重力学：第五章 重力异常及其正演、反演问题上

1、第五章 重力异常及其正演、反演问题5.0 引言5.1 地面观测重力异常的定义与物理意义 5.2 卫星观测重力异常的定义5.3 重力异常数学表达式及拉普拉斯方程解5.4 简单规则形体的正演与反演问题5.5 复杂形体的正演与反演问题5.6 密度界面的正演与反演问题5.7 二维、三维密度反演（密度成像）5.8 反演中的非唯一性问题r1r2离心力引力5.0 引言地球重力场变化的成因分析 在重力测量线下方有不同的构造及岩石； 每个测点相对地下构造的位置不同； 每个测点相对周边的地形不同； 每个测点高程的不同。5.0 引言地球重力场变化的成因分析 两极扁平的球体的引力，在同一个水准面上的两极处数值最大，赤

2、道处最小；而惯性离心力则距旋转轴越远数值越大，显然在地球表面赤道处最大，两极处为零；总体上，地球重力的数值随纬度变化，并且在两极处最大，赤道处最小。5.0 引言地球重力场变化的成因分析 在地面进行重力测量时，地下分布有各种地质构造和岩石，其密度不尽相同，作为引力场源，它们在不同测点上产生引力也不同。5.0 引言地球重力场变化的成因分析 在起伏的地形上进行重力测量时，测点的高程的变化会产生三种效应：测点高程变化意味着距地心距离变化，地球在测点的引力会变化；每个测点周边地表物质在的测点产生引力也不同；每个测点因高程变化相对地下构造和岩石的位置也在变化，地质构造和岩石产生的引力也不同。5.0 引言地

3、球重力场变化的成因分析归纳一下，引起地球表面重力变化的主要原因：地球的形状扁椭球体引力随纬度变化，在大地水准面上，两处最大，赤道处最小，两者相差约1800mGal；地球自转惯性离心力随纬度变化，在大地水准面上，两极等于零，赤道最大，最大变化达3400mGal； 测点距地心距离变化地球表面起伏不平： 测点周边地表物质引力各异 地质构造和岩石的引力在个测点上不同地球内部物质密度分布不均匀；太阳与月球的引力，最大变化达0.2mGal。椭球引力与惯性离心力地形物质引力高程固体潮5.0 引言地球重力场变化的成因分析5.0 引言重力扰动与重力异常纯重力异常（或重力扰动）混合重力异常（或重力异常）两者关系：

4、 地表某点的重力异常PPNP0P0Np地球等位面椭球等位面大地水准面地球椭球面5.0 引言重力扰动与重力异常 半径为 r 的球面上的重力异常5.0 引言正常重力的变化率 考虑到重力线的曲率，正常重力垂向变化率与u和w均有关，将两者作用结合，有 纬向变化率： 第五章 重力异常及其正演、反演问题5.0 引言5.1 地面观测重力异常的定义与物理意义 5.2 卫星观测重力异常的定义5.3 重力异常数学表达式及拉普拉斯方程解5.4 简单规则形体的正演与反演问题5.5 复杂形体的正演与反演问题5.6 密度界面的正演与反演问题5.7 二维、三维密度反演（密度成像）5.8 反演中的非唯一性问题5.1.1 重力

5、异常的概念 在这里，我们所指的重力值不包括重力随时间变化的那部分。一般意义上重力异常是指在地面上观测到的重力值与正常重力值相比较后的差值。一般异常概念：重力值与相应位置上的正常重力值之差，即而这样的重力异常往往意义不明确，因为造成重力异常的原因有两个方面，一是地形起伏，二是地下物质分布不均。 为了使重力异常具有明确的物理意义，根据不同的目的，可对上述异常进行不同的校正，可得出不同物理意义的重力异常。5.1 地面观测重力异常的定义与物理意义椭球引力与惯性离心力地形物质引力高程固体潮5.1.2 自由空间校正与自由空间异常 如果在起伏地表进行重力测量，地面重力将随着高程变化而变化。需对重力测量数据进

