高等代数教案汇编

1、学习好资料学习好资料更多精品文档更多精品文档学习好资料学习好资料更多精品文档更多精品文档高等代数教案秦文钊学习好资料学习好资料更多精品文档更多精品文档学习好资料学习好资料更多精品文档更多精品文档第页第页章（节、目）授课计划授课章节名称第二章引言授课时数通过本节的学习，使学生了解行列式的背景? 要求学生熟练掌握二、三级行列式的对角线计算法则 要求教学重占八、二、三元线性方程组的计算公式，二、三级行列式的对角线计算法则教学难占八、 二、三元线性方程组的计算公式教学方法与启发式讲练相结合手段阅读书上或4 阅读书上或4 -IV.参考 费料.张禾瑞，郝炳新编：高等代数，高等教育出版社。.王萼芳：高等代数

2、，高等教育出版社。.田孝贵等：高等代数，高等教育出版社教学 后记学习-学习-好资料、课时教学内容第页更多精品文档更多精品文档学习好资料学习好资料更多精品文档更多精品文档第页小结 方程占有重要地位aii第页小结 方程占有重要地位aiiai a?2aAazia2i a22、课时教学内容教学内容解方程是代数中的一个基本的问题，特别是在中学所学代数中，解 这一章和下一章主要讨论一般的多元一次方程组，即线性方程组.一、对于二元线性方程组aiXi aAx? bi,a2i Xia?2 x?二 b?,当a “22-aAazi =0时，此方程组有唯一解，即bia22 - aizb ：aiib2 - aAb iX

3、i ,X2 =ai a22 -、 ai2a2iai a22、ai2a2i我们称ara22-ai2a2i为二级行列式,用符号表示为ai2于是上述解可以用二级行列式叙述为当二级行列式时，该方程组有唯一解,aii ai2时，该方程组有唯一解,biai2b2a22biaiia2ib2aiiai2a2ia22,X2一aiiai2a2ia22a2ia22Xi、对于三元线性方程组有相仿的结论.设有三元线性方程组aX ai2X2 ai3X3 = bi,a2iXia22 X2 a2iXia22 X2 a23 X3b23iXi a32称代数式aiia22 a33ai2a23a3iai3a2ia32aiia23a3

4、2ai2a2ia33ai3a22a3i三级行列式，用符号表示为aiia22 a33ai2a23a31国3a2i a32教学内容aiia23a32ai2a2ia3A _ ai3a22a3Aa2111ai2ai32331a22a3233小结aiiai2ai3d = a 21a22a?3 式 0a33a31 aa33时，上述三元线性方程组有唯一解，解为Xdid dXdid d2d3X2 =,X3其中biai2ai3aiiai3a ii a i2bib2a22a23,dbiai2ai3aiiai3a ii a i2bib2a22a23,d 2 =a2ia23,d3a 2i a 22b?b3a32a33

5、a3ia33a3ia32b3、n元线性方程组a UXi+a12xa UXi+a12x2+?a?i Xi222X2a2nXn=b2an1 X1 -a.2X2 ? annXn =0是否也有类似的结论呢？为此，首先给出n级行列式的定义并讨论它的性质,最后来解决这一问题，这是本章的主要内容？、课时教学内容授课章节名称排列授课时数第页第页章（节、目）授课计划授课章节名称排列授课时数第页第页通过本节的学习，使学生掌握有关排列的相关知识教学 要求学生掌握有关排列的基本概念、并能熟练掌握排列逆序数的计算与奇要求偶性的确;E。教学重占八、有关排列的基本概念、排列的奇偶性。教学难占八、排列逆序数的计算与奇偶性的确

6、定讲授法教学方法 与 手段讲授法作业与思 考题阅读书上或4 -IV.阅读书上或4 -IV.参考资料.王萼芳：高等代数，高等教育出版社。.田孝贵等：高等代数，高等教育出版社学习好资料学习好资料更多精品文档更多精品文档学习好资料学习好资料更多精品文档更多精品文档教学 后记、课时教学内容教学内容小结一、排列的定义定义1由1,2,，n组成的一个有序数组称为一个n级排列.n级排列的总数是n!.显然12j-n也是一个n级排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺序排起来的；其它的排列或多或少地破坏自然顺序.定义2在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆

7、序，一个排列中逆序的 总数就称为这个排列的逆序数.排列jj2 jn的逆序数记为Wlj2 jn)例：排列53214的逆序数7定义3逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为 奇排列。应该指出，我们同样可以考虑由任意 n个不同的自然数所组成的排列，一般也称为n级排列。对这样一般的n级排列，同样可以定义上面这 些概念。二、排列的奇偶性把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列.这样一个变换称为一个对换。显然，如果连续施行再次相同的对换，那么排列就还原了。由此得知，一个对换把全部n级排列两两配对，使每两个配成对的n级排列在这个对换下互变。定理1对换改变排列的奇偶性.这就

8、是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列推论在全部n级排列排列中，奇、偶排列的个数相等，各有 n!/2个.定理2任意一个n级排列与排列12八n都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性 .结论：任意两个排列都可以经过一系列对换互变.学习好资料、课时教学内容学习好资料、课时教学内容第页更多精品文档更多精品文档学习好资料、课时教学内容学习好资料、课时教学内容第页更多精品文档更多精品文档学习好资料章（节、目）授课计划第页学习好资料章（节、目）授课计划第页更多精品文档更多精品文档授课章节名称 n级行列式授课时 数教学 目的使学生掌握行列式的定义教学 要求要求学生

