广东省惠州市博罗县杨村中学2023年高三数学理模拟试题含解析

1、广东省惠州市博罗县杨村中学2023年高三数学理模拟试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A（1，1）B（1，1）CD参考答案：A考点： 复数的代数表示法及其几何意义专题： 数系的扩充和复数分析： 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案解答： 解：=，复数对应的点的坐标为（1，1），故选：A点评： 本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题2. .函数的图象大致为（ ） 参考答案：A3. 已知点P的坐标（x，y）满足，过点P的直线l与圆C：x

2、2+y2=16相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）ABCD参考答案：A【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，画出以原点为圆心，半径是4的圆，利用数形结合即可得到在哪一个点的直线与圆相交的弦最短【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图由图象可知，当P点在直线x=1与x+y=4的交点时，与圆心距离最远，作出直线与圆相交的弦短P的坐标为（1，3），圆心到P点距离为d=，根据公式|AB|=2，可得：|AB|=2故选：A4. 如图所示，线段BD是正方形ABCD的一条对角线，现以BD为一条边，作正方形BEFD，记正方形ABCD与BEFD的公共部分为（如图中阴影部分所示），则往五边

3、形ABEFD中投掷一点，该点落在内的概率为（ ）A. B. C. D. 参考答案：B【分析】五边形ABEFD的面积，阴影的面积为，得到概率.【详解】不妨设，故五边形ABEFD的面积，阴影的面积为，故所求概率为，故选：B【点睛】本题考查了几何概型，意在考查学生的计算能力和应用能力.5. 已知点P是曲线上一动点，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的最小值是 （ ）A0 B C D参考答案：D6. 要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）向左平移个单位 向右平移个单位向左平移个单位 向右平移个单位参考答案：B7. 已知复数满足，则（ ）A. B. C. D. 参考答案：B【分析】根据复数的运算法则计算

4、，即可写出共轭复数.【详解】因为，所以，故，故选：B【点睛】本题主要考查了复数的运算法则，共轭复数的概念，属于容易题.8. 设、表示两条不同的直线，、表示两个不同的平面，下列命题中真命题是 ( ) A若，则B若C若D若参考答案：C9. 如图为某个容量为100的样本的频率分布直方图，分组为104，106，则在区间上的数据的频数为 A0.1 B0.2 C20 D10参考答案：10. 若，满足约束条件，则的最小值是（ ）A B C D参考答案：A作出不等式组所表示的平面区域，如下图：由图可知当直线经过点C（0，3）时，故选A考点：线性规划二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某日

5、中午12时整，甲船自A处以16km/h的速度向正东行驶，乙船自A的正北18km处以24km/h的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船之间距间对时间的变化率是 .km/h.参考答案：答案：1.612. 命题“若、都是偶数，则是偶数”的逆命题是 参考答案：【知识点】四种命题A2若是偶数，则、都是偶数 解析：“若a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆命题是：“若a+b是偶数，则a、b都是偶数”，故答案为：若a+b是偶数，则a、b都是偶数【思路点拨】命题“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”13. 已知函数是函数的反函数，则= (要求写明自变量的取值范围)参考答案：14. 在如右图所示的程序框图中，

6、当程序被执行后，输出的结果是 参考答案：286略15. 如图4， 是以为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形内”，B表示事件“豆子落在扇形（阴影部分）内”，则（1）；（2）参考答案：(1)；(2)本题考查几何概型，条件概率公式同时考查圆面积和正方形面积的计算，难度中等。（1）圆的面积为，圆内接正方形面积为所以。（2）扇形区域OHE的面积为，所以,，则,所以。16. 若且是第二象限角，则 .参考答案：【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/三角比/任意角的三角比.【试题分析】因为

7、是第二象限角，所以，所以，故答案为.17. 已知函数（0）的图像与y轴交与P，与x轴的相邻两个交点记为A，B，若PAB的面积等于，则 ；参考答案：，即.。PAB的面积等于，即，所以。三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 为选拔选手参加“中国诗词大会”，某中学举行一次“诗词大赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计.按照50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在50,

8、60)，90,100的数据）.（1）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“中国谜语大会”，设随机变量X表示所抽取的2名学生中得分在80,90)内的学生人数，求随机变量X的分布列及数学期望.参考答案：解:（1）由题意可知，样本容量，； （2）分数在内的学生有人， 分数在内的学生有人， 抽取的2名学生中得分在的人数X可能取值0，1，2， 则， ，则的分布列为012所以19. 已知函数f（x）=exax（e自然对数的底数）（1）求f（x）的单调区间；（2）讨论关于x的方程f（x）=a的根的个数；（3）若a1，当

9、xf（x）x3x2+3ax1+m对任意x0，+）恒成立时，m的最大值为1，求实数a的取值范围参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）f（x）=exa，对a分类讨论，即可得出函数f（x）的单调区间（2）由（1）可得：对a分类讨论，利用其单调性即可得出：方程f（x）=a的根的个数（3）a1时，xf（x）x3x2+3ax1+m，化为：x（exax）x3+x23ax+1m，令g（x）=x（exax）x3+x23ax+1，x0，+）g（x）=（1+x）ex3（x+a），令h（x）=ex3（x+a），可得h（x）=ex3，可得：函数h（x）存在唯一零点x0令g

