机器学习在湍流模型构建中的应用进展

1、机器学习在湍流模型构建中的应用进展摘 要：借助于高性能计算机和数据共享平台的发展，研究者可以获取大量的高分辨率湍流计算数据近年来，随 着深度神经网络等人工智能技术的发展，数据驱动的机器学习方法也开始应用于湍流模型中不确定度的量化以及 模型的改进和构建中。湍流大数据与人工智能相结合是湍流研究的一个新领域研究者在取得一定成果的同时 也面临着诸多困难和挑战，例如模型的泛化能力和鲁棒性等。模型构建过程包含了数据处理、特征选择以及模型 框架的选取与优化等诸多方面，这些方面在不同程度上影响模型的性能本文从机器学习在湍流建模过程中的实 现方法和模型的不同作用两方面分析总结了目前主要的研究工作进展，并对这类问

2、题面临的挑战和未来的研究展 望进行了阐述关键词：湍流；机器学习人工智能；深度神经网络数据驱动Progresses in the application of mach ine learning i n turbulence model ingAbstract: With the development of high performance computer and data sharing platform, a large number of high fidelity turbulence data can be obtained. Recently, due to the evolut

3、ion of art i fi c i a l i ntel l i gence, i i ke deep neural network, data-dri ven mach i ne learn i ng methods have been adopted to quantify the model uncertainty and improve and construct turbulence models. The comb naton of bg turbulence data and artfcal ;ntellgence becomes a new area of turbulen

4、ce research. Although some encourag ing results have been achieved, there are stlll many difficulties and challenges, such as the generalPation abllity and robustness of the models, etc. The modeing process invoAves various aspects incAuding data process , feature seection and seection and opt i m i

5、 zat i on of the model framework, etc. Th i s paper analyzes and summar i zes the mai n research progress from two aspects : the ;mplementaton methods of machne learnng ;n turbulence mode ling and the different mode l targets. Besides, the challenges and future works in ths area are also dscussed.Ke

6、ywords: turbulence ； machine learning ； artificia l intelligence ； deep neural networks ； data- drven湍流问题涉及到工程中的诸多领域，其重要性不 言而喻人们对于湍流的探索和研究也从未间断 快速畸变思想1-2和各种标度率的提出以及拟序结 构的演示促进了人们对湍流的认识。随着计算机 的迅速发展以及粒子图像测速仪(PIV)的应用，人们 对湍流的研究更加深入细致。我国的湍流研究在前 辈学者的引领下起步很早山，近些年也取得了可观的 研究成果$余振苏教授等!提出了基于结构系综理 论(SED, Structu

7、ral Ensemble Dynamics)的新模型 (SED-SL) ,陈十一院士团队!句提出了带约束的湍流 大涡模拟方法，何国威院士等综述了在欧拉与拉格 朗日两种参考系下的各种时空关联模型，等等$经过 前人的不断努力，人们对湍流的认识不断加深，但湍 流的本质问题以及在工程中的高效应用仍未得到 很好的解决，湍流仍然是航空航天航海等领域工程成 败的关键瓶颈之一。湍流的本质、湍流演变的物理规 律，以及如何在工程中更好地应用湍流，一直是研究 者们不断探索的研究方向$湍流研究的数值计算方法可根据网格分辨尺度 分为直接数值模拟(DNS)、大涡模拟(LES)和雷诺平 均应力模型(RANS) $随着计算机

8、性能的提升和并 行算法的开发,DNS和LES越来越多地在学术界和 工业界得到应用。但是，对于复杂的几何外形和高雷 诺数流动而言，急剧增长的网格量很大程度上限制了 这两种方法的应用范围，对于飞行器在飞行包线中的 计算恐怕要到2030年才能实现$相比之下， RANS模型虽然精度不及前两种方法，但其易用性 和高效性使之在工程实践中得到广泛应用!10 $特别 是在航空航天领域，流动的雷诺数普遍较高，湍流计 算主要依赖于现有的RANS模型$RANS模型大多基于涡黏假设，在附着流中容 易取得较好的计算结果$对于分离流等复杂流动，雷 诺应力与应变之间不再是简单的线性相关，其各向异 性使得湍流的模型化变得明显

