二次函数概念（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学上册（人教版）

1、22.1 二次函数概念（知识讲解）【学习目标】1、理解二次函数的概念；2、能用待定系数法确定二次函数的解析式；3、根据二次函数概念求参数。【要点梳理】1.二次函数的概念一般地，形如y=ax2+bx+c（a0，a, b, c为常数）的函数是二次函数. 若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若b=c=0，则y=ax2. 以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a0）是二次函数的一般式.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： （a0）；（a0）；（a0）；（a0），其中；（a0）.特别说明：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做

2、x的二次函数这里，当a=0 时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.2.二次函数解析式的表示方法1. 一般式：（，为常数，）；2. 顶点式：（，为常数，）；3. 两根式：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）（或称交点式）.特别说明：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.【典型例题】类型一、列二次函数解析式1 如图2所示，有一根长60cm的铁丝，用它围成一个矩形，写出矩形面积S(cm2)与它的一边长x(cm)

3、之间的函数关系式【答案】S- x230 x（0 x30）【分析】由铁丝的长是60cm，一边长xcm，可知另一边长是（30-x）cm，然后根据长方形的面积公式即可求出矩形面积S(cm2)与它的一边长x(cm)之间的函数关系式解：铁丝的长是60cm，一边长xcm，另一边长是（30-x）cm，S=x（30-x）- x230 x（0 x30）.【点拨】本题考查了列二次函数解析式，解决本题的关键得到所求矩形的等量关系，易错点是得到另一边的长度；注意求自变量的取值应从线段的长为正数入手考虑举一反三：【变式1】 王大爷生产经销一种农副产品，其成本价为20元每千克市场调查发现,该产品每天的销售量w(千克)与销

4、售价x(元/千克)有如下关系:w=-2x+60若这种产品每天的销售利润为y(元).求y与x之间的函数关系式【答案】y=-2【分析】利用单价利润总销售量=总利润.解：y=x-20y=-2x【变式2】为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一条矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）若设绿化带BC边长为xm，绿化带的面积为ym2 ， 求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围【答案】y=x2+20 x，自变量x的取值范围是0 x25 【详解】试题分析：由矩形的性质结合BC的长度可得出AB的长度，再根据矩形的面积公式即可找出y与

5、x之间的函数关系式. 解 ：四边形ABCD为矩形，BC=xAB=根据题意得：，因为墙长25米，所以类型二、二次函数的判断2已知函数y（k2k）x2+kx+k+1（k为常数）（1）若这个函数是一次函数，求k的值；（2）若这个函数是二次函数，则k的值满足什么条件？【答案】（1）k1；（2）k0且k1【分析】（1）由一次函数的定义求解可得；（2）由二次函数的定义求解可得解：（1）若这个函数是一次函数，则k2k0且k0，解得k1；（2）若这个函数是二次函数，则k2k0，解得k0且k1【点拨】本题主要考查了一次函数的定义、二次函数的定义，准确分析判断是解题的关键举一反三：【变式1】 已知函数y（m2m）

6、x2+mx2（m为常数），根据下列条件求m的值：（1）y是x的一次函数；（2）y是x的二次函数【答案】(1)m=1;(2) m1和m0【分析】根据一次函和二次函数的定义可以解答解：（1）y是x的一次函数，则可以知道，m2m0，解之得：m1，或m0，又因为m0，所以，m1（2）y是x的二次函数，只须m2m0，m1和m0【点拨】考查了一元二次方程的定义，熟记概念是解答本题的关键【变式2】 （1）已知函数y=（m2m）x2+（m1）x+m+1，若这个函数是二次函数，求m的取值范围；（2）已知函数y=（m2+m）是二次函数，求m的值【答案】（1）m0且m1；（2）m的值为3【分析】（1）根据二次函数的

7、二次项系数不等于0，可得答案；（2）直接利用一元二次方程的定义得出关于m的等式求出即可解：（1）函数y=（m2m）x2+（m1）x+m+1是二次函数，即m2m0，即m0且m1，当m0且m1，这个函数是二次函数；（2）由题意得：m22m1=2，m2+m0，解得：m1=3，m2=1（不合题意舍去），所以m的值为3【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确解一元二次方程是解题关键类型三、根据二次函数定义求参数 3、 观察：；这六个式子中二次函数有_（只填序号）【答案】【分析】根据二次函数的定义可得答案解：这六个式子中，二次函数有：y=6x2；y=-3x2+5；y=200 x2+400 x+200；故