6、行高度影响校正。 我们先考虑高程变化的第一个影响：测点距地心距离变化导致测点处引力和惯性离心力与椭球面上对应处的不同。 处理这个问题，实际上只需把测点高程所在的正常重力计算出来即可。计算高程为h的正常重力值可以通过正常重力在椭球面附近的垂向变化率乘以高程来获得。5.1 地面观测重力异常的定义与物理意义h地球表面大地水准面 由此，高程为h处的正常重力值为 上式相当与对原椭球面上的正常重力值进行了一项校正，这种校正称为“自由空间”校正，也称为“高度校正”，其表达式为通常可以将自由空间校正量近似为 (h为测点高程，单位 m) 5.1 地面观测重力异常的定义与物理意义 自由空间校正系数是正常重力在大地

7、水准面附近垂向梯度的近似值。自由空间(Free Air Anomaly)异常为 自由空间校正只是将重力测量值中高程变化的部分影响去掉，其物理意义在于：将大地水准面或地球椭球面上的正常重力值换算到测点高程处正常重力值。 椭球引力与惯性离心力地形物质引力高程固体潮5.1 地面观测重力异常的定义与物理意义hA地球表面大地水准面ABhA以上地形物质hA以下缺失的物质A点所在水准面5.1.3 地形物质引力作用与校正起伏地形物质引力校正 地形物质的引力针对不同测点而作用不同。因此，消除地形影响的的最直接的办法，就是将每个测点周边的地形“夷平”，即将高于和低于测点的物质引力计算出来，将它们在铅锤方向的分量加

8、到重力测量值中。这时，每个测点周边的都可视为是一个“平的”地面。 5.1 地面观测重力异常的定义与物理意义5.1.3 地形物质引力作用与校正起伏地形物质引力校正 注意到前面所叙述的一句话“将它们在铅锤方向的分量加到重力测量值中”。 由于高于测点高程的地形物质在测点上产生的引力沿铅锤方向上分量都是使该点重力值减小，“夷平”后这些物质不存在了，所以这些物质的在测点的引力应该加回到测点重力值中。而低于测点高程的地形物质是“夷平”过程中填进去的，这些物质在测点上产生的引力之铅锤分量自然要加到该点重力值中。 hA地球表面大地水准面ABhA以上地形物质hA以下缺失的物质A点所在水准面5.1 地面观测重力异

9、常的定义与物理意义5.1.3 地形物质引力作用与校正起伏地形物质引力校正 地形校正（TC）：将测点周围起伏地表与该测点所在水准面所包含的（无论高于或是低于测点的）物质在测点处产生的引力之铅锤分量加到观测重力值中。 引力计算时采用的岩石密度一般采用地表或上地壳物质平均密度。5.1 地面观测重力异常的定义与物理意义5.1.3 地形物质引力作用与校正中间层物质引力校正 从前面讨论可知，上述地形校正并没有把地形物质的引力完整去掉。因为“夷平”后不同高程上的测点彼此之间存在一个等厚的物质层，测点高程不同，物质层厚度就不同，所产生的的引力也不同，这就是所谓的“中间层”。 由于这个物质层总是在测点下方，所以

10、中间层产生的引力总是使测点重力值增大，因此，需要将其从重力测量值中减掉，即作中间层校正。BhA地球表面大地水准面AhA以上地形物质A点所在水准面hA以下缺失的物质5.1 地面观测重力异常的定义与物理意义5.1.3 地形物质引力作用与中间层校正 中间层校正是布格（Pierre Bouguer）首先提出来的，所以又称“布格校正”，中间层校正是以大地水准面或地球椭球面作为基准面，将以各测点高程为厚度的物质层在测点处产生的引力之铅锤分量，从重力观测值中减去。BhA地球表面大地水准面AhA以上地形物质A点所在水准面hA以下缺失的物质5.1 地面观测重力异常的定义与物理意义5.1.3 地形物质引力作用与中

