集合知识点总结材料及习题讲课稿

1、学习资料学习资料仅供学习与参考仅供学习与参考学习资料学习资料仅供学习与参考仅供学习与参考集合集合与集合(1元素与集合的关系：属于(2)(4)集合)和不属于()集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集集合的表示方法：列举法、描述法(自然语言描述、特征性质描述)、图示法、区间法 子集：若x A x B,则A B,即A昆B的子集。1、若集合A中有n4元素，则集合A勺子集有2n个，真子集有(2n-1)个。关系件2、任何一个集合是它本身的子集，即3、对于集合A,B,C,如果A B,且B4、空集是任何集合的(真)子集。A AC,那么A C.运算真

2、子集：若A集合相等：A交集并集B且A B(即至少存在x0B但x0则A是B的真子集。定义:性质:定义:性质:Card(A定义:B)x/xAM xA, Ax/xA2 或 x| x-32适用：一般元素较多的有限集合或无限集合用描述法表示注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作：N=0,1,2,3，正整数集 N*或N+ = 1,2,3 ,整数集 Z ，-3 , -2, -1 , 0,1,2,3 ,有理数集Q实数集 R有时，集合还用语言描述法和 Venn图法表示例如：语言描述法： 不是直角三角形的三角形Venn 图 :4、集合的分类：有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合（3

3、）空集不含任何元素的集合例：x C R|x2= 5二、集合间的基本关系. “包含”关系子集定义：若对任意的xCA,都有xCB,则称集合A是集合B的子集，记为 A B （或 B A）注意：A B有两种可能（1） A是B的一部分，；（2） A与B是同一集合。符号C与的区别反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A. “相等”关系：A=B定义：如果A B同时B A那么A=B实例：设A=x|x 2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等”.真子集：如果A B,且存在元素xCB/x A,那么就说集合A是集合B的真子集，记作A学B（或BA）.性质任何一个集合是它本身的子集。

4、A A如果A B, B C ,那么A C如果A B同时B A那么A=B.不含任何元素的集合叫做空集，记为规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集o有n个元素的集合，含有2n个子集，2n1个真子集 三、集合的运算运算交集并集补 集旧定由所有属于A且属于B的兀由所有属于集合 A或属设S是一个集合，A是S的一个子集，义素所组成的集合，叫做A,B于集合B的元素所组成由S中所用A的兀素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）的交集.记作A B （读作的集合，叫做A,B的并记作CSA,即A 交 B),即 A B=集.记作：A B （读作x|x A,且 x B.A 并 B),即 A BCSA

5、=x|x S,且x A=x|xA,或 x B).韦恩 图A_3o，二N B示图1图2A A=AA A=A(CuA)(CuB) = C u (A B)性A 二A 二人(CuA)(CuB) = C u(AB)A B=B AA B=B A质ABAABAA (CuA尸U A(CuA尸.ABBABBA B A B=AA B A B=B第一章：集合与函数的概念学习资料学习资料仅供学习与参考仅供学习与参考仅供学习与参考仅供学习与参考学习资料第一课时：集合集合的含义与表示集合的含义：我们一般把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称集。通常用大写字母A B、C等表示集合，用小写字母 a、b、c等

6、表示元素，元素与集合之间的关系是属于和不属于。 元素a属于集合A,记做aCA,反之，元素a不属于集合A,记做a A集合中的元素的特征：确定性：如世界上最高的山；互异性：由HAPPY勺字母组成的集合H,A,P,Y;无序性：如集合a、b、c和集合b、a、c是同一个集合。1.1.3集合的表示方法：列举法；描述法； Venn图；用数轴表示集合。常用数集及记法有非负整数集(即自然数集)正整数集整数集有理数集实数集NN+或 N*ZQR集合的分类：根据集合中元素的个数可分为有限集、无限集和空集。根据集合中元素的属性可分为数集、点集、序数对等。本节精讲：三.有关集合中元素的性质的问题：集合中的元素有三个性质：

7、分别是确定性互异性无序性例：集合A是由元素n2-n , n-1和1组成的，其中nC Z,求n的取值范围。解：n是不等于1且不等于2的整数。练习：.已知集合 M=a,a+d,a+2d,N=a,aq,aq2,a w 0,且M与N中的元素完全相同，求 d和q的值。.已知集合 A=x, y,1,B=x 2,x+y,0,若 A=B,贝U x2009+y2010的值为, A=B= . (1)若-3 C a-3,2a-1,a 2-4求实数 a 的值；(2)若 1一m C m,求实数 m的值。1 m.已知集合 M=2, a,b,N=2a2b 2,且 M=N求 a,b 的值。.已知集合 A=x|ax 2+2x+

