培优专题04 一元二次方程的实际问题分类-解析版

1、 20/20培优专题04 一元二次方程问题的实际应用应用一：传播问题技巧：公式a(1+x)n=M 其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数1（2021河南周口九年级阶段练习）2021年7月来，新冠病毒的变异毒株“德尔塔”病毒影响全国人民的生活，有研究表明，“德尔塔”病毒具有较强的传染性，当一个人感染了“德尔塔”病毒后，在没有防控的情况下，经过两轮传染后共有25人感染，那么，每轮传染中平均一个人传染了（）A3人B4人C5人D6人【答案】B【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x人，则第一轮传染中感染了x人，第二轮传染中感染了x（1+x）人，根据1人感染了后经过两轮传染共有25

2、人感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，则第一轮传染中感染了x人，第二轮传染中感染了x（1+x）人，依题意得：1+x+x（1+x）=25，即， 解得：=4，=-6（不合题意，舍去），每轮传染中平均一个人传染了4人故选：B【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键2（2022全国九年级专题练习）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有225人患了流感，设每轮传染中平均每人传染的人数为x人，则可列方程（）ABCD【答案】C【分析】由于每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，那么经过第一轮后有（1

3、+x）人患了流感，经过第二轮后有（1+x）+x（1+x）人患了流感，再根据经过两轮传染后共有225人患了流感即可列出方程【详解】解：依题意得（1+x）+x（1+x）=225故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，解此类题关键是根据题意分别列出不同阶段患了流感的人数3（2022山东烟台八年级期中）一次座谈会上，每两个参加会议的人都互相握手一次，经统计，一共握手36次，则这次会议与会人数是共_人【答案】9【分析】设这次参加座谈会的有x人，已知见面时两两握手一次，那么每人应握（x-1）次手，所以x人共握手x（x-1）次，又知共握手36次，以握手总次数作为等量关系，列出方程求解【详解】解：设这次

4、参加座谈会的有x人，则每人应握（x-1）次手，由题意得：，即：x2-x-72=0，解得：x1=9，x2=-8（不符合题意舍去）所以，这次参加座谈会的有9人故答案为：9【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系，列出方程求解4（2022全国九年级专题练习）2019年元旦节期间班上数学兴趣小组的同学互发微信祝贺，每两个同学都互相发一次，小明统计全组共互发了90次微信，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为_【答案】x(x-1)=90【分析】每个人都要发送（x-1）次微信，有x个人，由微信的总数量列出方程，即可得到答案【详解】解：设数学兴

5、趣小组的人数为x个，每人要发送（x-1）次微信，全班共送x（x-1）=90，故答案为：x（x-1）=90【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是本题的关键5（2022全国九年级专题练习）某种病毒传播非常快，如果1人被感染，经过2轮感染后就会有81人被感染(1)每轮感染中平均1人会感染几人？(2)若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过700人？【答案】(1)8人(2)会【分析】（1）设每轮感染中平均一个人会感染x个人，根据一个人被感染经过两轮感染后就会有81个人被感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据3轮感染后被感染的人数

6、=2轮感染后被感染的人数（1+8），即可求出3轮感染后被感染的人数，再将其与700进行比较后即可得出结论(1)设每轮感染中平均1人会感染x人，依题意，得1xx（1x）81，解得x18，x210（不合题意，舍去）答：每轮感染中平均1人会感染8人(2)81（18）729（人），729700答：若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会超过700人【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键应用二：平均增长率问题技巧：b=a(1x)n ， n为增长或降低次数 , b为最后产量，a为基数，x为平均增长率或降低率6（2022安徽安庆八年级期中）某经济开发区，今

7、年一月份工业产值达亿元，第一季度总产值为亿元，二月、三月平均每月的增长率是多少？若设平均每月的增长率为，根据题意，可列方程为（）ABCD【答案】B【分析】增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率)，本题可先用表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程【详解】解：二月份的产值为：，三月份的产值为：，故第一季度总产值为：故选B【点睛】本题考查的是一元二次方程的运用，解此类题目时常常要按顺序列出接下来几个月的产值，再根据题意列出方程即可7（2022安徽合肥市五十中学新校八年级期中）某口罩厂八月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量增加，十月份的产量比