9、困难因此，RANS 模型的计算结果往往偏差较大而不可靠$另一方面, 模型中的经验性参数往往是依据某些特定的流动确 定的，一定程度上也增加了模型的不确定度，继而影 响模型的适用性$目前常用的RANS模型还是20 世纪提出的，主要有Baldwin-Lomax(BL)模型!&2、 模型口3、$模型!和 Spalart!Allmaras(SA)模 型!项等$另外，可视具体工程问题采用SST模 型口句、$-2模型&、$2模型18以及一些修正的 模型3等$与一阶矩封闭模式不同，雷诺应力输运 模型(RSTM)是基于雷诺应力输运方程的二阶矩封 闭模式!20$该模型虽然精度较高，但计算效率和鲁 棒性有待进一步提

10、高，尚未在航空工程中广泛采用, 许多CFD研究者也在致力于这一问题的改善$近年 来，余振苏等人21-22基于李群理论提出了解析的应力 长函数表达式以描述壁湍流中的多层结构$从历史 过程可以看出,RANS模型的发展已经到了平台期, 难以取得新的突破来克服其固有的缺陷，湍流问题的 求解亟待新思路、新方法的涌现$实际上，针对复杂静/动力学系统模型化主要有 两个途径$第一个是基于理论的模型架构，即根据物 理问题的控制方程，建立理想的系统描述$这种模型 通常需要研究者对物理过程有深刻的理解，并将其转 化为数学模型，现行的湍流模型大都是采用这个途 径$第二个则是数据驱动方法，即根据系统仿真或试 验中的样本

11、数据，直接构造黑箱或灰箱模型$近年 来，随着计算机性能和精细化流动测试手段的发展, 研究者逐步能够获得高精度、高时空分辨率的流场信 息，或者直接通过开放的平台(如http :/turbulence. /)获取$如何高效地利用这些大数据，从 中提取出关键信息，并指导流体力学的发展，已经成 为研究者关注的焦点。作为处理和分析数据的主要 手段，数据挖掘、统计学习和机器学习等技术，则为开 展此类研究提供了重要基础$机器学习通过一些算 法从数据中建立模型，使之具备一定的判断和预测能 力$常用的算法有径向基神经网络(RBFNN)、随机 森林(RF)、支持向量机(SVM)和神经网络(NNs)等$ 这些算法已

12、广泛应用于语音和图像识别!23-2*、信号处 理!2以及降阶处理!2E等领域$流体力学研究者也已将这些方法成功用于各自 领域的相关研究工作中，例如偏微分方程求解以及非 线性动力学特征的模拟等$在湍流领域，国内外的专 家学者也加快了机器学习方法在湍流建模中的应用 步伐$早期的研究工作主要是探讨与湍流相关的变 量之间的关系，采用的方法也较为简单27-28 $实际 上，正式采用数据驱动方法来改善或替代RANS模 型的研究主要是近几年开展的!2D$逐渐地，研究者 开始侧重于对RANS模型的改善以及更复杂机器学 习方法的应用$ Tracey等人!30针对二维及三维流 动，构建了替代SA模型中源项的神经网

13、络模型。除 了以RANS模型控制方程中的某些项作建模对象， 研究者还针对修正系数分布或附加源项建立数据驱 动模型并以此来改善原RANS模型的计算精 度-33 $ Wang等人针对RANS模型和高分辨率 数据之间雷诺应力偏差构建模型，提高了 RANS模 型的准确性$上述工作主要是利用机器学习方法来 完善RANS模型，以获得更高的计算精度$ Ling和 Templeton等人!3通过深度神经网络方法计算了雷 诺应力的各向异性分量，并显示了二次流中的旋涡结 构和波形壁中的分离现象$除了应用于RANS模 型，数据驱动方法也已用于模型化LES中的湍流相 关变量$ Gamahara等人!3E针对亚格子应力

14、张量的 分量分别建立了人工神经网络模型$ Maulik等人采用人工网络模型预测了时空变化的湍流源 项# Wang等人*用不同机器学习方法和特征研究 了亚格子应力封闭。这些研究工作仅以高分辨率的 数据作为驱动，一定程度上降低了模型封闭或湍流相 关变量模型化的难度，证实了纯数据驱动的黑箱模型 在湍流研究应用中的可行性#另一方面，一些研究者 还将机器学习用于描述和量化传统模型计算结果的 不确定度，对未来的建模工作具有很好的指导作用# 目前主要的研究方向和建模流程可大致归结为图1 所示#(赛取数据第)不确栅度1 改善直替蹲 f重品ES芬J I RANsjg 亚福翎型,|标度率|域纲分析|雷诺应力约束耦