11、间层校正 严格地说，中间层校正应该计算以测点处水准面与大地水准面所挟的曲面等厚层产生的引力，对于全球范围，则是一个球层的引力。但通常勘探范围都不大，所以可以把局部范围内的中间层近似为一个无限大的“平板”，只需计算无限平板的引力即可，其校正量为BhA地球表面大地水准面AhA以上地形物质A点所在水准面hA以下缺失的物质5.1 地面观测重力异常的定义与物理意义5.1.4 布格校正与布格异常 由于以测点高程为厚度的无限平板的引力作为中间层校正量，其与高程为线性关系，在我国的许多教科书和勘探规范中，都将中间层校正与自由空间校正合为一体，称为布格校正（沿用前苏联国家的称法），即布格异常为其近似的计算式为其

12、中h为测点的高程，单位为m， 为密度，单位为g/cm3。 中间层校正的密度与地形校正一致。5.1 地面观测重力异常的定义与物理意义5.1.4 布格校正与布格异常 将测点上观测的重力值，经过自由空间校正、地形校正、和布格校正，再与正常重力进行比较，得到的重力异常只反映地下物质密度不均匀状态，这种异常称为布格异常。 所以，我们说，布格异常是单纯反映地下物质密度不均匀的重力异常。布格异常的计算如下：椭球引力与惯性离心力地形物质引力高程固体潮5.1 地面观测重力异常的定义与物理意义5.1.4 布格校正与布格异常 有一问题需要澄清。地形校正和中间层校正并非把大地水准面以上的物质的引力效应全部去掉，而是按

13、照“地表或上地壳“正常密度”计算的引力，一些与“正常密度”有差异的地质体所形成的剩余质量的引力仍然存在。 地球表面大地水准面BA5.1 地面观测重力异常的定义与物理意义绝对布格异常与相对布格异常 纬度校正与相对布格校正 前面的布格重力异常也称绝对布格重力异常。在区域不大情况下进行相对重力测量时，有时只需要计算相对布格异常值，这时需要针对某一个基准面进行校正，正常场则采用相对纬度校正，地形校正不变，这样得到的异常称为相对布格重力异常。 相对纬度校正： 相对布格校正：相对布格异常： 5.1 地面观测重力异常的定义与物理意义剩余密度和剩余质量 剩余密度： 研究对象的密度与其周边物质密度之差。 剩余质

14、量： 研究对象的剩余密度与其体积之乘积。5.1 地面观测重力异常的定义与物理意义 单纯反映地下物质不均匀的重力异常：地下剩余质量在测点产生的引力在重力方向上的投影。gFg |g | | | = |F |cos5.1 地面观测重力异常的定义与物理意义实测重力点模型正常重力值模型实测重力值经正常改正、高度改正后的模型（自由空间重力异常模型）布格重力异常模型（海平面全球地改模型） 布格重力异常与地球内部构造 5.1 地面观测重力异常的定义与物理意义 布格重力异常与地形的关系 5.1 地面观测重力异常的定义与物理意义5.1.5 地壳均衡与重力均衡异常的概念地壳均衡概念的由来 1854年，英国人普拉特（

15、J. H. Pratt)在尼泊尔喜玛拉雅山附近进行大地测量时发现，喜玛拉雅山的物质不能抵消巨大的垂向偏差，由此推测喜玛拉雅山底下有巨大的低密度物质存在。5.1 地面观测重力异常的定义与物理意义5.1 地面观测重力异常的定义与物理意义5.1.6 普拉特（Pratt）均衡假说（模型） 普拉特海福特假说是基于地壳密度不变，单位面积地壳物质密度为海洋地区有 无论是普拉特假说还是艾里假说，都认为有一个等压力面存在，即地壳存在着均衡现象。尽管“地壳均衡”这个概念不是由他们提出的，但是仍然被誉为地壳均衡现象的首次解释者。正是由于地壳均衡问题的提出，引发了人们对地球内部构造的研究。5.1 地面观测重力异常的定