8、1=0,a R, (1)若A中只有一个元素，求 a的值；(2)若A中至多有一个元素，求 a的取值范围。四.集合的表示法：三种表示方法练习；.用列举法表示下列集合。方程Jx 2+y2=2d的解集为 ;x-y=0 | 集合A=y|y=x 2-1,|x| w 2,x e Z用列举法表示为 ；(3)集合B=8 s Z|x N用列举法表示为 ;x(4)集合C=x|= 回+回，a, b是非零实数用列举法表示为 ; a b.用描述法表示下列集合。(1)大于2的整数a的集合；八一一1(2)使函数 y=有息义白勺头数 x的集合；x x 1 x 1(3) 1、22、32、42、3.用Venn图法表示下列集合及他们

9、之间的关系：(1) A=四边形, B=梯形, C=平行四边形, D=菱形, E=矩形,F=正方形;(2)某班共30人，其中15人喜欢篮球，10人喜欢兵乓球，8人对这两项运动都不喜欢，则喜欢篮球但不喜欢乒乓球的人数为 ,用Venn图表示为：。.有关集合的分类：.集合概念的综合问题：练习3 t.若t ,则t的值为 ;t.设集合 A=y|y=x 2+ax+1, x R,B=(x,y)|y= x2+ax+1, x CR ,试求当参数 a=2 时的集合 A 和 B;.已知集合A=x|ax 2-3x+2=0,a C R,求(1)若集合A为空集，则a的取值范围；(2)若集合A中只有个元素，求a的值，并写出集

10、合 A; (3)若集合A中至少有一个元素，则 a的取值范围。1.1课后作业：.判断下列各组对象能否组成集合：(1)不等式3x 2 0的整数解的全体;(2)我班中身高较高的同学；(3)直线y 2x 1上所有的点；学习资料(4)不大于10且不小于1的奇数。.用符号或填空：(1) 2 N 2_Q(3) 0 0(4)b a,b,c(5) 0 N*(6)2屈 xx TH22(7)3 x x n1,n N (8)1,1 yyx(9)1,1 x, y y x2.写出下列集合中的元素(并用列举法表示)：(1)既是素数又是偶数的整数组成的集合(2)大于10而小于20的合数组成的集合.用适当的方法表示：(x +

11、1)2=0 的解集；、， x y 1 (2)方程组 y 的解集；x y 0(3)方程3x2y + 1 = 0的解集；(4)不等式2x- 10的解集；(5)奇数集；(6)被5除余1的自然数组成的集合。5.集合1 , a2中a的取值范围。1.2集合间的基本关系子集：一般地，两个集合A和B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记做 A B (或B A),读作“ A包含于B”(或 B包含A )。如右图示。比如说，集合 A=1、2、3,集合B=1、2、3、4、5,那么，集合 A 中的元素1、2、3都属于集合B,所以，集合 A为集合B的子集，

12、记做A B (或B A)。集合相等：如果集合 A B且B A时，集合A中的元素与集合 B中的元素是一样的，因此，集合 A 与集合B相等，记做A=R或A=Bo真子集：如果集合 AB，但存在元素x B,且x A,我们称集合A是集合B的真子集。记作：aSb (或BA) 也可记作：A B (或B A)空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记做，并规定：空集是任何非空集合的子集(当然是真子集)本节精讲：一.集合间的包含与相等的问题：对于集合相等，我们要从以下三个方面入手： 若集合A B且B A时，则A=B;反之，如果 A=B,则集合A B且B A。这就给出了我们证明两个集 合相等的方法，即欲要证明A=

13、B,只需要证明 A B和B A都成立就行了。两个集合相等，则所含元素完全相同，与集合中元素的顺序无关。要判断两个集合是否相等，对于元素较少的有限集合，可以用列举法将元素列举出来，看看两个集合中 的元素是否完全相同；若是无限集合，则因从“互为子集”两个方面入手。学习资料学习资料仅供学习与参考仅供学习与参考学习资料学习资料仅供学习与参考仅供学习与参考例：若集合A x|x a , B x|2x 5 0,且满足A B,求实数a的取值范围.解：练习：.已知A x|x2 px q 0, B x|x2 3x 2 0且A B,求实数p、q所满足的条件. TOC o 1-5 h z .若1,2 x|x2 bx

