《分式与分式方程》复习指导

1、PAGE12分式与分式方程复习指导知识结构梳理知识点精讲分式及相关概念：如果A，B分别表示两个整式，并且分母B中含有字母，那么式子就叫分式2、当分式的分母等于零时，分式无意义，当分式的分母不等于零寸，分式有意义，当分子等于零且分母不等于零时，分式的值为零3、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，其值不变例如由分式一定可以变形为但由分式就不一定变形为，这是因为分式的分母，一定有而a是分子，有可能等于04、分式的约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分如果一个分式的分子或分母没有公因式，则该分式叫做最简分式5、分式的通分：把几个异分母的分式化

2、为与原来相等的同分母的分式的过程称为分式的通分分式通分的关键是确定几个分式的最简公分母，找最简公分母要注意以下几点：各分母所有因式的最高次幂指凡出现的字母或含字母的式子为底数的幂的因式选取指数最大如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数难点：正确理解分式的概念，在分式的分子与分母同时乘以或除以整式A时，应首先判断A是否为0，分子、分母中的系数都是分数（或小数）时，要把分式化简，都是分数时，应把分子、分母都乘以分子、分母中各系数分母的最小公倍数如，分子、分母中的系数都是小数时，应把分子、分母都乘以可使系数互质的整数如6、分式的乘法法则：用分子相乘的积作为积的分子

3、，用分母的积作为积的分母分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子、分母颠倒位置后，再与被除式相除7、分式的加减法则：同分母分式的加减，分母不变，分子相加减；异分母分式的加减，先通分，化成同分母分式，然后再加减8、分式的混合运算分式的混合运算的运算顺序与分数类似，先乘方，再乘除，最后算加减，遇到括号，应先算括号内的，后算括号外的，同级运算，从左到右，依次运算，如果能用公式或运箅律运算，可先用公式或运箅律运算9、分式方程：分母中含有末知数的方程，叫做分式方程10、分式方程的解法步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验因为分式方程可能产生增根，所以解分式方程最后一步“检验”，检查所

4、解整式方程的根到底是不是分式方程的根产生增根的原因：（1）解方程出现增根，这是一个新问题，事实上，对于分式方程，当分式中分母的值为零时没有意义所以分式方程不允许末知数取那些使分母的值为零的值即分式方程本身隐含着分母不为零这一条件，当我们通过去分母把分式方程转化为一元一次方程时，这种限制被取消了，于是就可能出现使原分式方程的分母为零的根，即“增根”（2）验根的方法，因为解分式方程可能出现增根，所以验根是必要的，验根的方法有两种，一种是把求得的未知数的值代入原方程进行检验，这种方法道理简单，而且可以检查解方程时有无计算错误，另一种是把求得的末知数的值代入最简公分母，看分母的值是否为零，这种方法比较

5、简便，但不能检查解方程过程中出现的计算错误11、列分式方程解应用题的方法步骤（1）审：分析问题，寻找已知、未知及相相等关系，（2）设：设恰当的未知数（3）列：根据相等关系列出分式方程（4）解：求出所列方程的解（5）验：首先检验所求的解是不是分式方程的解，然后检验所求的解是否与实际符合（6）答：写出答案要点点拨1、在理解分式的概念时，不要轻易约分判断一个式子是否为分式，应在对式子不约分的基础上看分母中是否含有字母，例如，是分式，若把化为后，再把判断它不是分式就错了在确定分式有无意义的条件时，也不能约分后求解例如，当为时，分式有意义，若把它划为后，解得时原分式有意义，得出的结果是错误的，因为当时，

6、也无意义，这样就容易造成“漏解”分式运算时注意三点注意运算顺序，例如，计算，应按照同一级运算从左到存依次计算的法则进行通分时不能丢掉分母，例如，计算，有的同学通分时消去分母，出现了这样的解题错误：原式=这一点要引以为戒最后的运算结果应化为最简分式四、数学思想方法总结类比思想：通过两个或两类研究对象进行比较，找出它们之间某些属性的相同点或相似焱，依次为依琚推测它的其他属性这种推理方法称为类比例如：同分数进行类比研究，有助于对分式有关知识的发生，发展过程的理解，如分式的意义，四则运算，通分，约分等转化思想：就是设法把待解决的问题通过某种转化归结到一类己经斛决或容易解决的问题，最终获得解原题的一种手

7、段或方法例如：通常把分式方程通过去分母转化为一元一次方程体现了转化的数学思想数学建模思想：是运用数学知识解决实际问题，首先要经过观察分析，把实际问题转化为数学问题，通过对数学问题的求解，来解释原来的现实世界中的某些现象例如列分式方程解应用题，其核心在于将实际问题中的数量关系抽象成分式，即建立数学模型，并合理转化为分式方程的问题，从而达到解决实际问题的目的五、常见考点透视考点1：考查分式有意义的条件例1、河南使分式有意义的的取值范围为（）ABCC分析：对分式的概念，中考主要考查分式中字母取什么值时有意义、无意义和值为零的问题当B0时，分式有意义；当B=0时，分式无意义；当A=0且B0时，分式=0