16、义与物理意义陆地补偿密度: 海洋补偿密度: 5.1 地面观测重力异常的定义与物理意义5.1 地面观测重力异常的定义与物理意义5.1.6 Pratt均衡模型特点上层介质的底面深度在同一个水平面上；均衡补偿通过上层介质的密度的横向变化来达到；山区物质密度低，而海洋地壳密度高；该模型代表了局部均衡补偿。5.1 地面观测重力异常的定义与物理意义5.1.7 艾里（Airy）均衡假说（模型） 艾里假说是根据阿基米德原理，假设单位面积地壳的质量应等于 同等面积排开岩浆的质量，即有等式 （T0+ h + t）0 = （T0 + t） 式中T0、t 分别为地壳正常厚度和沉入岩浆的厚度，0 、 分别为地壳正常密度

17、和地幔岩浆密度，h为海拔高程。5.1 地面观测重力异常的定义与物理意义根据艾里假说，有由于T0总是不变的，故有 对于这个问题，艾里解释说：在陆地，任意单位面积内伸入到岩浆里的物质所要补偿的质量等于海平面以上物质的质量。 若地壳平均密度为2.67，岩浆平均密度为3.27，则有 t = 4.45 h海洋地区，同理有 h（01.03）= t （0），则 t = 2.73 h这里t和 h分别为正常地壳厚度减小量和海水深度。在艾里假说中，t 或 t 被称为补偿深度。5.1 地面观测重力异常的定义与物理意义陆地补偿深度: 海洋补偿深度: ttTH5.1 地面观测重力异常的定义与物理意义5.1 地面观测重力

18、异常的定义与物理意义5.1.7 Airy 均衡模型特点上部介质和下部介质的密度都是常数；均衡补偿通过上部介质深根部来达到；模型认为山脉有山根，海洋地区有“反山根”；补偿深度随地形起伏而变化。Thickness of the crust under mountainslower mountainsthickness of normal continental crustthickness of oceanic crustSealevelPieces of the Earths crustAsthenosphere 5.1 地面观测重力异常的定义与物理意义5.1.7 Pratt 与 Airy 均衡

19、模型比较5.1 地面观测重力异常的定义与物理意义5.1.8 芬宁梅尼兹（Vening Meinesz）均衡假说（模型）5.1 地面观测重力异常的定义与物理意义5.1.8 芬宁梅尼兹（Vening Meinesz）均衡假说（模型） 认为地壳本身强度大，局部补偿很困难，所以提出一种基于弹性力学，用弹性板加载的模式来修正艾里假说，将完全、均匀、局部补偿调整为完全、均匀、区域补偿： 把山脉和海洋看成加在弹性薄板地壳上的负荷，地壳弯曲变形。山脉下方地壳向下弯曲的部分陷入地壳下层流体物质中形成与山脉相对应的区域山根，在海洋下地壳向上弯曲形成区域反山根，区域山根和反山根造成的补偿质量等于相对应的地形质量。对

20、弹性性质不同的地壳薄板在点源地形负荷作用下可计算区域补偿半径。 5.1 地面观测重力异常的定义与物理意义5.1.8 Vening Meinesz 均衡模型特点区域而不是局部均衡补偿；上层介质表现为弹性板，板荷载分布更广；板弯曲的程度取决于它的弹性参数。（http:/www.earth.ox.ac.uk/research/groups/marine/lithospheric_flexure）岩石圈弯曲程度（挠曲）可用于估计岩石圈的弹性参数Variations of the effective elastic thickness over China and surroundings and th

21、eir relation to the lithosphere dynamics (Chen et al, 2013) (Chen et al, 2013)(Chen et al, 2013)(Chen et al, 2013)Post-Glacial rebound measured at CBN stations 均衡作用下的冰川回弹5.1 地面观测重力异常的定义与物理意义5.1.9 不完全均衡补偿1. 不完全补偿会造成地壳的垂向运动2. 上层物质被侵蚀后，均衡的过补偿作用将导致下层物质的上隆；3. 当地壳断块逆冲到其他断块上，此时补偿不足会造成地表陷落 按假说所给出的均衡补偿方法，对均衡

