体和受力图，使得求解过程得到了一定简化，但 对于多段构件（构件所受力的数量比较多）时，逐面 进行力系简化的过程仍然非常繁琐，力系简化过程 中计算量大且易出现错误。1.3学生对截面法和力系简化法的评价

11、在教学实践中，学生对内力求解的截面法和力 系简化法的评价见表2#表2学生对截面法和力系简化法的总体评价方法占用课时量求解过程难易程度计算量重复计算量差错教学效果截面法多力系简化法多复杂一般大多易出错尚可较复杂较难较大较多易出错一般通过学生反馈可知，由于这2种方法占用课时 以及边界条件（初始横截面的内力值）求解内力与绘 量多、求解过程复杂、难度较大、重复计算较多等特制内力图的方法，即突变形状-边界法#点，导致学生学习兴趣不高，严重影响了学习效果和 2. 1内力突变规律研究教学质量#因此，如何快速简单地求解内力和绘制拉压杆的外力类型只有集中力F,轴所受的外内力图已成为材料力学课程教学质量提高的关键

12、因 力类型为集中力偶M“弯曲梁的外力类型包括集中素#力F、集中力偶M以及分布力（载荷集度q）#在研2“突变-形状-边界”法究B对梁内力的影响规律时，分离体“梁微段”上的 分布力可以视为集中力，因此，集中力F和分布力为了简化内力求解和内力图绘制过程，减少求 对梁弯曲内力的影响规律相同，所以本文仅讨论集 解过程中的计算量，提高内力求解和内力图绘制的 中力对梁内力的影响#正确率与效率，提出了根据内力突变规律、形状特征外力对拉压杆、轴和梁的内力影响规律见表3#表3经过外力作用横截面时内力的突变规律序号内力外力类型内力变化特征受力图左截面，右截面右截面，左截面1轴力Fn集中力F善Fn突增FFn突减FpF

13、工 对Fn突减FFn突增F序号内力外力类型受力图内力变化特征2扭矩T集中力Me左截面，右截面A突增M,右截面，左截面T突减MeT突减MeT突增M,M突减Mi，Fs不变M突增Mi，Fs不变(1)表3给出了外力对轴力、扭矩、剪力与弯矩的影 响规律根据表3,不仅可以确定外力作用处截面 的内力突变情况，还可以作为构件分段的依据，即集 中力（含约束力）和集中力偶（含约束力偶）是构件分 段的主要依据2. 2内力图的形状特征对于轴力图和扭矩图，二者均为水平线而对 于剪力图和弯矩图，它们的形状是由载荷集度g决 定的对于梁，剪力F、弯矩M与载荷集度g之间 存在如下的微分关系：dF3 _+M _ 税 d2M 在=

14、g;d7 = F； = g式1决定了剪力图和弯矩图的形状特征，由式 1可知，任一截面的弯矩可以通过对剪力方程进行 积分求得：M = . Fsd（2）式2表明，梁任一截面-上的弯矩值等于剪力 图上0,段内剪力图的面积 3种构件的内力图 形状特征见表4。表4内力图形状特征序号图名称g图形形状是否自封闭1Fn图水平直线自封闭2T图水平直线自封闭g 0Fs图水平直线自封闭3-1M图g 0斜直线/或、自封闭3-2Fs图M图g % 0g % 0斜直线（递增）抛物线（开口向上）6自封闭自封闭3-3Fs图g $ 0斜直线（递减）自封闭M图g $ 0抛物线（开口向下）自封闭2.3 边界条件根据表3和表4可以分别

15、确定内力图在外力作 用截面的突变规律和内力图的形状特征，要实现构 件内力的求解和内力图的绘制，只需要确定构件初 始截面（构件左端面和右端面）的内力（边界条件）即 可。构件初始横截面的内力值等于该截面所受的外 力大小（初始截面为自由端面）或者约束力大小（初 始截面为约束端面）。2.4举例分析利用“突变X形状-边界”法可以对拉压杆、轴和梁的内力进行快速求解，并对它们的内力图进行快 c）C截面的弯矩为一3. 1 kN（AC段剪力图的40 kN40 kN200 kN/mrA40 kN40 kN200 kN/mrABy，CdIUUUI,400 mm500 mmi,900 mmk400 mmEb）剪力图梁

16、的受力图和内力图图2速绘制，主要步骤如下：画构件受力图，求约束力（视 情况），确定构件分段数量i和各段内力图的形状，确定内力的边界条件（一般选构件左端截面的内 力值为构件的边界条件），根据“突变规律、形状特 征和边界条件确定内力和内力图（一般由左至右进 行确定内力和内力图），校核，根据内力图的自封闭 特征判断解题过程是否有误。为了更直观地描述“突变-形状-边界”法求解内 力与绘制内力图的过程，以内力最复杂的梁（见图1）为例进行分析，试采用“突变-形状-边界”法求解 图示梁的内力并绘制其内力图。40 kN40 kN200 kN/mrAB、，CJUUUbA, 400 mm , 500 mm/900

17、 mmz4O0mm图1 弯曲梁求解过程如下。1）画梁受力图（见图2a）,求支反力。根据平衡 方程可以求得Fb和珏分别为65. 7和94.3 kN。2）梁的分段数量1 = 4,分别为AB.BC. CD和 DE等4段，各段内力图形状特征见表5。3）确定边界条件（梁左段A截面上的内力）。 由梁的受力图可知,A截面的剪力Fea为一40 kN, 弯矩Ma为0。4）综合内力的突变规律、形状特征和边界条 件绘制内力图（见图2Y和图2c）。根据各突变截面剪力值确定各段剪力并绘制剪 力图。由梁A端开始，由左至右逐段绘制剪力图 （见图2b）。a）A截面：剪力由（突变为一I。kN, AB段剪 力为一40 kN。b）

18、B截面：剪力突增65. 7 kN,由一40 kN变为 25. 7 kN,BC 段剪力为 25. 7 kN。c）C截面：剪力突减40 kN,由25. 7 kN变为 14.3 kN,CD 段剪力为一14.3 kN。d）D截面：剪力突增94. 3 kN,由一14.3 kN变 为80 kN,DE段剪力由80 kN线性减小至0。e）根据剪力图的自封闭特征判断图形的正确 性。根据剪力图由左（A段）至右（E段）绘制图示梁 的弯矩图（见图2c）。a）A截面的弯矩为0。b）B截面的弯矩为一16 kN m（AB段剪力图 的面积：一40 kNX0. 4 m= 一 16 kN m）。面积：一16 kN mg25. 7 kNX 0. 5 m=3. 1 kN m)(d）D截面的弯矩为一16 kN m（AD段剪力图 的面积:一 3. 1 kN m 一 14. 3 kN X 0. 9 m = 一 16 kN m）。e）E截面弯矩为0。f）AB段和CD段剪力为负,5图形状均为 ;BC段剪力为正,5图形状为7;DE段M图 形状为0 。g）根据各段M图的形状特征,由A至E截面 依次绘制梁的M图，最后根据M图的自封闭特征 判断其正确性。表5梁各段的内力图形状特征梁分段载荷集度g/kN m