8、答案为：【点拨】本题主要考查的是二次函数的定义，熟练掌握二次函数的概念是解题的关键举一反三：【变式1】 给出下列函数：；.其中是二次函数的有_，若把它写成的形式，则_，_，_.【答案】 1 0 【分析】根据二次函数的概念：逐一进行判断即可.都不满足二次函数的形式，是二次函数解：不满足二次函数的形式，所以不是二次函数；，是一次函数，也不满足要求；不满足二次函数的形式，所以不是二次函数；是二次函数所以二次函数只有其中故答案为 1 0【点拨】本题主要考查二次函数的概念，掌握二次函数的概念是解题的关键.【变式2】 下列函数中：y=x2；y=2x；y=22+x2x3；m=3tt2是二次函数的是_(其中x

9、、t为自变量).【答案】【分析】一般地，如果yax2bxc(a，b，c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数根据二次函数的定义条件判定则可解：yx2，二次项系数为1，是二次函数；y2x，是一次函数；y22x2x3，含自变量的三次方，不是二次函数；m3tt2，是二次函数.故填【点拨】本题考查二次函数的定义一般地，如果yax2bxc(a，b，c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数判断一个函数是二次函数需要注意三点：(1)经整理后，函数表达式是含自变量的整式；(2)自变量的最高次数为2；(3)二次项系数不为0，尤其是含有字母系数的函数，应特别注意，二次项系数a是否为0【变式3】 二次函数 中，二次

10、项系数为_，一次项是_，常数项是_【答案】 -2x , 1 【分析】函数化简为一般形式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a0）在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项解：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a0）在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项 中，二次项系数为，一次项是-2x，常数项是1.故答案是：; -2x;1.【点拨】考查了二次函数的定义，二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a0）在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，

11、c是常数项其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项 第一学期期末测试卷九 年 级 数 学（卷二） 一、选择题(每小题3分，共30分) 1下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) 2已知m，n是关于x的一元二次方程x23xa0的两个解，若(m1)(n1)6，则a的值为( )A10 B4 C4 D103有一种推理游戏叫做“天黑请闭眼”，9位同学参与游戏，通过抽牌决定所扮演的角色，事先做好9张卡牌(除所写文字不同，其余均相同)，其中有法官牌1张，杀手牌2张，好人牌6张小明参与游戏，如果只随机抽取1张，那么小明抽到好人牌的概率是( )A.eq f(1,9) B.eq f(2,9)

12、 C.eq f(1,3) D.eq f(2,3)4在同一坐标系中，一次函数ymxn2与二次函数yx2m的图象可能是( )5如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在eq o(MN,sup8()上，且不与M，N重合，当P点在eq o(MN,sup8()上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则AB的长度( )A变大 B变小 C不变 D不能确定,第5题图),第7题图),第8题图),第9题图)6随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程正确的是( )A20(12x)28.8 B28.

13、8(1x)220C20(1x)228.8 D2020(1x)20(1x)228.87如图，在平面直角坐标系中，将ABC向右平移3个单位长度后得A1B1C1，再将A1B1C1绕点O旋转180后得到A2B2C2，则下列说法正确的是( )AA1的坐标为(3，1) BS四边形ABB1A13 CB2C2eq r(2) DAC2O458如图，将O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧eq o(AMB,sup8()上一点，则APB的度数为( )A45 B30 C75 D609如图，已知AB是O的直径，AD切O于点A，点C是eq o(EB,sup8()的中点，则下列结论：OCAE；ECBC；DAEABE

14、；ACOE，其中正确的有( )A1个 B2个 C3个 D4个10二次函数ya(x4)24(a0)的图象在2x3这一段位于x轴的下方，在6x7这一段位于x轴的上方，则a的值为( )A1 B1 C2 D2二、填空题(每小题3分，共24分)11.如图，ABC中，BAC33，将ABC绕点A按顺时针方向旋转50，对应得到ABC，则BAC的度数为_ _,第11题图),第14题图),第15题图),第17题图),第18题图)12若实数a，b满足(4a4b)(4a4b2)80，则ab_ 13若|b1|eq r(a4)0，且一元二次方程kx2axb0有两个实数根，则k的取值范围是_.14如图，一只蚂蚁在正方形AB

15、CD区域内爬行，点O是对角线的交点，MON90，OM，ON分别交线段AB，BC于M，N两点，则蚂蚁停留在阴影区域的概率为_15(2016聊城)如图，已知圆锥的高为eq r(3)，高所在直线与母线的夹角为30，则圆锥的侧面积为_16公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离s(m)与时间t(s)的函数关系式为s20t5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行_m才能停下来17如图，在平面直角坐标系中，P的圆心是(2，a)(a2)，半径为2，函数yx的图象被P截得的弦AB的长为2eq r(3)，则a的值是_18如图是二次函数yax2bxc图象的一部分，图象过点A(3，0)，对称轴为直线x1