9、真正的理解行列式的定义以及行与列地位的对称教学 重占 八、一般行列式的义、行与列的地位是对称的教学 难占 八、行列式的定义教学方法 与 手段讲授法启发式作业与思 考题阅读书目 或4 -IV.今臼立t 料.张禾瑞，郝炳新编：高等代数，高等教育出版社。.王萼芳：高等代数，高等教育出版社。.田孝贵等：高等代数，高等教育出版社教学 后记们有1811821811821831教学内容、n级行列式的概念在给出n级行列式的定义之前，先来看一下二级和三级行列式的定义。我8们有1811821811821831教学内容、n级行列式的概念在给出n级行列式的定义之前，先来看一下二级和三级行列式的定义。我81282281

10、28 228 32= 81182232 821813823833811 822 833812823831 813821 832 811823832 812821833 813822831 (2)小结从二级和三级行列式的定义中可以看出，它们都是一些乘积的代数和，而 项乘积都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素构成的，并且展开式恰恰就是由所有这种可能的乘积组成 以一方面，每一项乘积都带有符号 但符号是按什么原则决定的呢？在三级行列式的展开式（2）中，项的一般形式可以写81j1 82j2 83j33是偶排列时？寸应的项在其中j1j2j3是1, 2, 3的一个排列加以看出，当门2 （2）中带有正号

11、,当j1j2 j3是奇排列时带有负号3是偶排列时？寸应的项在定义4 n级行列式8812 88812 811J81n82182282na(4)8n18n18n28nn等于所有取自不同行不同列的n等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积81 j1 82 j2 8njn的代数和，这里j1 jA jn是1,2）n的一个排列，每一项都按下面规则带有符号；当jj jn 是偶排列时，（5）带有正号，当j1 j2 - j n是奇排列时，（5）带有负号这一定义可写成教学内容小结aiiai2aina2ia2na22 一一anian2ann=J （_i）讪 2人）划向 2 anjn（6）jij2 jn这里a 表示对

12、所有n级排列求和. jlj2, Vn定义表明，为了计算n级行列式，首先作所有可能由位于不同行不同 列元素构成的乘 积才巴构成这些乘积的元素按行指标排成自然顺序，然后 由列指标所成的排列的奇偶性来决 定这一项的符号？由定义看出，n级行列式是由n!项组成的.例1计算行列式学习 好资料、课时教学内容学习 好资料、课时教学内容第页更多精品文档更多精品文档学习 好资料、课时教学内容学习 好资料、课时教学内容第页更多精品文档更多精品文档小结例 2 计算上三角形行列式教学内容小结ai1 ai2ai n0 a22a2n TOC o 1-5 h z aaai1 aai1 ai20 a22aa0 0ai na2n

13、二aia22 ann(8)?这个行列式就等于主对角线(从左上角到右下角这条对角线)上元素的乘积 . 特别主对角线以外的元素全为零的行列式称为对角形行列式. 对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积.容易看出，当行列式的元素全是数域中的数时，它的值也是数域中的一个数.学习好资料学习好资料更多精品文档更多精品文档学习好资料学习好资料更多精品文档更多精品文档学习一一好资料、课时教学内容学习一一好资料、课时教学内容第页更多精品文档更多精品文档、行列式的性质在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，把元素按行指标排起来.事实上，数的乘法是交换的，因而这些元素的次序是可以任意写的，一般地，n级行列式中的项

14、可以写成aij1ai平ain jn)(11)其中位inaij1ai平ain jn)(11)其中位in,jij2 jn是两个n级排列.利用排列的性质，不难证明，(11)的符号等于.(i1i2 in) - .( j 1j2 jn)(-1)(12)按(12)来决定行列式中每一项的符号的好处在于，行指标与列指标的地位 是对称的，因而为了决定每一项的符号, 起来，于是定义又可以写成同样可以把每一项按列指标排a11 a121na21 a22 aa2n(1)( 12 AaMW ainn也in(15)an1 aan1 an2由此即得行列式的下列性质:性质1行列互换，行列式不变a21an1a12a22an2a1

15、1a21an1aa21an1a12a22an2a11a21an1a2naanna12I-a1 na22a2nan2iann.(16)性质1表明，在行列式中行与列的地位是对称的，因之凡是有关行的性质，对列也同样成立性质1表明，在行列式中行与列的地位是对称的，因之凡是有关行的性质，对列也同样成立？例如由(8)即得下三角形的行列式an 0a21a 220：一& 心 22 annan1an 2ann章（节、目）授课计划第页授课章节名称 n级行列式的性质授课时数通过本节学习，使学生能熟练掌握行列式性质的应用要求学生能熟练掌握行列式性质及其应用教学 重占 八、行列式的性质及其应用教学 难占 八、行列式性质

16、的应用教学方法与手段讲授法启发式作业与思考题阅读书上或章（节、目）授课计划第页授课章节名称 n级行列式的性质授课时数通过本节学习，使学生能熟练掌握行列式性质的应用要求学生能熟练掌握行列式性质及其应用教学 重占 八、行列式的性质及其应用教学 难占 八、行列式性质的应用教学方法与手段讲授法启发式作业与思考题阅读书上或4 -IV.参考资料.王萼芳：高等代数，高等教育出版社。.田孝贵等：高等代数，高等教育出版社学习好资料、课时教学内容学习好资料、课时教学内容第页更多精品文档更多精品文档学习好资料、课时教学内容学习好资料、课时教学内容第页更多精品文档更多精品文档教学 后记教学内容小结教学内容小结学习好资