15、合求解器？口稳定性及耦合求解器？收敛性分析恁型评矽图1机器学习应用于湍流研究的主要研究方向及流程Fig.l Main research direct ion and process ofmachine learning applied to turbulence study机器学习在湍流研究中的快速发展在一定程度 上也得益于诸多广泛使用的开源平台#目前， TTensorFlow、Keras、Zheano 以及 Matlab 等平台为 开展学习工作提供了有力支持#这些平台大都内嵌 了多种学习框架供用户选用，如RBFNN、RF以及更 复杂的深度神经网络(DNN)和卷积神经网络(CNN) 等#同时，

16、模型的超参数优化可采用随机梯度下降 (SGD)、动量随机梯度下降(SGDM),以及Adam算 法等实现#此外，基于CPU或GPU的并行算法缩 短了湍流大数据的模型优化过程#这些开发平台的 使用大大提高了研究者的工作效率，便于迅速开展并 推进研究工作，而且，代码的通用性也有助于研究者 之间的相互交流和探讨#机器学习与湍流建模相结合的研究工作是流体 力学领域新兴的研究方向#现有的研究成果有力地 验证了其可行性，预示了机器学习在未来湍流模型应 用中的积极前景390与此同时，研究者也面临着诸 多问题与挑战# 一方面，现有的研究主要是基于 DNS和LES计算的高分辨率数据，因此，选取的算 例多是针对简单

17、几何体的中低雷诺数流动问题，如平 板和管流等#然而，工程中的高雷诺数湍流，如机翼 和翼型绕流，则难以获取高分辨率数据，如何将机器 学习应用于这一领域的湍流计算值得进一步探索# 另一方面，模型的泛化能力和鲁棒性以及稳定性需要 进一步提高#现有研究中，当预测数据与训练数据差 别较大时或者几何外形发生变化时，模型的表现会不 同程度地下降#这在一定程度上是数据驱动方法本 身固有的缺陷，另外，模型构建过程中的一些方面，如 数据处理与特征构建、模型对象的选取以及约束性条 件的施加也会影响模型的最终性能#模型与求解器 的耦合需要额外地考虑模型的稳定性# 一种耦合形 式我们称之为“松耦合”，其过程是先通过RA

18、NS基 模型与N-S求解器求解出初始流场和雷诺应力场， 然后，所构建的机器学习湍流模型根据已获得的初始 流场构建模型输入并展开预测#通过模型的预测值 更新初始的雷诺应力，将改善的雷诺应力直接传递给 求解器#另一种则与传统RANS模型相同，所构建 的模型在从初始流场开始的每一迭代步都与求解器 之间互相反馈，直至N-S方程求解器获得收敛解，我 们称之为紧耦合，如图2所示#其中，稳定性问题 在后者中表现得更明显#.|初始，条件|丽忠停亟卜_f ns方球解器|I初始雷服应万杭露习，湍流模型|NS方臀解卦改善的审诺应力|(:最煮果(a)松耦合(b)紧耦合图2 机器学习湍流模型与CFD求解器的耦合Fig.

19、2 Coupling of machine learning turbulence model with CFD soSer1机器学习建模过程基于机器学习方法的模型构建过程主要包含数 据处理、特征选取以及模型框架的确定及参数优化等 几个方面#针对每一方面，研究者又可以采取不同的 方法，例如模型框架可选择网络模型或树模型，激活 函数可选择tanh或ReLu等等#这些方面在不同程 度上影响模型的性能# Ling等人比较了不同的分 类器在预测湍流模型不确定度中的应用,Zhang等 人!比较了不同输入对结果的影响，等等#模型框架和参数优化方法的种类繁多，在分类和回归以及各 自对应的特定问题中通用性较差

