讲义矩形和菱形

1、 讲义矩形和菱形-CAL-FENGHAL-(YICAI)-Company One龙文教育学科教师辅导讲义学员姓名： 年级：八年级教师：制作人：孙发青课题矩形和菱形教学目标1、探索并掌握矩形、菱形的定义、性质和判定方法2、灵活运用矩形、菱形的性质和判定解决有关问题3、知道矩形、菱形是特殊的平行四边形4、体验矩形、菱形的特征和它的判别在实际生产和生活中的应用5、在学习中感受转化的思想，体验发现规律的乐趣重点、难点重点：矩形、菱形的定义、性质和判定方法 难点：运用相关知识解决相关问题考点及考试要 求矩形、菱形的定义、性质和判定方法教学内容考点一：矩形【知识点总结】1.矩形的定义：有一个角是直角的 是

2、矩形（矩形是特殊的平行四边形）。2、矩形的性质：矩形具有平行四边形的一切性质。 TOC o 1-5 h z （1）边：对边_且 oA|D（2）角：四个角都是 o（3）对角线：互相且。Dl-DC3、矩形的判定：（1）有一个角是直角的 o（2）对角线相等的 o（3）有三个角是 的四边形。注意：.矩形被两条对角线分成的四个小三角形都是 三角形且面积相等。.矩形是轴对称图形，两组对边的 线是它的对称轴。【基础知识训练】.矩形是面积的60, 一边长为5,则它的一条对角线长等于一。.矩形的两条对角线的交角之一是60,矩形较短的边与一条对角线长度之和为12cm,则对角线的长 为，较短的边的长为,较长的边的长

3、为。.平行四边形没有而矩形具有的性质是（）A、对角线相等B、对角线互相垂直 C、对角线互相平分D、对角相等.矩形各内角平分线所围成的四边形是（）A、矩形 B、平行四边形 C、正方形D、菱形【典型例题】（2011浙江绍兴，15, 5分）取一张矩形纸片按照图1、图2中的方法对折，并沿图3中过矩形顶点的斜 线（虚线）剪开，那剪下的这部分展开，平铺在桌面上，若平铺的这个图形是正六边形，则这张矩 形纸片的宽和长之比为.第15题用第15题用1弟!5题图2第15题图3【答案】/3：2例1.如图，菱形ABCD中，AC和BD交于点O, OE_LAB于E, OFj_BC于 F, OGJ_CD于G, OH_LAD于

4、H,试说明四边形EFGH为矩形。分析:四边形EFGH与已知条件有关的主要是对角线,如果能够证明对角 线EG和HF相等且互相平分,那么就能够判定四边形EFGH是矩形,根据 菱形的对角线平分每一组对角,知AC是ND AB和NDCB的角平分线,DE 是NADC 和NABC 的角平分线,因为OELAB, OF1BC, OGCD, 0H AD,根据角平分线的性质很容易得出OE =OF =OG =OH解：.四边形ABCD是菱形 AC、BD平分对角，0点在NDAB、/BCD、NCDA、NABC的角平分线上XVOEAB, OF_LBC, OG_LCD, OHAD，OE = OF = OG = OHX V AB

5、 ZAO）= 120 4cm CE BD ZDCE: ZECB = 3:1 ZACE （2011*,肃兰州，20, f 分）如图，依 次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中啊此方 法继续下去。已知第一个矩形的面积为1,则第个矩形的面积为V一分 0-0-【答案】6.（2011四川绵阳17, 4）如图，将长8cm,宽4cm的矩形纸片488折叠，使点4与C重合，则折痕EF的长为 cm.【答案】2立7.如图，矩形ABCD中，CE平分N5CD,NACE=15 ,求8、如图，矩形纸片A88中，A8 = 3cm, BC = 4cm,现将4 C重 合使纸片折叠压平，设折痕为区尸，则重叠