8、八月份增加了44万只，设该厂九、十月份的口罩产量的月平均增长率为x，可列方程为（）A（1+ x）2 =4400B10000（1+x）2=4400C（1+ x）2 =1.44D10000（1+2x）=14400【答案】C【分析】根据八月份的产量=十月份的产量列方程即可【详解】解：由题意，得100=44+100，即=1.44，故选：C【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解增长率的意义，正确列出方程是解答的关键8（2022全国九年级单元测试）某种药品的价格经过两次连续降价后，由每盒100元下调至64元，假设每次降价的百分率相等，这种药品每次降价的百分率是_【答案】20%【分析】设这种药品每次降价的

9、百分率是x，根据题意可列出关于x的一元二次方程，解出x即得出答案【详解】设这种药品每次降价的百分率是x，根据题意得：，解得：，（舍）故这种药品每次降价的百分率是20%故答案为20%【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用读懂题意，找出等量关系，列出等式是解题关键9（2022上海市复旦初级中学九年级期中）某单位10月份的营业额为100万元，12月份的营业额为200万元，假设该公司11、12两个月的增长率都为x，那么可列方程是 _【答案】100（1x）2200【分析】根据题意，设平均每月的增长率为x，依据10月份的营业额为100万元，12月份的营业额为200万元，即可列出关于x的一元二次方程故答案为

10、：100（1x）2200【详解】设平均每月的增长率为x，根据题意可得：100（1x）2200故答案为：100（1x）2200【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出方程是解题关键10（2022山东泰安八年级期末）东平湖景区在2021年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2023年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次(1)求景区2021至2023年春节长假期间接待游客人次的平均增长率；(2)景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，店家决

11、定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？【答案】(1)年平均增长率为20%(2)当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额【分析】（1）设年平均增长率为x，根据题意可列出关于x的一元二次方程，解出x，再舍去不合题意的解即可；（2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得关于y的方程，解方程并对方程的解作出取舍即可（1）设景区2021至2023年春节长假期间接待游客人次的平均增长率为x，由题意得：，解得：（舍）答：年平均增

12、长率为20%；（2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得： ，整理得：，解得：要让顾客获得最大优惠，y=20答：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额【点睛】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键应用三：形积问题技巧：根据图形的性质和面积公式，联系一元二次方程的根，注意涉及到面积的和差，切勿混淆11（2022浙江绍兴八年级期末）如图，一块长方形绿地长10m，宽5m在绿地中开辟三条道路后，绿地面积缩小到原来的78%，则可列方程为（）ABCD【答案】

13、A【分析】由图可知三条道路宽都为x，把道题平移到边缘，让剩下的绿地形成一个长方形，根据题意列出方程即可【详解】如图：将剩下的绿地进行平移后是一个长方形，长方形的长为（10-2x）米，宽为（5-x）米；根据题意列出方程为：，故选：A【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据题意找出等量关系列出方程是解题的关键12（2022广西崇左八年级期中）如图，在长为30m，宽为15m的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），其余部分铺设草坪，要使草坪的面积为406m2，则小路的宽度应为多少（）A1B1.5C2D4【答案】A【分析】根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程求

14、解【详解】解：将道路进行平移，剩余的草坪为一个小长方形，设小路宽为x m，根据题意，得（30 x）（15x）406整理得解得，（不合题意，舍去）则小路宽为1m，故选：A【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式本题中按原图进行计算比较复杂时，可根据图形的性质适当的进行转换化简，然后根据题意列出方程求解13（2022浙江温州市南浦实验中学八年级期中）如图，在一块长为60米，宽为40米的长方形空地内修建一间正方形凉亭和两条宽度相等的小路，且小路的宽度是正方形凉亭边长的，其余部分种植草坪，若草坪面积为2328平米，设小路宽为x米，依题意可列方程为_【答案】【分析】设小