20、，难以界定某种模型 或方法的具体优劣性。但是无论采用什么方法，特征 选择和数据处理都是研究者普遍面临的问题1.1特征选择特征选择主要是为了选出相关的和有用的特征， 降低特征的冗余度，另外还有减少特征集，提高模型 性能和数据理解等的作用在实际应用中，过多的特 征不仅会减缓学习过程甚至会干扰学习算法需要 注意的是，特征选择对不同机器学习算法的效果不 同，有时反而可能会降低模型性能目前，常用的 特征选择算法有滤过法，打包法和嵌入法42,但在机 器学习湍流研究中，这些算法的应用还较少湍流的 物理机理复杂，特征选择的难度较大，甚至被假定为 最大的挑战30。研究者主要是根据物理知识或已有 的控制方程和表达

21、式进行经验性的选取和比较。由 于不同研究的建模对象不同，研究者根据自身经验进 行的特征选取往往通用性差且存在一定的偶然性 Ling等人#提出具有不变量属性的输入特征，并与 不具备该属性的特征进行了对比。Wang等人则 进一步给出了特征的相对重要性。另外，由于不同的 输出与流场变量的相关性不同，模型的输入特征也可 予以区别选取38。特征选取过程中亦应考虑特征的 数据分布范围，尽量保证每一特征的数据分布较为紧 凑，避免输入特征和输出中出现极端异值。除此之 外，为了避免不同特征间的量级差异，研究者可以对 特征进行线性归一化或标准化等处理。1.2输入输出数据处理训练数据可以从湍流数值计算结果中直接获得

22、， 也可以根据具体的建模需要间接求得。作为模型的 定义域，训练数据所构成的数据空间从根本上决定了 模型的性能，其重要性不可忽视。如果训练数据量不 大，建模者可以将全部数据用来训练模型。但是对于 网格量较大的DNS、LES以及高雷诺数算例，可利用 的训练数据往往过多而冗余。如果不加以筛选，过多 的样本会导致计算代价大而且训练过程周期长。为 此，研究者大多在时间上采用快照，在空间上采用取 截面的方法。这种方法虽然简单高效，但是没有摆脱 网格划分的影响，也不能直接体现出对流场关键区域 的侧重。另一种方法是根据训练数据间的相似性或 欧式距离来剔除冗余的样本。这种方法弥补了前者 的缺点，但是筛选过程会随

23、着训练数据的增多而变得 效率低下。研究者可依据具体问题结合着使用这两 种方法。对于模型的输出，当预测算例中出现超出模 型泛化能力的流动特性时，模型的某些输出值可能不 满足物理规律的约束或者属于明显错误的异值。这 些值降低了模型的精度和鲁棒性，因此，可以适当地 进行后处理。例如，为了确定数值稳定性，Maulik等 人对模型输出作如下截断，III，if(V2)( 0 TOC o 1-5 h z n =(.%，otherwiseLing等人#3$对模型预测的各向异性值进行如下约束，(1)(1),I, 1 ， & O(3 | &)/2C 1b B 1 C， for B . 1， +1 1 3+2(2)

24、1.3模型框架1.3机器学习方法的多样以及相对应的超参数极大 地丰富了模型框架的选择性。主要的模型框架及其 在湍流中的不同应用如表1所示。这些模型框架都 能够用于构建复杂的非线性映射关系，研究者可根据 具体问题具体选择。模型的超参数可通过不断调整 和对比结果来确定，也可借鉴于某些超参数优化算 法，如Spearmint、Hyperopt等等。在超参数的优化 过程中，除了考虑模型在训练集上的精度外，亦应考 虑其在验证集或后验测试中的表现。表1主要的模型框架及应用Table 1 Main model framework and appliance模型框架应用高斯过程针对槽道流和旁路转捩中模型修正系数

25、和源项的 建模#31$深度神经 网络重构分离流及二次流中雷诺应力各向异性张量加$ 改善RANS模型在分离流中的应用44$基于CNN构建LES中的封闭项45$单层/浅层 神经网络构建亚格子应力模型3E$替换高雷诺数翼型绕流的RANS模型4E$ 重构RANS模型方程源项30$树模型重构雷诺应力的偏差量34$ 亚格子应力的封闭38$ 湍流场中不确定区域的预测40$2机器学习在湍流模型中的应用经过近几年的努力，机器学习方法在湍流研究中 的应用得以迅速发展。在应用范围上，目前已开展了 平板、管流及翼型等几何体的剪切湍流以及分离流、 二次流等复杂流动现象的建模工作。在应用程度上， 机器学习不仅用来构建流场