6、部分的面积为 多少考点二：菱形知识点一：菱形的定义：有一组邻边相等的 叫做菱形.知识点二：菱形的性质菱形是特殊的,它具有平行四边形的所有性质，团还具有自己独特的性质：边的性质：对边平行且四边相等.角的性质：邻角互补,扁扁箱等.亘）对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角.对称性：菱形是中心对称闲舷，也是箍帚森囱舷.菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半.点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半.知识点三：菱形的判定判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形.判定6:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.判定：四边相等的四边形是菱形.知识点四：菱形的对称性菱形

7、是一个轴对称图形，有 条对称轴。【基础知识训练】1、菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为 J2、在下列命题中，真命题是（）A.两条对角线相等的四边形是矩形 B.两条对角线互相垂直的四边形是菱形C.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形D.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 3已知菱形的两条对角线长为10cm和24cm,那么这个菱形的周长为,面积为4、将两张长10cm宽3cm的长方形纸条叠放在一起,使之成60度角，那么重叠部分的面积的最大值为.【典型例题】【例1】、（2011浙江省嘉兴，10, 4分）如图，五个平行四边形拼成一个含30。内角 的菱形EFGH （不重叠无缝隙）.若四个

8、平行四边形面积的和为14cm2,四边形48CD面 积是Hem?,则四个平行四边形周长的总和为（）（A） 48cm （B） 36cm（C） 24cm（D） 18cm（第10【例2】、（2011广东广州市，18, 9分）如图4, 47是菱形A8C。的对角线，点、F分别在边八8、 八。上，H AE=AF.求证： ACE ACF.图4【例3】菱形的周长为20cm,两邻角度数之比为图4【例3】菱形的周长为20cm,两邻角度数之比为2:1,则菱形较短的对角线 的长度为【巩固】如图2,在菱形A3C中，AC = 6,班 =8,则菱形的边长为（）A. 5 B. 10 C. 6 D. 8【例4】菱形ABCO中，E

9、、F分别是8C、CO的中点，且AE1.8C, AFCD .那么ZE477等于【巩固】如图，将一个长为10cm,宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚 线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（）A. 10cm2B. 20cnrC. 40cm2D. 80cm2【例4】已知菱形ABC。的两条对角线AC, 5。的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角 的大小是【巩固】如图，菱形花坛A8C。的周长为20m, ZABC = 60%回沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和 BD,求两条小路的长和花坛的面积.图2图2菱形的判定【例1】如图，如果要使平行四边形A8CO成为一个菱形，需

10、要添加一个条件，那么你添加的条件 是 .【例2】如图，在A43c中，3。平分乙记C, 8。的中垂线交4?于点,交BC于点、F ,求证：四边形BED/；是菱形【巩固】已知：如图，平行四边形ABC。的对角线AC的垂直平分线与边4K BC分别相交于七、八求 证：四边形4PCE是菱形.【例3】如图，是菱形A3C。的边的中点，EFLAC于H ,交C8的延长线于F,交AB于P,证 明：与EP互相平分【巩固】如图，M是矩形ABCD内的任意一点，将沿方向平移，使与DC重合，点M移动 到点AT的位置（1）画出平移后的三角形；连结M, MC, MAT ,试说明四边形的对角线互相垂直，且长度分别等于A3, 4。的

11、长；当M在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形是菱形为什么【巩固】（湖南湘西24,10分）如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O,ZACB=30 ,AB=2.求AC的长.求NAOB的度数.以OB、OC为邻边作菱形OBEC,求菱形OBEC的面积.【综合题】已知等腰ABC中，AB = AC9 AD平分C交8c于。点，在线段上任取一点P （A点 除外），过户点作/分别交AC、于E、F点,作PMAC,交AB于M点,连结ME.求证四边形为菱形当P点在何处时，菱形的面积为四边形以议M面积的一半CM考点三：矩形和菱形的综合应用例（2011山东德州16,4分）长为1,宽为。的矩形纸片,如图那样折一下，