17、料学习好资料更多精品文档更多精品文档学习好资料学习好资料更多精品文档更多精品文档、课时教学内容 性质3第页asaii3bi +Gb2 +C2bn +5aiiaa12ainaiiaa12、课时教学内容 性质3第页asaii3bi +Gb2 +C2bn +5aiiaa12ainaiiaa12ai nbib2bnCiCni-a .niannnian2annanian2ann式的和，而这两个这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样性质3显然可以推广到某一行为多组 数的和的情形.性质4如果行列式中有两行相同，那么行列式为

18、零.所谓两行相同就 是说两行的对应元 素都相等.性质5如果行列式中两行成比例，那么行列式为零.性质6把一行的倍数加到另一行，行列式不变.性质7对换行列式中两行的位置，行列式反号.例1计算n级行列式a b b bb a b b TOC o 1-5 h z d = b b a - bS3 3-b b b a例2计算行列式-231503201298523由于上（下）三角形行列式容易计算，因此计算行列式的一个基本方法是利用行列式的性质，把行列式化成上（下）三角形行列式进行计算.例3 一个n级行列式，假设它的元素满足aj - -aji , i, j =1,2, ,n ,证明，当n为奇数时，此行列式为零第

19、页章（节、目）授课计划第页授课章节名称行列式的计算授课时数教学通过本节学习，使学生能熟练掌握矩阵的初等变换在行列式的计算中的应目的用教 学通过本节学习，要求学生能熟练掌握矩阵的初等变换在行列式的计算中的要求应用教学 重占 八、矩阵的初等变换、行列式计算教学 难占 八、行列式的计算教学方法与手段讲授法启发式作业与思考题阅读书上或4 -IV.参考资料.张禾瑞，郝炳新编：高等代数，高等教育出版社。.王萼芳：高等代数，高等教育出版社。.田孝贵等：高等代数，高等教育出版社、课时教学内容教学内容第页小结在我们看到，一个上三角形行列式ai1ai2aina22ai1ai2aina22aa2na0就等于它主对角

20、线上元素的乘积annann定义5由sn个数排成的s行（横的）n列（纵的）的表广叭ann定义5由sn个数排成的s行（横的）n列（纵的）的表广叭ai2ama2i&22aa2na1asias2asn /i1 a22这个计算是很简单的？下面我们想办法把任意的n级行列式化为上三角形 行列式来计算.（1）称为一个s n矩阵.数aj,i =1,2/ ,s, j =1,2/ , n，称为矩阵的元素，i称为元素aj的行指标，j称为列指标.当一个矩阵的元素全是某一数域 P中的数时，它就称为这一数域P上的矩阵.n n矩阵也称为n级方阵.一个n级方阵3itain3ita2ia a2ia 22a2nanna11a21a

21、22anna11a21a22aa2n aan1an2ann1an1定义一个n级行列式a12称为矩阵A的行列式，记作网.学习好资料、课时教学内容学习好资料、课时教学内容第页更多精品文档更多精品文档学习好资料、课时教学内容学习好资料、课时教学内容第页更多精品文档更多精品文档1 1 小结教学内容定义6所谓数域P上矩阵的初等行变换是指下列三种变换:1）以P中一个非零的数乘矩阵的某一行；2）把矩阵的某一行的c倍加到另一行，这里c是P中任意一个数；3）互换矩阵中两行的位置.一般说来，一个矩阵经过初等行变换后，就变成了另一个矩阵叫矩阵A经过初等行变换变成矩阵B时，我们写成At B右一个矩阵的任一行从第一个兀

22、素起至该行的第一个非零兀素所在的下方全为零，则称这样的矩阵为阶梯形矩阵 ？可以证明，任意一个矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯形矩 阵.现在回过来讨论行列式的计算问题.一个n级行列式可看成是由一个 n级 方阵A决定的，对于矩阵可以作初等行变换，而行列式的性质2, 6,7正是说明了方阵的初等行变换对于行列式的值的影响.每个方阵A总可 以经过一系列的初等行变换变成阶梯形方阵J .由行列式性质2, 6, 7,对方阵每作一次初等仃变换，相应地，仃列式或者不变，或者差一非零的倍数，也就是|A|二k| J |,20 TOC o 1-5 h z 显然，阶梯形方阵的行列式都是上三角形的，因此是容易计算的.例

23、计算-2 5-131-9 1373-15-5 28-7-10不难算出，用这个方法计算一个 n级的数字行列式只需要做一红卫次乘法和除法.特别当n比较大的时候，这个方法的优越性就 3教学内容小结更加明显了 .同时还应该看到，这个方法完全是机械的，因而可以用电子计算机按这个方法来进行行列式的计算？对于矩阵同样可以定义初等列变换，即1）以P中一个非零的数乘矩阵的某一列；2）把矩阵的某一列的c倍加到另一列，这里c是P中任意一个数；3）互换矩阵中两列的位置.为了计算行列式，也可以对矩阵进行初等列变换？有时候，同时用初 等行变换和列变换，行列式的计算可以更简单些 ？矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换