26、变量之间的复杂映射关 系，还直接应用于雷诺应力的计算。特别地，根据模 型作用可将现有的研究工作大致分为三类：模型的不 确定度分析，改善湍流模型，以及替代湍流模型。 2.1湍流模型的不确定度分析与真实的物理解或高分辨率结构相比，模型的计算结果往往存在一定的不确定度，其主要来源于NS 方程的系综平均计算、模型封闭函数形式、雷诺应力 表达式和模型经验参数等#在具体应用中，由于模型 之间的封闭形式和经验参数等不同，对不同流动的不 确定度也难以把握#对于模型参数和模型形式导致 的不确定度，可以采用灵敏度分析、概率分析以及贝 叶斯方法等加以量化$心3。近年来，机器学习方法开 始逐渐被应用于模型的不确定度分

27、析#构建RANS 模型参数与参数对应的偏差之间的数据驱动模型，通 过计算模型的最小值来确定RANS模型的最优参数 有利于提高精度模型研究者可以通过构建分类 器来预测流场中RANS模型的不确定区域，进一步地 还可以针对模型所确定的不确定区域采用更好的计算 方法皿冲。Singh等人饥结合流场反演和贝叶斯方 法来量化RANS模型的不确定度。更多关于RANS 模型或LES的不确定度分析可参考文献综述5I%。2.2改善湍流模型RANS模型由于存在结构和参数上的不确定 度，计算精度及适用范围会受到不同程度的限制#对 于某些存在激波-边界层干扰的流动或分离流， RANS模型的计算结果往往存在一定的偏差甚至不

28、 准确，因此，研究者希望根据高分辨率数据来减小 RANS模型计算的偏差，或者使之能够用于分离流 的计算#这种采用机器学习方法来改善RANS模型 的研究思路大致可分为两类：一种是通过改变模型的 控制方程形式，如乘以修正系数或给方程增加源项； 另一种是在RANS模型基础上构造偏差函数，然后 将RANS模型和偏差函数的计算结果叠加，作为最 终的雷诺应力值#前者主要是针对基于涡黏假设的一方程或两方 程RANS模型。研究者首先根据实验结果或高分辨 率数据反演计算出引入的修正系数或增加的源项，然 后以此作为输出，构建出数据驱动的模型并将其与求 解器耦合，流程图如图3所示。譬如，Singh等人 通过修正SA

29、模型中的生成项来改变控制方程形式, 使得修正后的模型能够用于分离流的计算并取得与 实验更相符的计算结果# SA模型的原方程为：=P(9 ,U)-D(8 ,U) + T(8 ,U) Dt(3)引入空间变量-G)(3)D8 =-G)P(8 U) D8 ,U)JT(8 ,U) (4)图3 数据驱动的RANS求解器的构建过程Fig. 3 Process for building I data-driven RANS solver!31通过实验结果对RANS模型的结果进行优化, 利用伴随方法对场反演后得到-(g),然后基于机器 学习方法建立流场变量与-(G)之间的映射#所构建 的模型具有很好的迁移性，并

30、保证了原模型的收敛 性，在不同程度上改善了原模型的计算结果#其中， 14攻角下S809翼型算例的压力对比如图4所示#相似的研究工作还分别围绕方程的生成项和 转捩模型的源项或汇项等展开$31% #第二种研究思路不改变控制方程形式，而是对模 型计算后的结果加以修正#2B I 2 B .RANS + B ,Model(5)(a)反演求得的-场(b)神经网络预测的-场(c)不同计算结果的对比图4 S809翼型在a = 14和Re = 2X10+时的模型预测结果对比44(a)反演求得的-场(b)神经网络预测的-场(c)不同计算结果的对比图4 S809翼型在a = 14和Re = 2X10+时的模型预测结