8、由此，依题意应选B点评：若分式有意义，则分母一定不等于零，若分式的分母等于0，则分式无意义考点2：考查分式的基本性质例2、无锡化简分式的结果为（）分析：根据分式的分子与分母都乘以或除以同一个不等于零的整式，分式的值不变这一性质，=故应选A点评：在应用分式的基本性质解题时，要特别注意性质中都和同这两个字的含义，有不少同学解这类问题时，忽视这一点，犯上述不该犯的错误，望引起重视考点3：考查条件求值例3、（1）（江苏）己知实数满足则代数式的值为（2）（江苏扬州）先化简然后请你给a选取一个合适的值，再求此时原式的值析解：（1）仔细观察考题不难形成两种解题通道，一是从条件入手，通过变形得从而有（注意理解

9、这里的）二是从所术代数式入手即（2）化简得原式=a2，且任取和以外的数为值如取a=3原式=a2=5点评：（1）寻找规律简化运算是合理计算、合理推理的必然要求（2）求值具有开放性，自取的值必须使原每个分式都有意义考点4、考察分式的运算分式的运算主要包括分式的计算、化简与求值这些需要应用较多的基础知识，解题方法多样，有的变形极易混淆，故特别要注意每步运算的根据，选择合理的运算途径，严格依据运算法则、顺序和运算性质进行例4、1（北京）计算：2（绵阳）化简：，并指出的取值范围分析：1应注意运算顺序和乘法公式的运用，通分时不能忽略分数线的括号作用；2需按要求先化简，再求值，化简时可先将括号里通分运算后再

10、做乘法，也可由其特点运用运算律直接做乘法约分化简解:1原式=解：2原式=，的取值范围是2且1的实数例5（荆门）先化简，再求值：（）3（）22，其中a=，b=分析：分式乘方与乘除的混合运算，一般情况下先算乘方，再算乘除，并把除法统一改为乘法，以便同时进行约分利用分式的乘除运算先化简原式，再代入化简后的式子求值解：（）3（）22当a=，b=时，原式=6考点5：考查解分式方程例6、解下列方程：析解：先确定最简公分母，再两边同乘以最简公分母，将原方程化为整式方程，求出根并检验即可原方程即为方程两边同乘以（-2），去分母，得：3-5=2（-2）-（十1）整理，得=0检验：当=0时，-20所以=2是原方程

11、的根例7、（南充）用换元法解方程，可设y=，则原方程化为关于y的整式方程是_分析：应注意配方法和整体思想的运用，即解：设y=，则原方程化为y-2y=4，即应填y2y-6=O点评：去分母的关键是找出最简公分母，将分式方程转化为整式方程，但还应注意：（1）灵活运用分式符号法则，有时将能使最简分母更简单，（2）方程两边同乘以最简公分母时，别忘了常数项相乘（3）当去分母时，分数线消失，应在分子部分添上括号，并且要特别注意符号考点6：考查列分式方程解应用题例8（泰安）某书店老板去图书批发市场购买某种图书第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价

12、已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书数量比第一次多10本当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）若赔钱，赔多少若赚钱，赚多少析解：设第一次购书的进价为元，则第二次购书的进价为元根据题意得：解得：经检验是原方程的解所以第一次购书为（本）第二次购书为（本）第一次赚钱为（元）第二次赚钱为（元）所以两次共赚钱（元）答：该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了520元例9（日照市）今年4月18日，我国铁路实现了第六次大提速，这给旅客的出行带来了更大的方便例如，京沪线全长约1500公里，第六次提速后，特快列车运行全程

13、所用时间比第五次提速后少用小时已知第六次提速后比第五次提速后的平均时速快了40公里，求第五次提速后和第六次提速后的平均时速各是多少析解：设第五次提速后的平均速度是公里/时，则第六次提速后的平均速度是（40）公里/时根据题意，得：=，去分母，整理得：24032000=0，解之，得：1=160，2=200，经检验，1=160，2=-200都是原方程的解，但2=2000，不合题意，舍去=160，40=200答：第五次提速后的平均速度为160公里/时，第六次提速后的平均速度为200公里/时点评：列分式方程解情景应用问题是中考常考的热点问题首先要弄清题意，找到等量关系，再根据题意，正确地列出方程，注重解题过程中的检验，不可忽略考点7：探索创新应用例10（舟山）给定下面一列分式：，其中01把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律2根据你发现的规律试写出给定的那列分式中的第7个分式分析：通过观察可以看到第二个分式除以第一个分式等于，第三个分式除以第二个分式等于，以此类推，可得出规律解：（1）规律是任意一个分式除以前面的分式恒等于（2）第7个分式应该是例11（邵阳市）对于试题：“先化简，再求值：，其中=2”