24、 ？学习好资料学习好资料更多精品文档更多精品文档学习好资料学习好资料更多精品文档更多精品文档章（节、目）授课计划第页授课章节名称6行列式骂L行（列）展开授课时 数教学 目的通过本节的学习，可以以使行列式的计算更简化教学 要求要求学生会应用行列式展开性质来计算行列式学占、 教重人行列式投-行展开的性质、展开性质的应用教学 难占 八、展开性质的应用教学方法 与 手段讲授法启发式作业与思 考题阅读书E 或4 -IV.参巧资 料.张禾瑞，郝炳新编：高等代数，高等教育出版社。.王萼芳：高等代数，高等教育出版社。.田孝贵等：高等代数，高等教育出版社教学 后记学习好资料、课时教学内容学习好资料、课时教学内容

25、第页更多精品文档更多精品文档学习好资料、课时教学内容学习好资料、课时教学内容第页更多精品文档更多精品文档对于教学内容 n级行列式，有小结aiiai2inaiiai2in aiA ai2A2amAn,i2,n.anian2nn现在来研究这些Aij,i , j =1,2,n究竟是什么.三级行列式可以通过二级行列式表示：aiiai2ai3a 22a2ia 23a2ia22a2ia22a23=aiiai2a32a333ia33a3i33aiiai2ai3a 22a2ia 23a2ia22a2ia22a23=aiiai2a32a333ia33a3i33a3i定义7a 32a33在行列式aiiai jin

26、aiiaijinanianjann中划去元素aj所在的第i行与第j列，剩下的(n -i)2个元素按原来的排法 构成一个n - i级行列式称为兀素3称为兀素3j的余子式，记作Mjaiiaigaai，j-iain-a-aijai u，iai a j 4ai4,j in ,ai i,iaai 出，j4ai i,j iai i,n aanian, j 4an,j iannA=(-i)ijMj.为此先证明n级行列式与n-1级行列式的下面这个关系,学习好资料、课时教学内容第页学习好资料、课时教学内容第页教学内容小结更多精品文档更多精品文档学习好资料、课时教学内容第页学习好资料、课时教学内容第页教学内容小结

27、更多精品文档更多精品文档a11a12a1 ,na21a22a2, n/1aan _L 1an J , 2 an _L n A000a1nai1ai2a2na21a22a nnan _1,1 an J 21一ai ,n Ja2,n Jan J, n_1其次)在(1)中令an = ai2 = |l| =aj响1 =0, aj = 1,即可得证 定义8上面所谈到的Aj称为元素aj的代数余子式.这样，公式(1)就是说，行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和 花(1)中，如果令第i行的元素等于另外一行，譬如说，第 k行的元素，也就是于是aknaij akj , 于是aknaij akj ,

28、 J -1,2,n, k = i .ana1 nak1ak1 Ai1 akAi2 akn Ain -ak1aak1ann右端的行列式含有两个相同的行，应该为零，这就是说，在行列式中 行的元素与另一行相应元素的代数余子式的乘积之和为零定理3设a1 naa1 na2na2a2122annan1an2Aj表示元素aj的代数余子式，则下列公式成立：ak1 Al1 a.kn Ain;d，当 k = i, 0ak1 Al1 a.kn Ain;d，当 k = i, 0，当k知.ail Al j a2l A2j用连加号简写为naks Aiss 4当k =i在计算数字行列式时,0,士n.asl AsjST；d,

29、当 l = j, 0，当I式j.接应用展开式（6）或（7）不一定能简化计算,只是在行列式中莫一行或莫一列含有较多的零时，应用公式(6)因为把一个n级行列式的计算换成n个（n -1 ）级行列式的计算并不减少 计算量,或（7）才有意义.但这两个公式在理论上是重要的例1计算行列式53-120172520-23100-4-14002350例2行列式a1a2a1a2n -4a1a2a1a2n -4a1a21 1a?an2 . . 2 a3an* *n 4- ?na3an(8)称为n级的范德蒙德（Vandermonde行列式.证明对任意的n （n 2） , n级范 德蒙德行列式等于a1,a2/ ,an这n

30、个数的所有可能的差ai - a j j i - n）的乘积.用连乘号，这个结果可以简写为学习好资料学习好资料更多精品文档更多精品文档学习好资料、课时教学内容第页学习好资料、课时教学内容第页章（节、目）授课计划第页更多精品文档更多精品文档学习好资料、课时教学内容学习好资料、课时教学内容第页更多精品文档更多精品文档小结教学内容小结11 11aia2a3a.a1a2a3an = 口 佝-a）.1勺ndnnjn Ja1a2a3an由这个结果立即得出，范德蒙德行列式为零的充要条件是aa2,an这n个数中至少有两个相等.例3证明aA a1k 0 0 aasa-a11a1k | b11b1 rak1 akk

31、 0 o _ 汀:5Ckbn Dr-uu .：二：幺对akk bnbrrCr1crkbr1brr授课章节名称 Cramer 法则授课时数通过本节的学习，使学生会运用 Gramer法则求线性方程组的解通过本节的学习，要求学生会运用Gramer法则求线性方程组的解教学 重占 八、Gramer法则的应用教学 难占 八、授课章节名称 Cramer 法则授课时数通过本节的学习，使学生会运用 Gramer法则求线性方程组的解通过本节的学习，要求学生会运用Gramer法则求线性方程组的解教学 重占 八、Gramer法则的应用教学 难占 八、Gramer法则的应用教学方法与手段讲授法启发式作业与思考题阅读书上