22、范围以内的，均衡状态下地壳密度或厚度所产生的引力效应进行计算，并从布格重力异常中减去，即得到均衡异常。5.1 地面观测重力异常的定义与物理意义均衡异常物理意义 若把地壳视为均衡的，按照均衡理论，根据高程和海水深度变化，将均衡地壳物质密度或厚度按正常地壳进行补偿计算补偿物质产生的引力效应，作为均衡校正，把它从布格重力异常中减去，即可以得到均衡异常。均衡正异常 地壳物质盈余。均衡负异常 地壳物质亏缺。均衡异常是研究地震和地壳运动的重要资料。 如果地形被补偿 海平面以上的质量盈余被下方的质量亏损抵消，导致自由空间异常小，布格异常大且为负值； 如果地形没被补偿 自由空间异常大且为正值，布格异常为零。5

23、.1 地面观测重力异常的定义与物理意义各种重力异常的地球物理意义比较正常重力（不含离心力）实际重力值（不含离心力）自由空间重力异常消除地形影响的自由空间重力异常布格重力异常均衡异常实际重力值中所包含的地球物质引力场源分布示意图实际地球重力值的物理含义：在实际地球所产生引力和惯性离心力，它包含了各种地球内部密度变化产生引力效应。H 海平面D 均衡面地表 T 2.67Moho M 3.30 3.10 3.27各种重力异常的地球物理意义比较正常重力的物理含义：在假定条件下，理想地球在椭球面上产生的引力和惯性离心力。2.673.27H 海平面D 正常地壳各种重力异常的地球物理意义比较正常重力值中所包含

24、的地球物质引力场源分布示意图自由空间重力异常所涉及的地表物质及地下剩余质量物质分布示意图自由空间重力异常的物理含义：反映地表物质质量和地下物质密度与正常地球密度差异形成的“剩余质量”产生的引力之铅锤方向的投影。H 海平面D 均衡面地表 T Moho M 3.30 0.43 2.67 0.6 -0.60各种重力异常的地球物理意义比较布格重力异常所涉及的地表以下剩余质量物质分布示意图布格重力异常的物理含义：单纯反映地下物质密度与正常地球密度差异所形成的 “剩余质量”产生的引力之铅锤方向的投影。H 海平面D 正常地壳地表 T Moho M 0.63 0.43 2.67 0.6 -0.60各种重力异常

25、的地球物理意义比较 0.6 -0.6 -0.6均衡异常所涉及的地下物质及产生均衡异常的剩余质量物质分布示意图均衡异常的物理含义：在地壳厚度或密度满足均衡假设下，反映地壳厚度偏离正常地壳厚度和地下物质密度偏离正常地球密度所形成的 “剩余质量”产生的引力效应之铅锤方向的投影。大区域上，均衡异常可以视为地壳是否达到均衡的标志。H 海平面D 正常地壳地表 T Moho M 0.63 0.43各种重力异常的地球物理意义比较按均衡理论计算的均衡地壳实际地壳第五章 重力异常及其正演、反演问题5.0 引言5.1 地面观测重力异常的定义与物理意义 5.2 卫星观测重力异常的定义5.3 重力异常数学表达式及拉普拉

26、斯方程解5.4 简单规则形体的正演与反演问题5.5 复杂形体的正演与反演问题5.6 密度界面的正演与反演问题5.7 二维、三维密度反演（密度成像）5.8 反演中的非唯一性问题5.2.1 卫星观测的自由空间重力异常球谐展开式只要已知了球谐系数，即可获得地球重力场模型对应的地球在参考椭球面上的重力异常也可获得地球重力场模型对应的地球在某个半径为 r （r R） 球面上的重力异常。5.2 卫星观测重力异常的定义传统布格校正示意图卫星“布格”校正计算示意图5.2 卫星观测重力异常的定义5.2.2 卫星观测的自由空间重力异常的地形校正 中国地区自由空间重力异常 中国地区布格重力异常 第五章 重力异常及其