16、，给出以下结论：abc0；4bcy2；当3x1时，y0，其中正确的结论是_(填序号)三、解答题(共66分)19(6分)先化简，再求值：eq f(x2x,x1)eq f(x21,x22x1)，其中x满足x23x20.20(7分)(2016梅州)关于x的一元二次方程x2(2k1)xk210有两个不等实根x1，x2.(1)求实数k的取值范围；(2)若方程两实根x1，x2满足x1x2x1x2，求k的值21(7分)如图，将小旗ACDB放于平面直角坐标系中，得到各顶点的坐标为A(6，12)，B(6，0)，C(0，6)，D(6，6)以点B为旋转中心，在平面直角坐标系内将小旗顺时针旋转90.(1)画出旋转后的

17、小旗ACDB；(2)写出点A，C，D的坐标；(3)求出线段BA旋转到BA时所扫过的扇形的面积22(8分)一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，另有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的3个扇形区域，分别标有数字1，2，3(如图)小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一人从口袋中摸出一个小球，另一个人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于4，那么小颖去，否则小亮去(1)用画树状图或列表法求出小颖参加比赛的概率；(2)你认为该游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请修改该游戏规则，使游戏公平23(8分)如图，某足球运动员站在点O处

18、练习射门，将足球从离地面0.5 m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系yat25tc，已知足球飞行0.8 s时，离地面的高度为3.5 m.(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x10t，已知球门的高度为2.44 m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28 m，他能否将球直接射入球门？24(9分)(2016云南)如图，AB为O的直径，C是O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AEDC，垂足为E，F是AE与O的

19、交点，AC平分BAE.(1)求证：DE是O的切线；(2)若AE6，D30，求图中阴影部分的面积25(9分)已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，ABC120，MBN60，MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC(或它们的延长线)于E，F.当MBN绕点B旋转到AECF时(如图甲)，易证AECFEF.当MBN绕点B旋转到AECF时，在图乙和图丙这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明26(12分)如图，已知一条直线过点(0，4)，且与抛物线yeq f(1,4)x2交于A，B两点，其中点A的横坐标

20、是2.(1)求这条直线的解析式及点B的坐标；(2)在x轴上是否存在点C，使得ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由；(3)过线段AB上一点P，作PMx轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N(0，1)，当点M的横坐标为何值时，MN3MP的长度最大？最大值是多少？期末检测题一、选择题1D 2C 3D 4. D 5. C 6.C 7.D 8.D 9.C 10.A 二、填空题11_17_ 12_eq f(1,2)或1_ 13_k4且k0_ .14_eq f(1,4)_152_. 16._20_m 17._2eq r(2)_ 18_三、解答题(共66分)19解：原式eq f(

21、x（x1）,x1)eq f(（x1）（x1）,（x1）2)x，x23x20，(x2)(x1)0，x1或x2，当x1时，(x1)20，分式eq f(x21,x22x1)无意义，x2，原式220解：(1)原方程有两个不相等的实数根，(2k1)24(k21)0，解得keq f(3,4)(2)根据根与系数的关系得x1x2(2k1)，x1x2k21，又x1x2x1x2，(2k1)(k21)，解得k10，k22，keq f(3,4)，k的值为221解：(1)图略(2)点A(6，0)，C(0，6)，D(0，0)(3)A(6，12)，B(6，0)，AB12，线段BA旋转到BA时所扫过的扇形的面积eq f(90

22、122,360)3622.解：(1)画树状图略，共有12种等可能的结果，数字之和小于4的有3种情况，P(和小于4)eq f(3,12)eq f(1,4)，小颖参加比赛的概率为eq f(1,4)(2)不公平，P(和不小于4)eq f(3,4)，P(和小于4)P(和不小于4)，游戏不公平游戏规则可改为：若数字之和为偶数，则小颖去；若数字之和为奇数，则小亮去23解：(1)抛物线的解析式为yeq f(25,16)t25teq f(1,2)，当teq f(8,5)时，y最大4.5(2)把x28代入x10t得t2.8，当t2.8时，yeq f(25,16)2.8252.8eq f(1,2)2.252.44，他能将球直接射入球门24解：(1)连接OC，AC平分BAE，BACCAE.OAOC，OCABAC，OCACAE，OCAE，又AEDC，OCDE，DE是O的切线(2)在RtAED和RtODC中，AE6，D30，AD12，OD2OC，又OAOBr，OD2r，2rr12，解得r4，即O的半径是4.OC4，则OD8，