32、或4 -IV.参考资料.王萼芳：高等代数，高等教育出版社。.田孝贵等：高等代数，高等教育出版社教学 后i己学习好资料学习好资料更多精品文档更多精品文档学习好资料学习好资料更多精品文档更多精品文档、课时教学内容第页小结教学内小结现在应用行列式解决线性方程组的问题.在这里只考虑方程个数与未知量个数相等的情形？定理4如果线性方程组aX +aAX2 + +amXn =bi.&21 Xi+ a22 X2 + +a2nXn =b2.1 +an2X2 +? +annXn =bn的系数矩阵为1 a 12 - ama21aaa21aa22a2na(2)an1那么线性方程组（1）有解,d 斗 A|HO 并且解是唯

33、一解可以通过系数表为d1Xi = dd2X2 d其中djan1那么线性方程组（1）有解,d 斗 A|HO 并且解是唯一解可以通过系数表为d1Xi = dd2X2 d其中dj是把矩阵A中第j列换成常数项 式，即bi,b2,bn所成的矩阵的行列aiia1,j 4 da1,j4fa1n.a21dj=：a2,jab2a2，j 卅aa2n.:,j=1,2)n.(4)an1an,jjbnan,j4fnnann r的行列式定理中包含着三个结论：1）方程组有解；2）解是唯一的；3）解由 公式给出.这三个结论是有联系的，因此证明的步骤是：1.把厝,茧，虫）代入方程组，验证它确是解?d d2?假如方程组有解，证明

34、它的解必由公式给出.1? 十 tnrT fz. T-才,、f 1_*- f. . tnrt t定理4通常称为克拉默法则.学习好资料、课时教学内容第页学习好资料、课时教学内容第页教学内容小结更多精品文档更多精品文档学习好资料章（节、目）授课计划第页学习好资料章（节、目）授课计划第页更多精品文档更多精品文档例1解方程组2x1 + X2 - 5x3 + X4 = 8 ,1 Xi- 3x?- 6X4 = 9,2x? X3 + 2X4=5, %+4X27X3 +6X4 = 0.应该注意，定理4所讨论的只是系数矩阵的行列式不为零的方程组，它只能应用于这种方程组；至于方程组的系数行列式为零的情形，将在 下一

35、章 的一般情形中一并讨论.常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组.显然齐次方程组总是有 解的，因为(0,0, 一 , 0)就是一个解，它称为零解.对于齐次线性方程 组，我们 关心的问题常常是，它除了零解以外，还有没有其它解，或者 说，它有没有 非零解.对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组，应用克拉默法则就有定理5如果齐次线性方程组aX +62X2 +-+amXn = 0, *a2iXi +322X2+a2nXn = 0,1 2niXi+3n2X2 + +3nnXA0(10)的系数矩阵的行列式网H0,那么它只有零解.换句话说，如果方程组(10)有斗 零解，那么必有网=0.例2求入在什

36、么条件下，方程组口凶 + x2 = 0, N + 扎 x2 =0有非零解.克拉默法则的意义主要在于它给出了解与系数的明显关系，这一点 在以 后许多问题的讨论中是重要的.但是用克拉默法则进行计算是不方便 的，因为 按这一法则解一个n个未知量n个方程的线性方程组就要计算 n +1个n级行授课章节名称8 Lap lace /理？行列式的乘法规则授课时 数教学 目的通过本节的学习，使学生了解 Laplace定理？行列式的乘法规则教学 要求通过本节的学习，要求学生了解 Laplace定理？行列式的乘法规则学占、 教重人Laplace aE理教学 难占 八、Laplace aE理教学方法 与 手段讲授法启

37、发式作业与思 考题阅读书目 或4 -IV.参巧资 料.张禾瑞，郝炳新编：高等代数，高等教育出版社。.王萼芳：高等代数，高等教育出版社。.田孝贵等：高等代数，高等教育出版社教学 后i己一、拉普拉斯定理te义9在一个n级行列式d中任意选定k行k列(k 1b22b2nD2 =abnibn2bnn小结学习好资料章（节、目）授课计划第页学习好资料章（节、目）授课计划第页更多精品文档更多精品文档学习好资料章（节、目）授课计划第页学习好资料章（节、目）授课计划第页更多精品文档更多精品文档学习好资料、课时教学内容学习好资料、课时教学内容第页更多精品文档更多精品文档教学内容小结的乘积等于一个n级行列式GlG2C

38、inC21 C22C2nc=:,Cn1cn2cnn其中Cj是Di的第i行元素分别与D2的第j列的对应元素乘积之和： nCj = aiibi j + ai2b2 j +ainbnj =1夫 aikbkj .这个定理也称为行列式的乘法定理.它的意义到第四章3中就完全清楚了.授课章节名称第三章线性方程组消元法授课时 数教学 目的通过本节的学习，使学生掌握方程组的有解判别教学 要求通过本节的学习，要求学生掌握方程组的有解判别学占、 教重人方程组的初等变换、方程组的有解判别教学 难占 八、方程组的有解判别教学方法 与 手段讲授法启发式作业与思 考题阅读书目 或4 -IV.参巧资 料.张禾瑞，郝炳新编：高

