空间向量与立体几何知识点归纳总结

1、22 AABC的五心:ABAC内心P：内切圆的圆心，角平分线的交点。AP=,(+)(单位向量)IABI門外心P：外接圆的圆心，中垂线的交点。PA=PB外心P：外接圆的圆心，中垂线的交点。垂心P：高的交点：PA-PB=PA-PC=PB-PC(移项，内积为0,则垂直)1重心P：中线的交点，三等分点(中位线比)AP=3(ABAC)中心：正三角形的所有心的合一。(4)模长公式：右a=(a,a,a)，b=(b,b,b)，123123a2+a2+a2a2+a2+a2,|bbb=,b2+b2+b2123123abab+ab+ab(5)夹角公式：coib二“g亠_IaI费aa2+a:b2+b2+b212312

2、3AABC中ABAC0A为锐角ABAC(1)空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作OA=a，OB=b，则ZAOB叫做向量a与b的夹角，记作a，b;且规定a，b兀，显然有a,b=b,a;右叫做a,b的数量积，j己,作ab，即ab=IaIIbIcos空间向量数量积的性质：_(5)空间向量数量积运算律：(,a)-b=九(；b)=a-(Xb)。a、b=ba(交换律(5)空间向量数量积运算律：(,a)-b=九(；b)=a-(Xb)。a、b=ba(交换律)。a(b+c)=ab+ac(分配律)。不满足乘法结合率：(ab)c丰a(b斗尸二.空间向量与立体几何1.线线平行o两线的方向

3、向量平行1线面平行线的方向向量与面的法向量垂直2面面平行两面的法向量平行2线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直1线面垂直线与面的法向量平行2面面垂直两面的法向量垂直3线线夹角0（共面与异面）0。,90o两线的方向向量n,n的夹角或夹角的补角，12cos0cosn1,n2,1线面夹角00o,90。:求线面夹角的步骤：先求线的方向向量AP与面的法向量n的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角.sin0cosAP,n2面面夹角（二面角）00o,180o:若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量n1,n的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.12

4、cos0士cosn,n,12点面距离h:求点p（x,y）到平面a的距离：在平面a上去一点Q（x,y），得向量PQ；00计算平面a的法向量n；.hI矿/恳一n1线面距离（线面平行）：转化为点面距离2面面距离（面面平行）：转化为点面距离【典型例题】1基本运算与基本知识（）例1.已知平行六面体ABCDAbcd，化简下列向量表达式标出化简结果的向量。ABBC；ABADAAf；ABAD1CC；1（ABADAA）。23例2.对空间任一点O和不共线的三点A,B,C，问满足向量式：OPxOA+yOB+zOC（其中x+y+z=1）的四点P,A,B,C是否共面？例3已知空间三点A（0，2，3）,B（-2,1,6）

5、,C（1,-1,5求以向量AB,AC为一组邻边的平行四边形的面积S;若向量a分别与向量AB,AC垂直，且la1=3，求向量a的坐标。基底法（如何找，转化为基底运算）坐标法（如何建立空间直角坐标系，找坐标）几何法例4.如图，在空间四边形OABC中,OA8，AB=6，AC=4，BC=5，,OAC=45，,OAB60，求OA与BC的夹角的余弦值。一说明：由图形知向量的夹角易出错，如135易错写成45，切记!例5.长方体ABCD-ABCD中,AB=BC=4,交点，又AF丄BE，求长方体的高BB。【模拟试题】已知空间四边形ABCD，连结AC,BD，设M,G分别I是BC,CD的中点，化简下列各表达式，并标

6、出化简结果向量：（1）ABBCCD；（2）AB1（BDBC）；AG-1（ABAC）。22已知平行四边形ABCD,从平面ac外一点o引向量。OE，kOAOF，kOBOG，kOCOH，kOD。（1）求证：四点E,F,G,H共面；（2）平面AC/平面EG。如图正方体ABCD-ABCD中，BE，DF，1AB，求BE与DF所成角的余弦。1111111141111已知平行六面体ABCD-ABCD冲，AB，4,AD，3,AA，5,BAD，90，BAA，DAAr，60，求AC的长。o参考答案(1)1.解：如图,(1)(2)AB+BC+CD=AC+CD=AD；(2)X/：,:XAB+1(BD+BC)=AB+1B

7、C+1BD。222=AB+BM+MG=AG；2.AG_2(AB+AC)=AG-AM=MG。2.解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，：AC=AB+AD，EG二OGOE，二k-OC，k-OA=k(OC，OA)二kAC二k(ABAD)=k(OBOAODOA)=OFOEOHOE=EF+EH:E,F,G,H共面；(2)解：TEF=OF-OE=k(OB-OA)=kAB，又:EGk，AC丿EF/AB,EG/MC。所以，平面AC/平面EG。3.解：不妨设正方体棱长为1，建立空间直角坐标系O-xyz，则B(1,1,0)，E(1,3,1)，D(0,0,0)，F(0，1,1)，141411-be=(0,-,1)，DF=(0,1)，1414BEBE=DF=1117415-BE1-DF1=00+(，44)+11=164.cosBE,DF=11161617分析：AB=4.cosBE,DF=11161617分析：AB=(，令-1,3),AC=(1,3,2),co/BACAB-ACIABIIACI.ZBAC=60，S=IABIIACIsin60=73TOC o 1-5 h z(2)设a=(X，y,，Z)，贝Ha丄ABn-2x+3z=0,a丄ACnx-32z=0,IaI=3nx2+y2+z2=3-解得x=y