12、剪下一个边 2长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于 此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去.若在第此操作后，剩下的矩形为 正方形,则操作终止.当。=3时，QQ的值为练习1： （2011江苏南京，21, 7分）如图，将cjABCD的边DC延长到点E,使CE=DC,连接AE,交BC于 点F.求证： AB咫 ECF（2,若N AFC=2N D,连接AC、BE.求证：四边形ABEC是矩形.练习2 （2011湖南衡阳，26, 10分）如图，在矩形A8CD中，4。=4, A8=m（m4）,点P是48边上的 任意一点（不与A、8重合），连

13、结PD,过点P作PQLPD,交直线8c于点Q.（1）当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合若存在，求出此时4P的长；若不存在，说明理 由；（2）连结4C,若PQ八&求线段8Q的长（用含m的代数式表示）（3）若PQ。为等腰三角形，求以P、Q、C、。为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式， 并写出m的取值范围.练习3已知：如图，C是线段BD上一点，ABC和4ECD都是等边三角形，R、F、G、H分别是四边形ABDE各边的中点，求证：四边形RFGH是菱形。【课后作业】一、填空题：1、若矩形的对称中心到两边的距离差为4,周长为56,则这个矩形的面积为o2、已知菱形的锐角是60。，边长是20cm

14、,则较短的对角线长是 cm。3、如图，矩形ABCD中，。是对角线的交点，若AEJ_BD于E,且OE ： OD = 1 ： 2, AE=0cm,则DE =cm。4、如图，P 是矩形 ABCD 内一点，PA = 3, PD = 4, PC = 5,则 PB=。5、如图，在菱形 ABCD 中，NB=NEAF = 60, ZBAE = 20,则NCEF= 。6、在矩形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H,使EFGH为矩形，则这样的矩形()A、仅能作一个B、可以作四个C、一般情况下不可作D、可以作无穷多个7、如图，在矩形ABCD中，AB = 4cm, AD = 12cm, P点在

15、AD边上以每秒1 cm的速度从A向D运动， 点Q在BC边上，以每秒4 cm的速度从C点出发，在CB间往返运动，二点同时出发，待P点到达D 点为止，在这段时间内，线段PQ有()次平行于AB。A、1B、2C、3 D、4ADADAB使点D第7题图8、如图，已知矩形纸片ABCD中,第8题图AD=9cm, AB=3cm,将其折叠,与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EFADADAB使点D第7题图8、如图，已知矩形纸片ABCD中,第8题图AD=9cm, AB=3cm,将其折叠,与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别是（）A、4cm、VK) cmC 4cm、2x/3 cmB、5cm、历 cmD、5

16、cm、2Vlem9、给出下面四个命题：对角线相等的四边形是矩形；对角线互相垂直 的四边形是菱形；有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形;菱形的对角线的平方和等于边长平方的4倍。其中正确的命题有（）A、B、C、 D、第13题图10、平行四边形四个内角的平分线，如果能围成一个四边形，那么这个四边形一定是（A、矩形 三、解答题： 11、如图, E,且 DE = DC,）B、菱形C、正方形 D、等腰梯形在矩形ABCD中，F是BC边上一点，AF的延长线交DC的延长线于点G, DE_LAG于 根据上述条件，请在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论。12、如图，在aABC中，NACB = 90。，C

17、D是AB边上的高，NBAC的平分线AE交CD于F, EG AB于G,求证：四边形GECF是菱形。13、如图，以aABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即aABD、ABCE ACFo请回答下列问题（不要求证明）：（1）四边形ADEF是什么四边形（2）当ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形（3）当aABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在思考题（有能力的学生完成）（2011江苏盐城，27, 12分）情境观察 将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得至以ABC和 4”。， 如图1所示.将4UD的顶点4与点4重合，并绕点4按逆时针方向旋转，使点D、4）、8在同一条