39、等代数，高等教育出版社。.王萼芳：高等代数，高等教育出版社。.田孝贵等：高等代数，高等教育出版社教学 后i己学习好资料学习好资料更多精品文档更多精品文档学习好资料学习好资料更多精品文档更多精品文档、课时教学内容第页小结教学内容小结一、线性方程组的初等变换现在讨论一般线性方程组？所谓一般线性方程组是指形式为匕 1 必 +ai2X2 + +a(nXn,a2iXi +a22 X2 +a2nXn,asiXi +as2X2 + +asnXn =bs的方程组，其中xX2,，Xn代表n个未知量，s是方程的个数，aj(i =1,2,s; j =1,2 5，n)称为线性方程组的系数，bj(j =1,2/- ,s

40、)称为常数项.方程组中未知量的个数n与方程的个数s不一定相等.系数aj的第 一个指标i表示它在第i个方程，第一个指标j表示它是Xj的系数.所谓方程组(1)的一个解就是指由n个数ki,k2,kn组成的有序数组(ki,k2,)kn),当X1,X2,，Xn分别用g ,，心代入后，(1)中每个等式都变成恒等式 批程组(1)的解的全体称为它的解集合 楙方程组实际上就 是找出它全部的解，或者说，求出它的解集合 就口果两个方程组有相同的 解集合，它们就称为同解的？显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组就基本上确定了 .确切地说，线性方程组(1)可以用下面的矩阵ana12a21a

41、na12a21a22a1 nb1a2nb2：(2)I as1as2asnbs J来表示殡际上，有了 之后，除去代表未知量的文字外线性方程组(1)就确定了，而米用什么文字来代表未知量当然不是实质性的小中学所学代数里学过用加减消元法和代入消元法解二元、三元线性方程组.实际上，这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性 ？下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组？例如，解方程组、课时教学内容第页小结Nix? + 3x3 = i ,4、课时教学内容第页小结Nix? + 3x3 = i ,4Xi +2X1第二个方程组减去第一个方程的 变成2x2 +5x3 = 4 ,+ x2 + 2x3 = 5.2倍，

42、第三个方程减去第一个方程，就Xi第二个方程减去第三个方程的2即得x? + 3x“i,4x2 -X3 = 2 , 2X2 X3 = 4.倍，把第二第三两个方程的次序互换,2X-i-X2 +3X3 =i,2X2 X3=4,X3 = -6.这样，就容易求出方程组的解为（ 分析一下消元法，不难看出，9, -i, -6）.它实际上是反复地对方程组进行变换,教学内容而所用的变换也只是由以下三种基本的变换所构成:.用一非零数乘某一方程；.把一个方程的倍数加到另一个方程；.互换两个方程的位置 .定义1变换1, 2, 3称为线性方程组的初等变换？二、线性方程组的解的情形消元的过程就是反复施行初等变换的过程 TF

43、面证明，初等变换总是 把方程组变成同解的方程组.下面我们来说明，如何利用初等变换来解一般的线性方程组？对于方程组 ，首先检查xi的系数.如果xi的系数aii,a2i,）asi全为零，那么方程组 对Xi没有任何限制，Xi就可以取任何值，而方程组 （i）可以看作X2,Xn的方程组来解.如果Xi的系数不全为零，那么利用初等学习 好资料、课时教学内容学习 好资料、课时教学内容第页更多精品文档更多精品文档学习 好资料、课时教学内容学习 好资料、课时教学内容第页更多精品文档更多精品文档教学内容变换 3, 可以设 an =0. 利用初等变换2, 分别把第一个方程的-巧倍加aii小结到第i个方程(i = 2,

44、，n).于是方程组(1)就变成ax-ainX =bi,a22X2 ?a2nXnas2X2asnXn 二其中aiia ij aij aij , i = 2 ,s,aii这样，解方程组的问题就归结为解方程组a22X2 * +a2nXn = b2， (4)0s ; X2+a ; nXn =b的问题.显然(4)的一个解，代入(3)的第一个方程就定出Xi的值，这就得出(3)的一个解；的解显然都是 的解.这就是说，方程组(3)有解的充要 条 件为方程组 有解，而与是同解的，因之，方程组 有解的充要 条 件为方程组( 4)有解 .对 (4)再按上面的考虑进行变换，并且这样一步步作下去，最后就得到一个阶梯形方

45、程组.为了讨论起来方便，不妨设所得的方程组为CiiXi - G2X2? CirXrCinXn =di ,C22X2C2rXrC2nXn =d2 ,Crr XrCrn Xa _ dr ,0 二 dr i ,0 = 0,0=0.学习好资料、课时教学内容第页学习好资料、课时教学内容第页教学内容小结更多精品文档更多精品文档学习好资料、课时教学内容学习好资料、课时教学内容第页更多精品文档更多精品文档教学内容小结其中Cii HO,i =12，r方程组中的“ 0-0”这样一些恒等式可能不出现,也可能出现，这时去掉它们也不影响(5)的解.而且与(5)是同解的.现在考虑的解的情况？如(5)中有方程O=dy,而d