31、果对比44Fig.4 Comparison of inverse and NN-augmented predictions (using data-set P) for S809 airfoil at a = 14and Re = 2 X10+44据驱动方法的基础上，研究者强调了雷诺应力的物理 约束，提出了基于物理的机器学习概念$当训练模 型与预测模型相同时，模型能够明显改善RANS模 型的计算结果，如图6所示。但是，即便是基于相似 的流动现象（分离流），对于几何模型发生变化的区域 （周期山的收缩段），修正模型甚至恶化了原RANS 模型的计算结果，如图7所示$改善原湍流模型以提高其精度的建模思

32、想首先 肯定了 RANS模型的借鉴意义，本质上是给模型的x/H; 15k/U+x/H图6 湍流基模型，DNS和PIML预测的湍动能的 轮廓对比图（用周期山作训练数据）Fig.6 Profiles of turbulence kinetic energy correspondingto baseiine, PIML-predicted and DNS resuits(flows over periodic hiils as training database)#!$-Baseline Predicted DNS246x/H; 15k/U+x/H图7 湍流基模型，DNS和PIML预测的湍动能的轮廓

33、对比图（用波形管道和弯曲后向台阶作训练数据）#!:Fig.7 Profiles of turbulence kinetic energy correspondingto baseiine, PIML-predicted and DNS results(flows over wavy channels and curved backward facing step as training database )#!: 控制方程增加了一个源项或修正项$基于此而建立 的模型我们称之为修正模型$这种修正模型确实在 一定程度上提高了原模型的精度，但同时也增加了额 外的计算量，降低了整体的计算效率$另一方面

34、，修 正模型是针对某个特定的RANS模型所构建的，然 而，不同的RANS模型存在不同的不确定度$因此， 所构建的模型一般只适于某个特定的RANS模型， 这会在很大程度上限制修正模型的使用范围$ 2.3替代湍流模型与构建修正模型的思想不同，替代湍流模型的出 发点是希望直接从数据中找出流场变量与湍流之间 映射关系$基于此而建立的模型我们称之为替代模 型$ Ling等人矣（基于Pope推导的基张量和不变量 构建了雷诺应力各向异性的张量基神经网络模型 （ZBNN）,如图I所示。其中，雷诺应力各向异性张量Tensor input layer TInvarianti罗t IgerHidden layers

35、 Final hidden”心layers矽)图8 张量基神经网络架构示意图Fig.8 Schematic of tensor basis neural network architectures#35b可由基张量T线性表达为顷：10b i +gS/i，*)(6)n-1基张量与不变量的表达式分别如下，T1% -sT(C - SR RST-SC - &I - Tr(SC)T-RC - &I - Tr(RC)T% -RSC - SCR2T -RCSJSRC - I - T.(SRC)T(n -RSRC -RCSRT路)-SRSC - SCRS2T(9) -RCSC JSCRC I - T.(S泌)

36、T(10) -RSCRC RCSCR(7)-T.(SC)，/ -Tr(RC),-Tr(S)，-Tr(RCS)，/ -Tr(RCSC)(8)其中，I表示单位阵，T.表示迹，S表示平均应变率张 量，R表示平均旋转张量。该模型能够预测出管流中的角涡和波形壁面的 流动分离（图9）,这一点是涡黏模型无法实现的。然 而，ZBNN与求解器之间进行迭代收敛的可行性还 有待进一步验证。图9波形壁测试算例中的流向速度云图(分离区用灰线描绘)35Fig. 9 Contours of stream wise velocity normalized by bulk velocity in the wavy wall t

37、est case, zoomed into the nearwall region35 , (separated regions outiined in grey)Zhu等人!*6探讨了直接构建纯数据驱动的湍流 黑箱代数模型，并实现了与求解器之间的耦合计算 （图10）（研究结果表明，基于NACA0012翼型的三 个亚声速状态算例，所构建的模型可以实现与SA模 型相当的精度和更高的计算效率，并对计算状态（图 11）和几何外形（图1C）具备一定的泛化能力，验证了 替代模型的可行性。与修正模型不同，替代模型的性 能对最终摩擦阻力的计算结果起决定作用，而且对求 解器的收敛性也有重要影响。换言之，模型构