14、c 0,则().A.b3, c2B.b3, c2C.b2, c3D.b2, c33.已知集合 P= x|x2+x 6 = 0与集合 Q= x|ax+1=0,满足 Qw P,求a的取值组成的集合 A。 二.有关子集以及子集个数的问题：例1 :判定以下关系是否正确aa(2)1, 2, 3 = 3, 2, 1(3) w0(4)0 0(5)=0(6)0解 根据子集、真子集以及集合相等的概念知是正确的，后两个都是错误的.说明：含元素0的集合非空.例2:列举集合1 , 2, 3的所有子集.分析：子集中分别含1, 2, 3三个元素中的0、1、2或者3个.解：含有0个元素的子集有：含有1个元素的子集有1 ,

15、2 , 3;含有2个元素的子集有1 , 2 , 1 , 3 , 2 , 3;含有3个元素的子集有1 , 2, 3.共有子集8个.例3:已知a、b A a、b、c、d,则满足条件集合 A的个数为.分析：A中必含有元素a, b,又A是a , b, c, d子集，所以满足条件的A有：a, b, a, b, c,a , b, d, a、b、c、d。解：共3个.例 4:设集合 A= x|x =5-4a+a2, aCR, B= y|y =4b2+4b+2, bCR,则下列关系式中正确的A. A=BB. A BC. A w BD. A w B解：A例5:已知集合 A= 2, 4, 6, 8, 9, B= 1

16、 , 2, 3, 5, 8,又知非空集合 C是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A的一个子集；若各元素都减2后，则变为B的一个子集，求集合 C.分析：逆向操作：A中元素减2得0, 2, 4, 6, 7,则C中元素必在其中；B中元素加2得3, 4, 5, 7, 10,则C中元素必在其中；所以 C中元素只能是4或7.答：C= 4或7或4 , 7.练习：1.在以下五个写法中：0 0, 1, 2 ，00, 1,21, 2, 00G 1Gx|x 1, 2写法正确的个数有A. 1个 B.2 个 C.3 个D.4 个.集合 A = (x , y)|y = 1与B = (x , y)|y = x的关系是x

17、.满足条件0, 1,M 0, 1, 2, 3, 4的不同集合M的个数 是A. 8个 B.7 个 C.6 个D.5 个4,设 I=0 , 1, 2, 3, 4, 5, A=0, 1, 3, 5, B=0,则： 0 A 0B q A CI B1CIBCIAAB.已知 A=x|x=(2n + 1)兀，n e Z, B=y|y=(4k 1)兀，k Z,那么 A与 B 的关系为 .已知集合 A=1,3 , a,B=1,a 2-a+1,且 A B,求 a 的值。.已知集合 A=x e R|x2+3x + 3=0 , B=y e B|y 25y+6=0,A P,B,求满足条件的集合P.已知集合 A=x|x=

18、a 2+1, aCN, B=x|x=b 24b+5, bCN,求证：A=R课后作业：A组.写出集合1 , 2, 3的所有子集，并指出哪些是它的真子集。.下列命题：空集没有子集；任何集合至少有两个子集；空集是任何集合的真子集；若 A ,则A 0其中正确的有()A 0个 B 、1个 C 、2个 D、3个.设 x, y R,A (x,y) y 3 x 2, B(x, y) y- 1 ，则 A, B 的关系是x 2.已知A x 2 x 5 , B x a 1 x 2a 1 , B A,求实数a的取值范围。.已知集合A1,3,2m 1，集合B 3,m2 ,若B A,则实数m的值。.设集合A x 1 x

19、3 , B x x a 0 ,若A是B的真子集，求实数a的取值范围。.用适当的符号填空： a a, b,c 0 x x2 0 x R x2 1 0 0,1 N 0 x x2 x 2,1 x x2 3x 2 08.判断下列两个集合之间的关系：A 1,2,4, B x x是8的约数 仅供学习与参考仅供学习与参考仅供学习与参考仅供学习与参考学习资料 Axx 3k,k N,B xx 6z,z N Ax x 20m,m N ,B xx是4与10的公倍数 .设集合 A x x2 4x 0 , B x x2 2(a 1)x a2 1 0,x R ,若 B A,求实数 a 的 值。 TOC o 1-5 h z