46、”HO.这时不管Xi,X2,，Xn取什么值都 不能使它成为等式.故(5)无解，因而(1)无解.当dr +是零或(5)中根本没有“ 0=0”的方程时，分两种情况：1) r =n.这时阶梯形方程组为C11X1 +律 2 + +GnXn =d1 ,Q2X2+ C2n Xn = 2，/厂 (6)Cnidn ,其中Cii H0,i =1,2,，n.由最后一个方程开始，Xn,Xn 4 , X1的值就可以逐个地唯一决定了.在这个情形，方程组(6)也就是方程组(1)有唯一的解.例1解线性方程组2Xix2+3X3=1,4 摧 +2X2 +5X3 = 4 , 2xi +X2 +2X3 =5.2) r v n.这时

47、阶梯形方程组为G1X1 *G2 X2 +*GrXr *G,r 十 Xr 十 +*Gn Xn = d1 )C22X2 +C2rXr +C2,rdtXrA + C2n XA = d 2 ,Crr Xr * G ,r + Xr-h+ Crn Xn = dr,其中Cii H0,i =1,2,r.把它改写成C11 X1 +?2 X2 *C1rXr = d1 - G,r -C1n Xn ,Q2X2 + +C2rXr =d2 - QCX C?nXn ,Crr Xrdr Cr,r+ Xr 中 Gn Xn .由此可见，任给Xq,，Xn 一组值，就唯一地出XX2,Xr的值，也就是定出方程组 的一个解？-般地，由

48、我们可以把Xi,X2,，冷通过Xa,Xn表示出来，这样一组表 达式称为方程 组的一般解，而Xr4,Xn称为一组自由未知里.例2解线性方程组2xi X2 +3X3=1, 4xi 2X2 十 5X3 = 4,2Xi_X2 +4X3 = -1.从这个例子看出，一般线性方程组化成阶梯形，不一定就是（5）的卜子，但是只要把方程组中的某些项调动一下，总可以化成（5）的样子.以上就是用消元法解线性方程组的整个过程.总起来说就是，首先用初等变换 化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的一些恒等式“ 0-0”（如果出现的话）去掉.如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一非零的数，那么方程组无解，否则有解.在有解的

49、情况下，如果阶梯形方程组 中方程 的个数r等于未知量的个数，那么方程组有唯一的解；如果阶梯形方程组中方程的个数r小于未知量的个数，那么方程组就有无穷多个解.定理1在齐次线性方程组匕 1 必 1 +ai2X2 + +ainXn =0,卜 21 花22X2 + +a2nXn =0, I 2 MB 1 +as2X2 + +asnXn =0 中，如果sen,那么它必有非零解.3b3b2bs Ja11a12a1n321a22a2n:：| （10）las1as2asn教学内容小结称为线性方程组（1）的增广矩阵.显然，用初等变换化方程组 （1）成阶梯形就相当于用初等行变换化增广矩阵（10）成阶梯形矩阵胭此，

50、解线性方程组的第一步工作可以通过矩阵来进行，而从化成的阶梯形矩阵就可以判别方程组有解还是无解，在有解的情形，回到阶梯形方程组去解？例3解线性方程组搭-X2 +3X3 = 1,*4% 2x 2 +5X3 =4 ,12X1- X2 +4X3 = 0.解：（略）学习好资料、课时教学内容第页学习好资料、课时教学内容第页教学内容小结更多精品文档更多精品文档学习好资料、课时教学内容学习好资料、课时教学内容第页更多精品文档更多精品文档学习好资料学习好资料更多精品文档更多精品文档章（节、目）授课计划第页授课章节名称 n维向量空间授课时 数教学 目的通过本节的学习，使学生理解 n维向量概念、熟练掌握n维向量的运

51、算。教学 要求通过本节的学习，要求学生理解 n维向量概念、熟练掌握n维向量的运算。学占 一 教重人n维向量概念、n维向量的运算教学 难占 八、n维向量的运算教学方法 与 手段讲授法启发式作业与思 考题阅读书目 或4 -IV.参巧资 料.张禾瑞，郝炳新编：高等代数，高等教育出版社。.王萼芳：高等代数，高等教育出版社。.田孝贵等：高等代数，高等教育出版社教学 后i己教学内容小结定义2所谓数域P上一个n维向量就是由数域P中n个数组成的有 序数 组忌，,an)(1)ai称为向量(1)的分量.用小写希腊字母*B,Y,来代表向量.定义3如果n维向量a =(ai,a2,)an) , P = (bi,b 2,

52、 , bn) 的对应分量都相等，即ai =b(i =1,2,n).就称这两个向量是相等的，记作 a =P .n维向量之间的基本关系是用向量的加法和数量乘法表达的定义4向量Y =(a i +bi,a2 +b2,)an +bn)称为向量=(ai , a2， an ) , B = (b1 ,b2， bn )的和，记为Y =CL+ P由定义立即推出：交换律：O + P = P +? .(2)结合律：G +Y) = 0 + 0)+Y. (3)定义5分量全为零的向量(0,0, ,0)称为零向量，记为0；向量(-印,-82，-an)称为向量口 二佝| 2,an)的负向量，记为-口 .显然对于所有的a,都有a

