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1、2 函数的幂级数展开2 函数的幂级数展开一、泰勒级数上节例题存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数问题:1.如果能展开, 是什么?2.展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数?一、泰勒级数上节例题存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数证明证明泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次,得泰勒系数泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次,得泰勒系数问题定义泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?不一定.问题定义泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?不一定.可见在x=0点任意可导,可见在x=0点任意可导,证明必要性证明必要性充分性充分性证明证明二、函数展开成幂级数1.直接法(泰勒级数法)步骤:二、函数展开

2、成幂级数1.直接法(泰勒级数法)步骤:例1解由于M的任意性,即得例1解由于M的任意性,即得例2解例2解例3解例3解数学分析第十四章幂级数2课件两边积分得两边积分得即牛顿二项式展开式注意:即牛顿二项式展开式注意:双阶乘双阶乘2.间接法根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式.例如2.间接法根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 数学分析第十四章幂级数2课件例4解例4解数学分析第十四章幂级数2课件三、小结1.如何求函数的泰勒级数;2.泰勒级数收敛于函数的条件;3.函数展开成泰勒级数的方法.三、小结1.如何求函数的泰勒级数;2.泰勒级数收敛于函数的条思考题什么叫幂级数的间接展开法？思考题什么叫幂级数的间接展开法？思考题解答 从已知的展开式出发, 通过变量代换、四则运算或逐项求导、逐项积分等办法,求出给定函数展开式的方法称之.思考题解答 从已知的展开式出发, 通过变量代换

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