27、正演、反演问题5.0 引言5.1 地面观测重力异常的定义与物理意义 5.2 卫星观测重力异常的定义5.3 重力异常数学表达式及拉普拉斯方程解5.4 简单规则形体的正演与反演问题5.5 复杂形体的正演与反演问题5.6 密度界面的正演与反演问题5.7 二维、三维密度反演（密度成像）5.8 反演中的非唯一性问题 坐标系统： 在研究具体地质体的重力异常时，一般取直角坐标系中XOY平面为水平面z轴垂直向下，与重力方向一致。5.3 重力异常数学表达式拉普拉斯方程解ZYXO一度体、二度体、三度体：一度体：几何上仅一个方向有限，表示物体密度仅在一个坐标方向变化，如水平平行层状物体，也称一维模型；二度体：几何上

28、两个方向有限，表示物体密度仅在两个坐标方向变化，如水平无限长（圆或方）柱体，也称二维模型；三度体：几何上三个方向有限，表示物体密度在三个坐标方向都变化，如球体、立方体、长方体，也称三维模型。5.3 重力异常数学表达式拉普拉斯方程解 点质量m(,)重力异常表达式： gF5.3 重力异常数学表达式拉普拉斯方程解 三度体重力异常积分表达式： 5.3 重力异常数学表达式拉普拉斯方程解 二度体重力异常积分表达式（ = S 称为线密度） 5.3 重力异常数学表达式拉普拉斯方程解 例：密度均匀的多边形截面二度体重力异常表达式 (1 , 1 )(2 , 2 )(i , i )(n , n )(i+1, i+1

29、 )ZOX i i i+1i+1riri+15.3 重力异常数学表达式拉普拉斯方程解（ = S 为常数）将多边形每个边写成则有 5.3 重力异常数学表达式拉普拉斯方程解 通过积分化简得本公式多边形角点的顺序为顺时针方向。 第n+1号点为第1号点.5.3 重力异常数学表达式拉普拉斯方程解 起伏地形情况 (1 , 1 )(2 , 2 )(i , i )(n , n )(i+1, i+1 )ZOX i i i+1i+1riri+15.3 重力异常数学表达式拉普拉斯方程解 多个多边形截面二度体情况(1 , 1 )(2 , 2 )(i , i )(n , n )(i+1, i+1 )ZOX5.3 重力异

30、常数学表达式拉普拉斯方程解 点质量m(,)重力异常导数表达式： 5.3 重力异常数学表达式拉普拉斯方程解 三度体重力异常导数积分表达式： 5.3 重力异常数学表达式拉普拉斯方程解 二度体重力异常导数积分表达式（ = S 称为线密度） 5.3 重力异常数学表达式拉普拉斯方程解重力异常满足拉普拉斯方程： 在场源以外空间，有且引力位具有连续的高阶导数存在。 布格重力异常是剩余质量产生的引力的铅锤分量。设剩余质量产生的引力 f 在铅锤方向 上的分量为fz ,剩余质量产生引力位V与引力fz 的关系为且可以证明有5.3 重力异常数学表达式拉普拉斯方程解5.3.2 重力异常满足拉普拉斯方程： 显然，重力异常

31、在场源以外空间满足拉普拉斯方程，即5.3 重力异常数学表达式拉普拉斯方程解狄义赫利外部问题积分解 由于引力位V满足拉普拉斯方程，引入格林函数，有5.3 重力异常数学表达式拉普拉斯方程解狄义赫利外部问题积分解 狄义赫里外部问题： 在边界面上已知所求的调和函数之值v，根据这个边值条件求出在外部空间是调和的并在无穷远处是正则的函数。这样的边值问题称为狄义赫里问题。 若构造格林函数G，使在边界 面上G=0，则有上式就是狄义赫利边值问题外部问题的解。 通过已知异常体以外面上的函数v的数值，即可确定面以外空间上的函数。5.3 重力异常数学表达式拉普拉斯方程解狄义赫利外部问题积分解 积分解的应用举例 假设，在直角坐标系半无限空间z0中无场源，XOY平面可视为封闭曲面 （在无穷远处闭合），其内法线n的方向为Z轴方向，已知XOY平面上的重力异常g| 。 假设ZYXO5.3 重力异常数学表达式拉普拉斯方程解狄义赫利外部问题积分解 积分解的应用举例显然，当=0 时，r = r, 即G=0，且5.3 重力异常数学表达式拉普拉斯方程解狄义赫利外部问题积