数值分析7-向量范数与矩阵范数课件

1、Hilbert矩阵的病态性向量范数与矩阵范数矩阵的条件数定位问题的条件数数值分析7Hilbert矩阵的病态性数值分析7引例. Hilbert矩阵的病态性方程组 Ax=b1 的解为x1方程组 Ax = b 的解为 xx x1= -2.4 27.0 -64.8 42.0 T2/18数据计算结果引例. Hilbert矩阵的病态性方程组 Ax=b1 A=hilb(4); b=1;2;1.41;2;b1=b;b1(3)=b1(3)+.01;x=Ab;x1=Ab1;error=x-x1;format short ex, x1, errorans = -1.6560e+002 -1.6320e+002 -2

2、.4000e+000 1.8330e+003 1.8060e+003 2.7000e+001 -4.4232e+003 -4.3584e+003 -6.4800e+001 2.8980e+003 2.8560e+003 4.2000e+001数值试验程序3/18A=hilb(4); b=1;2;1.41;2;ans 定义3.1 设 Rn是n维向量空间,如果对任意xRn,都有一个实数与之对应,且满足如下三个条件: (1)正定性: |x|0,且|x|=0 x = 0 ;(2)齐次性: 为任意实数(3)三角不等式: ( y Rn )则称|x|为向量x的范数 .注:向量范数是向量长度概念的推广.例如是

3、向量 x 的范数4/18定义3.1 设 Rn是n维向量空间,如果对任意xRn,都有常用的范数:例1. 证明 |x|2 是 Rn 上的一种范数先证明柯西不等式: | xTy | |x|2| y|2对任意实数, 有(x - y)T(x - y)0 xTx 2xTy + 2yTy 0| xTy |2 (xTx)(yTy) 0 | xTy | |x|2| y|2判别式5/18常用的范数:例1. 证明 |x|2 是 Rn 上的一(三角不等式成立)(正定性成立)(齐次性成立)6/18(三角不等式成立)(正定性成立)(齐次性成立)6/18例2. 范数意义下的单位向量: X=x1, x2T1-11|X|1 =

4、 111-1-1|X|2 = 1-111-1-1|X| = 17/18例2. 范数意义下的单位向量: X=x1, x2T1-例3. 设x=(x1, x2, , xn)T,证明证明: 所以思考:8/18例3. 设x=(x1, x2, , xn)T,证明证定义3.2 对 A Rnn ,存在实数|A|满足: 则称 |A| 是矩阵 A 的一个范数. (1)正定性: |A|0,且|A|=0 A = 0 ;(2)齐次性: 为任意实数(3)三角不等式: ( B Rnn )(4)相容性: Frobenius范数9/18定义3.2 对 A Rnn ,存在实数|A|满足:矩阵算子范数的概念设 |x|是Rn上的向量

5、范数,ARnn,则A的非负函数称为矩阵A的算子范数注1:矩阵的算子范数由向量范数所导出, 如注2:算子范数满足相容性其中, A Rnn ,x Rn10/18矩阵算子范数的概念设 |x|是Rn上的向量范数,ARn“1-范数”(列和范数) 无穷大范数(行和范数 )例 ,X=-3 5T, 求A、X的“1-范数”,“2-范数”和“无穷大范数”11/18“1-范数”(列和范数) 无穷大范数(行和范数 )例 1 = 26.1803, 2 = 3.819712/181 = 26.1803, 2 = 3.819712/18矩阵的条件数概念 方程组 Ax = b, 右端项 b 有一扰动引起方程组解 x 的扰动设

6、 x 是方程组 Ax = b 的解,则有化简,得由 Ax = b 得 所以13/18矩阵的条件数概念 方程组 Ax = b, 右端项 b定义条件数: Cond(A) = |A1 |A| 或 C(A) = |A1 |A|当条件数很大时,方程组 Ax = b是病态问题;当条件数较小时,方程组 Ax = b是良态问题注:14/18定义条件数: Cond(A) = |A1 |A|类似,设方程组 Ax = b,矩阵A 有一扰动 时,将引起方程组解x的扰动设 x 是方程组 Ax = b 的解,则有化简,得取范数15/18类似,设方程组 Ax = b,矩阵A 有一扰动 阶数 4 5 6 条件数1 19.4105 2.9107 9.8108条件数2 1.5104 4.7105 1.4107条件数 9.4105 2.9107 9.8108A famous example of a badly conditioned matrix16/18阶数 4 定位问题的条件数|A| = (x2 x1)(y3 y1)