培优专题16 证明切线的两种类型-解析版

1、 9/9培优专题16 证明切线的两种类型类型一：直线与圆有交点方法归纳:直线过圆上某一点,证明直线是圆的切线时,只需“连半径,证垂直,得切线”.“证垂直”时通常利用國中的关系得到90的角,如直径所对的圆周角等于90等.常见证明垂直的思路有三种。思路一：利用两个锐角互余证明垂直；思路二：利用全等证明垂直；思路三：利用勾股定理的逆定理证明垂直；思路四：利用等腰三角形的性质证明垂直。这三种思路在证明垂直时能经常用到，当选择用“作半径，证垂直”时可以考虑用这三种思路。1（2022江苏苏州二模）如图，在平行四边形中，是对角线，以点为圆心，以的长为半径作，交边于点，交于点，连接(1)求证：与相切；(2)若

2、，求的长【答案】(1)见解析；(2)【分析】（1）连接AE，根据平行四边形的性质得到，然后根据证明，根据全等三角形的性质即可证明；（2）连接EF，作EGAC，由（1）可知的性质得出后证明是等边三角形，接着求出，利用直角三角形30所对的直角边等于斜边的一半求出，最后利用勾股定理求出EF的长(1)解：连接AE，平行四边形，在和中，AE是的半径，与相切；(2)连接EF，作EGAC，由（1）可知，又，是等边三角形，EGAC，在中，【点睛】本题主要考查圆的综合，切线的判定、三角形全等的判定及性质、勾股定理，重点是掌握圆的基础知识定理，并且要灵活运用2（2022河北邢台市开元中学九年级期末）如图，在RtA

3、BC中，BAC90，以AB为直径的O与BC相交于点E，在边AC上取一点D，使得DEAD，连接OD、OE（1）求证：AODEOD；DE是O的切线；（2）当BC5，AD2时，求O的半径【答案】（1）见解析；见解析；（2）O的半径为【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SSS证得结论；根据切线的判定方法，只要证明OEDE即可；（2）证出OD是ABC的中位线，进而求出OD，再在直角三角形中利用勾股定理求出半径即可【详解】（1）证明：在AOD和EOD中，则AODEOD（SSS）；由知，AODEOD，OEDBAC90，即OEDEOE是半径，DE是O的切线；（2）解：由（1）知，AODEOD，AODEODO

4、BOE，BOEB，AOEB+OEB，BEOEOD，ODBC，又AOBO，ODBC在RtAOD中，由勾股定理得：AO即：O的半径为【点睛】本题考查切线的判定和性质，掌握切线的判定方法是解决问题的前提，转化到直角三角形中利用边角关系求解是常用的方法3（2021江苏南京九年级期中）如图，在正方形ABCD中，E是BD上一点，射线AE交CD于点F，交BC的延长线于点G，过点C，F，G画圆，连接CE求证：CE是圆的切线【答案】证明见解析【分析】连接圆心O与C点，根据等腰三角形的性质得到OCFOFC，根据全等三角形的性质得到DAEDCE，求得OCF90，由切线的判定定理即可得到结论【详解】证明：连接圆心O与

5、C点，OCOF，OCFOFC，OFCDFA，OCFDFA，在正方形ABCD中，DADC，ADBCDB45，在ADE和CDE中，ADECDE（SAS），DAEDCE，DAE+DFE90，OCFDFADCE+OCF90，即OCE90，OCCE且C在圆上，CE是圆的切线【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键4（2021四川南充中考真题）如图，A，B是上两点，且，连接OB并延长到点C，使，连接AC（1）求证：AC是的切线（2）点D，E分别是AC，OA的中点，DE所在直线交于点F，G，求GF的长【答案】（1）见解析；（2）2【分析】

6、（1）先证得AOB为等边三角形，从而得出OAB=60，利用三角形外角的性质得出C=CAB=30，由此可得OAC=90即可得出结论；（2）过O作OMDF于M，DNOC于N，利用勾股定理得出AC=，根据含30的直角三角形的性质得出DN =，再根据垂径定理和勾股定理即可求出GF的长【详解】（1）证明：AB=OA，OA=OBAB=OA=OBAOB为等边三角形OAB=60，OBA=60BC=OBBC=ABC=CAB又OBA=60=C+CABC=CAB=30OAC=OAB+CAB=90AC是O的切线；（2）OA=4OB=AB=BC=4OC=8AC=D、E分别为AC、OA的中点，OE/BC，DC=过O作OM

7、DF于M，DNOC于N则四边形OMDN为矩形DN=OM在RtCDN中，C=30，DN=DC=OM=连接OG，OMGFGF=2MG=2=2【点睛】本题考查了切线的判定、垂径定理、等边三角形的性质和判定，熟练掌握相关的知识是解题的关键类型二：不确定直线与圆是否有交点方法归纳:直线与圆没有已知的公共点时,通常“作垂直,证半径,得切线”证明垂线段的长等于半径常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分线上的点到角的两边的距离相等.5（2020浙江杭州模拟预测）如图，在RtABC中，ACB90ABC的平分线交AC于点O，以点O为圆心，OC为半径在ABC同侧作半圆O求证：AB与O相切；【答案】见解析；【分析】

8、过O作OHAB于H，得到BHO=BCO=90，根据角平分线的定义得到CBO=HBO，根据全等三角形的性质得到OH=OC，于是得到AB与O相切； 【详解】（1）证明：如图，过O作OHAB于H，ACB90BHOBCO90，BO平分ABC，CBOHBO，BOBO，CBOHBO（AAS），OHOC，AB与O相切；【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键6（2022江苏淮安一模）如图，在RtACD中，ACD=90，点O在CD上，作O，使O与AD相切于点B，O与CD交于点E，过点D作DF AC，交AO的延长线于点F，且OAB=F求证：AC是O的切线；【答案】见解析【分析】由题意，首先证明OA是BAC的角平分线，然后得到BO=CO，即可得到结论成立；证明：DFAC，OAC=F，OABF，OAC=O