10、（x）=0，可得=3x0+3a利用g（x0）1，化为：a3，即可得出【解答】解：（1）f（x）=exa，当a0时，f（x）0，此时函数f（x）在R上单调递增当a0时，令f（x）=0，解得x=lna则x（，lna）时，此时函数f（x）单调递减；x（lna，+）时，此时函数f（x）单调递增综上可得：当a0时，函数f（x）在R上单调递增当a0时，函数f（x）的单调递减区间是（，lna）；函数f（x）单调递增区间是lna，+）（2）由（1）可得：当a0时，函数f（x）在R上单调递增x+时，f（x）+；x时，f（x）因此此时方程f（x）=a的根的个数为1a=0时，f（x）=ex0，此时方程f（x）=a的

11、根的个数为0当a0时，函数f（x）的单调递减区间是（，lna）；函数f（x）单调递增区间是lna，+）可得函数f（x）的极小值即最小值为：f（x）min=f（lna）=aalna，因此a=1时，f（x）min=f（0）=1，此时方程f（x）=a的根的个数为1a1时，f（x）min=f（lna）=aalnaa，此时方程f（x）=a的根的个数为20a1时，f（x）min=f（lna）=aalnaa，此时方程f（x）=a的根的个数为0综上可得：当a0时，此时方程f（x）=a的根的个数为1a=0时，此时方程f（x）=a的根的个数为0当a0时，a=1时，此时方程f（x）=a的根的个数为1a1时，此时方程

12、f（x）=a的根的个数为20a1时，此时方程f（x）=a的根的个数为0（3）a1时，xf（x）x3x2+3ax1+m，化为：x（exax）x3+x23ax+1m，令g（x）=x（exax）x3+x23ax+1，x0，+）g（x）=（1+x）ex3（x+a），令h（x）=ex3（x+a），可得h（x）=ex3，因此当x=ln3时，h（x）取得极小值，即最小值，h（ln3）=33（ln3+a）0，且h（0）=13a0；x+时，h（x）+因此函数h（x）存在唯一零点x0，令g（x）=0，可得=3x0+3a可得：当x=x0时，函数g（x）取得极小值，即最小值g（x0）=x0+3ax0+11，化为：a3

13、，其中x0满足： =3x0+3a【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值并且研究方程的根的个数、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题20. （10分）（2015?洛阳三模）已知f（x）=|x+l|+|x2|，g（x）=|x+1|xa|+a（aR）（）解不等式f（x）5；（）若不等式f（x）g（x）恒成立，求a的取值范围参考答案：考点： 绝对值不等式的解法 专题： 不等式的解法及应用分析： （）f（x）=|x+l|+|x2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，而2 对应点到1和2对应点的距离之和正好等于5，3对应点到1和2对应点的距离之和正好等于5，

14、从而得到不等式f（x）5的解集（）由题意可得|x2|+|xa|a 恒成立，而|x2|+|xa|的最小值为|2a|=|a2|，故有|a2|a，由此求得a的范围解答： 解：（）f（x）=|x+l|+|x2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，而2 对应点到1和2对应点的距离之和正好等于5，3对应点到1和2对应点的距离之和正好等于5，故不等式f（x）5的解集为2，3（）若不等式f（x）g（x）恒成立，即|x2|+|xa|a 恒成立而|x2|+|xa|的最小值为|2a|=|a2|，|a2|a，（2a）2a2，解得a1，故a的范围（，1点评： 本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化数学

15、思想，属于中档题21. 在ABC中，AB=6，AC=3， ?=18（1）求BC的长；（2）求tan2B的值参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算【分析】（1）根据向量积的运算由?=18可得AB?AC?cosA=18，利用余弦定理可求BC的长度（2）方法1：利用余弦定理求解cosB和sinB，可得tanB，在利用二倍角公式求tan2B方法2：利用正弦定理求sinB，在求cosB，可得tanB，在利用二倍角公式求tan2B【解答】解：（1）由?=18可得AB?AC?cosA=18，AB=6，AC=3cosA=，0A，A=由余弦定理可得：BC=；（2）方法1：由（1）可得：a=3，b=3，c=6，可得：cosB=那么sinB=tanB=故得tan2B=方法2：由（1）可得：cosA=，A=那么：a=3，b=3，c=6，那么sinA=正弦定理可得：，可得sinB=，那么：cosB=tanB=故得tan2B=22. （本小题满分12分）已知双曲线的两个焦点为 在曲线C上. （）求双曲线C的方程； （）记O为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若OEF的面积为求直线l的方程参考答案：()解法1：依题意，由a2+b2=4，得双曲线方程为（0a24，将点（3，）代入上式，得.解得a2=18（舍去）或a22，故所求双曲线方程为 4分解