15、路宽为x米，则凉亭的宽度为4x米，根据面积之间的关系列出方程即可【详解】解：设小路宽为x米，则凉亭的宽度为4x米，根据题意得：6040-(60-4x)x-=2328，故答案为：6040-(60-4x)x-=2328【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解题关键14（2022河北承德八年级期末）如图，矩形ABCD中，（1）矩形ABCD的周长为_；（2）若一正方形的面积与矩形ABCD的面积相等，则这个正方形的边长为_【答案】 【分析】（1）根据长方形周长公式求解即可；（2）设正方形的边长为x，由题意得，解方程即可【详解】解：（1）矩形ABCD中，矩形ABCD的周长为，故答

16、案为：，（2）设正方形的边长为x，由题意得，（负值已舍去），正方形的边长为，故答案为：【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键15（2021内蒙古通辽九年级期末）如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边利用长为米的墙，另外三边用米长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边上留一个米宽的门，(1)若，问矩形的边长分别为多少时，鸡舍面积为平方米(2)若住房墙的长度足够长，问鸡舍面积能否达到平方米？【答案】(1)长为米，宽为米(2)不能【分析】（1）设矩形鸡舍垂直于房墙的一边长为米，则矩形鸡舍的另一边长为米，根据鸡舍面积为平方米，列出方程并解答；（2）利用

17、鸡舍面积等于平方米得出一元二次方程，根据判别式可得出答案（1）解：设矩形鸡舍垂直于房墙的一边长为米，则矩形鸡舍的另一边长为米，依题意，得：，解得：，当时，（舍去），当时，答：矩形鸡舍的长为米，宽为米（2）当鸡舍面积等于平方米时，依题意，得：，整理得：，所围成鸡舍面积不能为90平方米答：所围成鸡舍面积不能为90平方米【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键应用四：数字问题技巧：注意个位和十位数字的表示，特别是涉及到互换位置的时候，根据题意直接列出方程即可16（2022全国九年级课时练习）一个两位数的两个数字的和为9，把这个两位数的个位数字与十位数字互换

18、得到一个新的两位数，它与原两位数的积为1458，设原两位数的个位数字为x，则可列方程（）ABCD【答案】C【分析】根据题意易得原两位数的十位数字为9-x，然后可根据题意进行列方程排除选项【详解】解：由题意得：原两位数的十位数字为9-x，则有，；故选C【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键17（2022全国九年级课时练习）如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数(如：8，14，15，16，17，24)如果圈出的6个数中，最大数x与最小数的积为225，那么根据题意可列方程为()Ax(x+8)=225Bx(x+16)=225Cx

19、(x16)=225D(x+8)(x8)=225【答案】C【分析】最大数为x，则我们只需要将最小数用x表示出来即可列出方程【详解】最大数为x，最小数用x表示为：x-16，列方程为：x(x16)=225，故选：C【点睛】本题考查列一元二次方程，解题关键是根据题干找出等量关系式，然后根据等量关系式来列方程18（2021江苏九年级专题练习）有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和是8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘原来的两位数就得1855，则原来的两位数是_【答案】35或53【分析】设个位为x，则十位上的数字为8-x，根据如果十位上的数字与个位上的数字对调，则所得两位数乘以原来的两位数

20、就得1855，求解即可【详解】设原两位数的十位数字为x，则个位数字是（8-x），由题意得10 x+（8-x）10（8-x）+x=1855化简得x2-8x+15=0，解之得：x1=3，x2=5经检验，x1=3，x2=5都符合题意答：原两位数是35或53【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是表示出对调前后两位数的表示方法19（2021湖北黄冈九年级阶段练习）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小3，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小27，则原来的两位数是_【答案】63【分析】根据题意列出一元二次方程，解方程即可，等量关系为：原来的两位数-新

21、两位数=27，把相关数值代入计算可得各位上的数字，根据两位数的表示方法求得两位数即可【详解】解：设个位数字为，则十位数字为23，由题意得10(23)(1023)27 ，整理得，解得 (不合题意，舍去)，十位数字为，则原来的两位数为63 故答案为：63【点睛】本题考查了列一元二次方程解应用题，弄清已知中的等量关系是解题的关键20（2021江苏九年级专题练习）李先生乘出租车去某公司办事，下车时，打出的电子收费单为“里程11千米，应收元”该城市的出租车收费标准如下表所示，请求出起步价里程千米价格N元元千米元千米【答案】起步价是10元【分析】根据收费标准,将11千米分段计费,列出方程即可.【详解】解：