18、直线上，如图2所示.观察图2可知：与8c相等的线段是 , NCAC= .图1图1图2问题探究如图3, ABC中，AG_L8C于点G,以A为直角顶点，分别以48、4c为直角边，向 A8C 外作等腰和等腰/4CF,过点、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q.试探究EP与FQ之 间的数量关系，并证明你的结论.图3图4图3图4拓展延伸如图4, AABC中，4G_L8C于点G,分别以48、AC为一边向 A8c外作矩形A8ME和矩形ACNF，射线G4交EF于点从若4B=kAE, AC=kAF,试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.部分参考答案（2011江苏泰州，28, 12分）【答案】解：（1）当N

19、8AO=45时，ZPAO=90 ,在Rt4A08中，OA= -AB= -a ,在 RtNAPB 中，PA= -AB=-a o 点 P 的坐标为（丑4 , -a ）222222（2）过点P分别作x轴、y轴的垂线垂足分别为M、N，则有NPMA=NPNB=NNPM=NBPA=9O , :./MPA=/NPB, 乂 PA = PB, ：.APAMAPBN9 ：.PM=PN.于是，点 P 都在NAOB 的平分线上； TOC o 1-5 h z 3Vhw。当点B与点O重合时，点P到AB的距离为人，然后顶点a在X轴正半轴上向 222左运动，顶点B在y轴正半轴上向上运动时，点P到48的距离逐渐增大，当N8AO

20、=45时，PAYx轴，这时点P到48的距离最大为手“，然后乂逐渐减小到色，X轴的正半轴、y轴的正半轴都不包22含原点O ,点P到X轴的距离的取值范围是2 h& E o 22（2011江苏南京，21, 7分）【答案】证明：:四边形ABCD是平行四边形./. AB II CD/AB=CD. :. N ABF=Z ECF.; EC=DC, AB=EC.在 ABF 和 ECF 中，-/Z ABF=Z ECF, Z AFB=Z EFC, AB=EC, /ABF2 Z1ECF.（2）解法一：；AB=EC, ABH EC,四边形ABEC是平行四边形.AF=EF, BF=CF./ 四边形 ABCD 是平行四边

21、形，/. N ABC=Z D,又 N AFC=2Z D, 二 N AFC=2Z ABC. N AFC=Z ABF+Z BAF,，N ABF=Z BAF. /. FA=FB. FA=FE=FB=FC, AE=BC. :. 口 ABEC 是矩形.解法二：ABmEC, AB II EC,四边形ABEC是平行四边形.丁四边形ABCD是平行四边形，AD II BC, /. N D=Z BCE.又 N AFC=2Z D, N AFC=2Z BCE,丁 N AFC=Z FCE+Z FEC, /. N FCE=Z FEC. N D=N FEC. /. AE=AD.又ACDE.即NACE=90。.,ABEC是矩

22、形.2011江苏南通，26, 10分【答案】（1） A： =BF 证明：如图2,;在正方形ABCD中,ACBD：.Z FOE = ZAOD= ZAOB = 9Q即/AOE +ZAOF =ZBOFf + ZAOF：.ZAOEr =ZBOFr乂 = OB = OD, OEf =20。，OFf =2OA：.OEf =OFf：./OAEf 四O8F：.AEf =BF（2）作4OE的中线AM,如图3.则 OE =2OM = 2OD = 2OA：.0A = 0M*/ a =30/. ZAOM = 6QqAOM为等边三角形A MA = MO=MEf , ZAEM =Z EAM 又 Z AEM + N EAM = ZAMO 即 2/AE，M =60A Z AEM =30 ，NAEM+NAOE =30 +60 =90 ：./AOEf为直角三角形.2011湖南衡阳，26, 10分【解】（1）假设当m=10时，存在点P使得点Q与点C重合（如下图），VPQPD.ZDPC=90,乂 N4OP+N4PD=90。，：.ZBPC=ZADP.乂NB=N4=90, :APBCsMAP,DA APJ 10 AP= J,，人2二？或8, 存在点P使得点Q与点C重合，出此时ZP的长2或8. 4 AP(2)如下图，,:PQHAC, ：.ZBPQ=