38、建过程 对模型输出的精度和光滑性以及模型的稳定性都有 很高要求。对于回归问题，损失函数决定了量级大的 值比量级小的值容易取得更高的拟合精度，然而，边 界层内（尤其是高雷诺数时）的剧烈变化容易导致湍 流变量的明显的尺度效应。因此，替代模型很难在整 个的训练数据空间中都保证较高的精度。模型性能 欠佳的边缘区域容易出现异值，继而影响模型输出 的光滑性。此外，将所构建的模型嵌入求解器后，模 型预测在迭代过程中会存在一定程度的不稳定，残差 在下降过程中出现震荡，如图13所示。纯数据驱动的建模工作亦在二维及三维亚格子 应力的模型封闭中开展（Sarghrni等人!6C用神经网 络方法提高了 LES中亚格子应

39、力的计算效率。针对图10构建学习器和代理器的流程图#妇 (q和出分别表示输入特征和涡黏)Fig. 10 Flow chart for bullding the learning machine and surrogate machine#们,(q and * mean the nput features and eddy vscosty %respectvely)图11训练和预测算例中SA (方框)和 RBFNN (三角形)计算的力系数结果对比#+$Fg.11 Comparson of the force coeffcent calculated by SA (square) and RBFN

40、N (delta) for both training and predicting cases#们(a) NACA0014 翼型(b) RAE2822 翼型图12预测算例P1、P2和P5的摩擦阻力系数分布对比图中数据表示SA/RBFNN计算的摩擦阻力系数 Fig.12 Predictions for NACA0014 and RAE2822 airfoil at P1 , P2 and P5 cases46#.(the data inside are C$# values calculated by SA/RBFNN model)NACA0014-SARAE2822-SA -NACA0014

41、-RBFNN -RAE2822-RBFNN方法计算的结果进行了比较NACA0014-SARAE2822-SA -NACA0014-RBFNN -RAE2822-RBFNN方法计算的结果进行了比较，如图14所示。(a)动能01234567Interation NO/IO4图13 P5算例的残差下降过程曲线图Fig. 13 Residual evolution at P5 case46#时空变化的湍流源项 ,Maulik等人构建了人工 神经网络的亚格子模型，与之相关的涡量-流函数控 制方程为： J ( # 3)= - J n(9)除了将模型与Smagorinsky和Leith模型对比 外，Maul

42、ik等还进一步研究了不同输入特征和邻居 网格信息以及后验信息对模型性能和模型架构选择 的影响，指出超参数优化过程中需要后验信息的耦 合。针对槽道湍流，Gamahara等人采用人工神经 网络对亚格子应力的每一分量分别建立模型并对比 了不同输入特征的结果，缺点是模型容易受到滤过尺 度的限制。Wang等人38用随机森林和人工神经网 络基于不同输入特征研究了大涡模拟中亚格子应力 的数据驱动封闭，并对构建的模型与Smagorinsky模 型(SM)和动态Smagorinsky模型(DSM)以及其他(b)耗散率图14不同计算方法之间可分辨的动能和耗散率的时间演化图38#Fig. 14 Temporal e

43、volution of resolved kinetic energyand dissipation by different simulations38#2.4模型的鲁棒性与稳定性模型训练过程中，建模者都希望实现更高的模型 精度，然而，单纯地追求精度的提高往往是以损失鲁 棒性为代价的630由于存在过拟合的风险，训练阶 段较低的损失函数对应的模型框架或模型参数并不 意味着较高的预测能力，因此，可以在损失函数中引 入L1或L2范数约束，或者采用Dropout等方法。 此外，模型选择时也可以耦合后验分析或者进行交叉 验证如果需要将所构建的模型与求解器耦 合，则在模型构建过程中必须要考虑到模型的稳定 性。单纯的基于数据的训练与预测完全忽略了模型 偏差对流场的影响。事实上，对于显式地改变雷诺应 力或亚格子应力的模型，任何微小的模型扰动都有可 能被累积放大为速度场中明显偏差，而对于改变 RANS模型控制方程中某一项表达式的修正模型， 稳定性问题并不明显#项必$。Wu等人提出了衡 量模型条件的方法，将雷诺应力分解为线性和非线性 部分并分别建模以增强模型的稳定性。针对这一方 面的研究工作还有待进一步的探索和完善。3总结与展望将数据驱动方法应用于湍流计算的研究工作在 近几年得到了飞速发展。一方面，机器学习新方法的 涌现为研究者提