22、依题意，得，整理，得，解得，由于，所以答：起步价是10元【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用,属于简单题,列方程是解题关键.应用五：商品销售问题技巧：销售总额单件售价数量 总利润：单件利润数量（售价进价）数量 利润成本利润率21（2022全国九年级单元测试）将进价为 元/个的某种商品按 元/个出售时，能卖出500个，已知这种商品每个每涨价1元，其销售数量就减少 个，若想使利润达到元，售价应是多少？设售价为 元/个，则可列方程（）ABCD【答案】D【分析】由售价为x元/个，则可表示出此时一个的利润及销售数量，根据利润为9000元，可列方程【详解】解：设售价为x元，则（x90）50010（x1

23、00）9000，故选：D【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，由售价和销售量的关系，以利润作为等量关系列方程求解22（2022全国九年级专题练习）某超市销售一种商品，其进价为每千克30元，按每千克45元出售，每天可售出300千克，为让利于民，超市采取降价措施，当售价每千克降低1元时，每天销量可增加50千克，若每天的利润要达到5500元，则实际售价应定为多少元？设售价每千克降低x元，可列方程为（）A（45-30-x）（300+50 x）=5500B（x-30）（300+50 x）=5500C（x-30）300+50（x-45）=5500D（45-x）（300+50 x）=5500【答案】A【分

24、析】先求出每千克的售价为元，此时每天销量为千克，再根据“利润（售价进价）每天销量”建立方程即可得【详解】解：由题意可知，当售价每千克降低元时，每千克的售价为元，此时每天销量为千克，则可列方程为，故选：A【点睛】本题考查了列一元二次方程，正确找出等量关系是解题关键23（2022全国九年级专题练习）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，由于疫情，为了扩大销售量，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件若商场平均每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，则每件衬衫应降价多少元？设每件衬衫降价x元，由题意列得方程_【答

25、案】【分析】设每件衬衫降价x元，根据每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件可得销售量为，则每件衬衫的利润为，根据销售量乘以每件衬衫的利润等于1200元，列出一元二次方程即可【详解】解：设每件衬衫降价x元，根据题意得，故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键24（2022全国九年级课时练习）某商店以30元的价格购进了一批服装，若按每件50元出售，一个月内可销售100件；当售价每提价1元时，其月销售量就减少5件当利润达到1875元时，设售价提价x元，则可列方程为_【答案】5x2-125=0【分析】根据“每月售出服装的利润=每件的利润每周的销售量”可

26、得1875=(50+x-30)(100-5x)，然后整理即可解答【详解】解：根据题意得出：1875=(50+x30)（100-5x）整理得：5x2-125=0故答案为：5x2-125=0【点睛】本题主要考查了根据实际问题列一元二次方程，理解每件利润以及其销量是解答本题的关键25（2022山东烟台八年级期末）某商场以每件220元的价格购进一批商品共900件，起初，商场按每件280元的价格销售该商品，每天可售出30件，销售两天后，为庆祝“618购物节”，商场决定开展降价促销活动，经调查发现：该商品每降价1元，平均每天可多售出3件(1)若要使该商品每天的销售利润达到降价前的两倍，则每件商品应降价多少

27、元？(2)在（1）的条件下，要使该商品尽快售完，需开展几天的降价促销活动？【答案】(1)每件商品应降价20元或30元；(2)需开展7天的降价促销活动【分析】（1）根据总利润=单件利润销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）设需开展y天的降价促销活动根据“900-302=（30+330）y”求得y的值即可（1）解：设每件商品应降价x元，由题意，得（280-x-220）（30+3x）=（280-220）302，解得 x1=20，x2=30答：每件商品应降价20元或30元；（2）解：要使该商品尽快售完，每件商品应降价30元设需要开展y天的降价促销活动由题意，得900-302=

28、（30+330）y解得y=7答：需开展7天的降价促销活动【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键应用六：动点几何问题技巧：先把动点走过的路程用时间表示出来，再把剩余的路长用时间表示出来，根据题意列方程26（2022河北沧州九年级期末）如图，在中，AB=，BC=点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点随即停止当四边形的面积为时，点的运动时间为()AB或CD或【答案】C【分析】先求出的面积，得出当四边形的面积为时BPQ的面积，设运动时间为t，则，根据三角形面积公式列出关于他t的方程，解方程即可【详解