53、+0=a.(4)a + ( _? ) = 0 .(2) (5)是向量加法的四条基本运算规律.定义 6 a - P =a + (-B)/义7设k为数域P中的数，向量(kaka2,.2)称为向量a =(a a，an)与数k的数量乘积，记为ka由定义立即推出： TOC o 1-5 h z k(a + P) = ka + kP ,(6)(k + l)a = ka +1a,(7)k(|o()=(kl)ot,(8)但=a .(9)(6) (9)/E关于数量乘法的四条基本运算规则.由(6) (9)或由/ 乂不难推 出：8=0,(10)(_1)a = -a ,(11)k0 = 0.(12)如果k式0 , a式

54、0,那么kaA0.(13)定义8以数域P中的数作为分量的n维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为数域 P上的n维向量空间.在n-3时，3维实向量空间可以认为就是几何空间中全体向量所成的空间.以上已把数域P上全体n维向量的集合组成一个有加法和数量乘法的代数结构，即数域P上n维向量空间.向量通常是写成一行：=/口 1 /忌,an).教学内容小结有时也可以写成一列：a2 Ct = .?J为了区别，前者称为行向量，后者称为列向量。它们的区别只是写法上的不同.学习好资料学习好资料更多精品文档更多精品文档学习好资料学习好资料更多精品文档更多精品文档授课章节名称线性相关性授课时 数教学

55、 目的通过本节的学习，使学生能熟练掌握线性相关性的判定、极大线性无关组及向量组的秩。教学 要求通过本节的学习，要求学生能熟练掌握线性相关性的判定、极大线性无关组及向量组的秩。学占 一 教重人线性组合、向量组等价、线性相关 （无关）等一些基本概念、线性相关性 的判定、极大线性无关组及向量组的秩。教学 难占 八、求极大线性无关组及向量组的秩、论证向量组的等价。教学方法 与 手段讲授法启发式作业与思 考题阅读书目 或4 -IV.参巧资 料.张禾瑞，郝炳新编：高等代数，高等教育出版社。.王萼芳：高等代数，高等教育出版社。.田孝贵等：高等代数，高等教育出版社教学 后i己第页章（节、目）授课计划章（节、目

56、）授课计划、课时教学内容第页教学内容小结一般向量空间除只有一个零向量构成的零空间外，都含有无穷多个向量，这些向量之间有怎样的关系，对于弄清向量空间的结构至关重要一、线性相关与线性无关两个向量之间最简单的关系是成比例 ？所谓向量与成比例就是说有一数k使定义9向量称为向量组r2,_s的一个线性组合，如果有数域P中的数ki,k2,ks,使- k1-k2：（1ks :s,其中ki,k2,）ks叫做这个线性组合的系数.例如,任一个n维向量：=（a “2, ,an）都是向量组乜二（1,0,，0）,;2 = （0,1,，0） ,（1）;n = （0,0, 的一个线性组合.向量；1, ； 2,，；n称为n维单

57、位向量.零向量是任意向量组的线性组合.当向量是向量组 伍空，尸的一个线性组合时，也说可以经向量组1,-2/-s线性表出.定义10如果向量组i2,t中每一个向量：r （i =1,2,，t）都可以经 向量组？匕，-s线性表出，那么向量组1,2, s,那么向量组G卷，必线性相关.推论1如果向量组,0( 2,，可以经向量组 优，打，Bs线性出，且ct 1,巴，线性无关，那么r兰s.推论2任意n+1个n维向量必线性相关.推论3两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量.定理2的几何意义是清楚的：在三维向量的情形，如果 s=2,那么可以由向量宫足 线性表出的向量当然都在 叫，P 2所在的平面上，因而

58、这些向量是共面的，也就是说，当r2时，这些向量线性相关.两个向量组WM与片，P2等价，就意味着匕们在同|面上.教学内容小结教学内容小结:、极大线性无关组定义13 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这学习 好资料、课时教学内容学习 好资料、课时教学内容第页更多精品文档更多精品文档学习 好资料、课时教学内容学习 好资料、课时教学内容第页更多精品文档更多精品文档小结教学内容小结个部分组本身是线性无关的，并且从这个向量组中任意添一个向量( 如果 TOC o 1-5 h z 还有的话 ) ，所得的部分向量组都线性相关?一个线性无关向量组的极大线性无关组就是这个向量组本身.极大线性无关组的一

59、个基本性质是，任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价?例 4 看 P3 的向量组：1 =(1,0,0)/- 2 =(0,1,0)/人(1,1,0)在这里 : 1/,2 线性无关，而3=； ： 1*2,所以1,2是一个极大线性无关组祝一方面，%口3 , 2 2, 口 3也都是向量组 SSS 的极 大线性无关组?由上面的例子可以看出，向量组的极大线性无关组不是唯一的?但是每一个极大线性无关组都与向量组本身等价，因而，一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的?定理3 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量定理3 表明，极大线性无关组所含向量的个数与极大线性无关组的选择无关，它直接反映了向量

60、组本身的性质?因此有定义14向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组 的秩?一向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含向量的个数相同?每一向量组都与它的极大线性无关组等价?由等价的传递性可知，任意两个等价向量组的极大线性无关组也等价?所以，等价的向量组必有相同的秩?含有非零向量的向量组一定有极大线性无关组，且任一个线性无关的部分向量都能扩充成一极大线性无关组?全部由零向量组成的向量组没有极大线性无关组?规定这样的向量组的秩为零?现在把上面的概念与方程组的解的关系进行联系，给定一个方程组学习好资料、课时教学内容学习好资料、课时教学内容第页更多精品文档更多精品文档学习好资料、课时教学内容