20、 .下列选项中的 M与P表示同一集合的是()AMxRx20.010 ,Pxx2 0日M(x, y)|yx2 2,x R ,P(x,y)xy2 2, y RCMyyx21,xR ,Px x (y1)21,y RDMyy2k,k Z, Pxx4k 2,kZ.试写出满足条件 M g 0,1,2的所有集合m.写出满足条件0 M| 0,1,2的所有集合m.已知 1,x 2x 1,1,x2 6 ,求 x.已知集合 Aa,ab,a2b , B a,ac,ac2 ,若 A=B,求 c 的值。.已知集合Ax 1ax2 , Bx 1x1,求满足AS B的实数a的取值范围。.设集合 A 2,8,a , B2,a2

21、3a 4,且 ba,求 a 的值。B组 TOC o 1-5 h z .下列命题：空集没有子集；任何集合至少有两个子集；空集是任何集合的真子集；若s A,则A其中正确的是（）A 0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个.已知集合A1,2,3,4 ,且A中至少含有一个奇数，则这样的集合 A有（）A、13 个 B 、12 个 C 、11 个 D 、10 个kk一.设集合 M x x ,k Z , N x x 一，k Z ,则（）2442A、M=N B、帽 n C、M ND 、叵M4.已知集合Ax 3x 2 , Bx 2k1x 2k 1,且b A,则实数k的取值范围是学习资料学习资料仅供学习与参考仅供

22、学习与参考学习资料学习资料仅供学习与参考仅供学习与参考5.已知集合2ax2xa Qa R ,若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是(、0, 11, 0, 16.设 a,bR,集合1,ab, a0, b,ba，则b aA、 17.已知U1,2,3,4 , A1,3，则 CuA8.已知U1,3 , A 1,3，则 CuA9.已知集合2ax且BA,求实数a,b的值。10.如果数集0,1,x 2中有3个元素，那么x不能取哪些值?2x11.不等式组3x00的解集为A, UR,试求A及Cu A12.已知集合m 1 x 2m 1(1)、若A,求实数m的取值范围。(2)、若Z ,求A的非空真子集的个数。1.3

23、集合的基本运算并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记彳AU B,（读作 “ A并 B）.即 AUB=x|x 6人,或*6 8。如图 1-3-1所示。例如，设 A=4,5,6,8, B=3,5,7,8,求 AU B.解：A U B=4,5,6,8 U 3,5,7,8=3,4,5,6,7,8再比如说，设集合 A=x|-1x 2,集合B=x|1x3,求AU B.解：A U B=x|-1x 2 U x|1x3 = x|-1x3 1.3.2交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作AA B,(读作“A交B”)，即AA

24、 B=x|x 6人,且*68。如图1-3-2所示。例如，设 A=4,5,6,8, B=3,5,7,8, 求 AA B.解：A A B.=4,5,6,8 A 3,5,7,8=5 ,8再比如说，新华中学开运动会，设A=x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学B=x|x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学，求AA B.仅供学习与参考仅供学习与参考仅供学习与参考仅供学习与参考学习资料解:AAB=x|x是新华中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学.补集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U. 对于一个集合 A,由全集U中不属于A的所有元素组

25、成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集.记作C UA1 1x3-X 叽且xA例如，设 U=x|x 是小于 9 的正整数,A=1,2,3, B=3,4,5,6,求 CuA,CuB解：根据题意可知，U=1,2,3,4,5,6,7,8, 所以 CuA=4,5,6,7,8; CuB=1,2,7,8.集合中，一些常用的运算性质：(1) A A A; (2) AAB 则 A BA;AA A; (7) A(1) A A A; (2) AAB 则 A BA;AA A; (7) A；(3) A BA; (8)A B(10)( A B) C A (B C);(11)AB A; (4) A B A

26、, A BB A; (9) A Cu (A) U ;(A B);B;(12 )Cu (A B) (CuA )CuB;(13)Cu (AB) (CuA ) CuB本节精讲一有关两个集合的并集、交集的问题.已知集合 冲直线, N= 圆,则Mn N的元素个数为（）个.（）A. 0A. 0B. 1 C . 2D.不确定 TOC o 1-5 h z .(2010 -江西理，2)若集合A= x|x|w 1, xC R , B= y| y=x：x C R,则 An B=()A.x| - 1x0C , x|0 x 1 D . ?. (09 山东文)集合 A= 0,2 , a, B= 1 , a2.若 AU B