29、】解：在中，AB=，BC=，当四边形的面积为时，设运动时间为t，则，解得：，点P在AB上的运动时间为：，不符合题意，即当四边形的面积为时，点的运动时间为2s，故C正确，符合题意故选：C【点睛】本题主要考查了动点问题，三角形的面积公式，解二元一次方程组，设运动时间为t，根据题意列出关于t的方程，是解题的关键27（2022全国九年级课时练习）如图，ABC中，C90，AC8cm，BC4cm，一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度向B运动，另一动点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度向C运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）当t为（）秒时，PCQ的面积是ABC面积的？A1.5B2C3

30、或者1.5D以上答案都不对【答案】B【分析】根据题意，求得的长，进而求得，根据的面积是面积的，列出方程，解方程即可解决问题【详解】解：，一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度向B运动，点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度向C运动，AQ=2，的面积是面积的，整理得，解得，当s时，的面积是面积的故选择B【点睛】本题考查了一元二次方程的应用动点问题，用代数式表示线段，三角形面积，根据三角形面积列出方程是解题的关键28（2022全国九年级课时练习）如图，在矩形中，点从点出发沿以的速度向点运动，同时点从点出发沿以的速度向点运动，点到达终点后，、两点同时停止运动，则_秒时，的面积是【答案】2

31、或3#3或2【分析】设t秒后的面积是，则，列方程即可求解【详解】解：设运动时间为秒，则，依题意得：，整理得：，解得：，或3秒时，的面积是故答案为：2或3【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程29（2022全国九年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，AB6cm，BC12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，有一点到终点运动即停止，当t_时，SDPQ28cm2【答案】2或4【分析】由题意可知当运动时间为t秒时，则AP=t cm，BP=（6-t）cm，BQ=

32、2t cm，CQ=（12-2t）cm，根据SDPQ=28cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出答案【详解】解：当运动时间为t秒时，则AP=t cm，BP=（6-t）cm，BQ=2t cm，CQ=（12-2t）cm，依题意得：126-12t-6（12-2t）-2t（6-t）=28，整理得：t2-6t+8=0，解得：t1=2，t2=4故答案为：2或4【点睛】本题考查一元二次方程的几何应用与矩形的性质，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键30（2020辽宁宽甸满族自治县第一初中九年级阶段练习）如图，ABC中，C=90，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s速度

33、向点C移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t(1)根据题意知：CQ ，CP ；（用含t的代数式表示）(2)t为何值时，CPQ的面积等于ABC面积的？(3)运动几秒时，CPQ与CBA相似？【答案】(1)t，42t(2)或(3)或秒【分析】（1）结合题意，直接得出答案即可；（2）根据三角形的面积列方程即可求出结果；（3）设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解：若RtABCRtQPC，若RtABCRtPQC，然后列方程求解（1）解：AC=3cm，BC=4cm，根据题意得：经过t秒后，BP=t，PC=4-2t，CQ=t，故答案为：t，4-2t；（2）解

34、：当CPQ的面积等于ABC面积的时，即（4-2t）t=34，解得；t=或t=；答：经过或秒后，CPQ的面积等于ABC面积的；（3）解：设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，若RtABCRtQPC则，即，解得t=；若RtABCRtPQC则，即，解得t=；由P点在BC边上的运动速度为2cm/s，Q点在AC边上的速度为1cm/s，可求出t的取值范围应该为0t2，验证可知两种情况下所求的t均满足条件答：要使CPQ与CBA相似，运动的时间为1.2或秒【点睛】本题考查了一元二次方程的实际运用，动点问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，掌握相似三角形的性质是解决问题的关键；特别是（3）注意分类讨论应用七：相互问题（循环、握手、互赠礼品等）技巧：循环问题：又可分为单循环问题n(n-1)，双循环问题n(n-1).31（2022黑龙江中考真题）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（）A8B10C7D9【答案】B【分析】设有x