27、= 0,1,2,4,16,则 a 的值为()A. 0B. 1 C . 2D. 4. (2010 福建文，1)若集合 A=x|1 x2,则 An B等于()A.x|2x1 C . x|2x2.设集合 A= x| -1x 2, B= x|xva,若 An Bw ?,则 a 的取值范围是()A.a- 2C. a-1D.- 1a3 , B= x 7.，则 An b=()A. ?B. (3,4)C. ( -2,1)D. (4, +0o ).设P、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+ Q= x|x=a+b, a P, bC,P=0,1,2 ,Q=-1,1,6,则P+ Q中所有元素的和是()A. 9B. 8

28、 C . 27D. 26.，、.一 一 一 * 一 一.已知集合 A= x|x=2k+1, kC N, B= x|x=k+3, k N,则 An B 等于()A. BB. AC. ND. R10.当 xC A10.当 xC A时，若 x-1? A,且 x+ 1? A,则称x为A的一个“孤立元素”,由A的所有孤立元素组成的集合称为 A的“孤星集”，若集合M= 0,1,3的孤星集为M，集合N= 0,3,4的孤星集为N ,则MUN=()A. 0,1,3,4 B. 1,4 C . 1,3D. 0,3学习资料二、填空题.若集合A=2,4 , x,B= 2,x2,且AUB= 2,4 ,x,则x =.已知

29、A= x| x2+px+ q = x ,B= x|( x1)2 + p(x1)+ q=x+1，当 A= 2时，集合 B=.(胶州三中 2009 2010 高一期末)设 A= x| x2- px+ 15=0, B= x| x2+qx+r = 0且 AU B= 2,3,5 , AH B= 3,则 p=; q=; r=.三、解答题.已知 A= x|awxwa+ 3 , B= x|xv1 或 x5(1)若An B= ?,求a的取值范围.(2)若AU B= B, a的取值范围又如何？.设集合 M= 1,2 , m2-3mv 1 , N= 1,3,若 MA N= 3,求 m.已知 A= 1 , x, 1,

30、 B= -1,1 -x.(1)若 An B= 1 , - 1,求 x.1(2)若 AU B= 1 , - 1, 2,求 An B若B? A,求AU B.1一 .一一 1 一当 x = 2时，AU B= 1 , 5, - 1.某班参加数学课外活动小组的有22人，参加物理课外活动小组的有18人，参加化学课外活动小组的有16人，至少参加一科课外活动小组的有36人，则三科课外活动小组都参加的同学至多有多少人？.已知集合 A=x|3x 70, B=x|x是不大于8的自然数, C= x| xa, a为常数.(1)求 An B；(2)若An O ?,求a的取值集合；(3)若An C= x| 7x- 2,求a

31、的取值集合；(5)若Bn C= ?,求a的取值集合；(6)若Bn D中含有元素2,求a的取值集合.二.有关全集、补集、空集的问题例1判定以下关系是否正确学习资料学习资料仅供学习与参考仅供学习与参考学习资料学习资料仅供学习与参考仅供学习与参考a a ; (2)1 , 2, 3 = 3, 2, 1; (3) w0 ； (4)0 0例2列举集合1 , 2, 3的所有子集.例3已知a, b Awa, b, c, d,则满足条件集合 A的个数为 .例4设U为全集，集合M、N w U,且N M ,则A . CuCN. MU。1rNC. CuMCtfND . Mn&N例5 设集合 A= x|x =5-4a + a2, aC R, B= y|y =4b2+4b + 2, bCR,则下列关系式中正确的是A. A = BA BA. A = BA w BD. A w B例6设全集U”卢即和集合M。N, P，且M=O则m与的关系是A.g CUPB. Mk PC. M 1PD. M / P例7下列命题中正确的是A Cu（Cua）=AB.若AH B=B,则A BC.若人=1, 2,则2手AD.若庆=1 , 2, 3, B = x|x A,则AG B例8 已知集合A= 2, 4, 6, 8, 9, B= 1 , 2, 3, 5,