高考中含参数线性规划问题专题(学生版)

1、 / 9高考中线性规划专题纵观近几年高考试题，线性规划问题是每年的必考内容。 题型 多以选择题、填空题出现，它是直线方程在解决实际问题中的运用， 特别是含参数线性规划问题，与数学中的其它知识结合较多，题目灵 活多变，要引起高度重视.近三年全国卷是这样考x 1 01.（2015 新课标全国卷I理科T15）若x,y满足约束条件x y 0 则上的最大值xx y 4 0为.x y 2 02.（2015 新课标全国卷I文科T15）若x,y满足约束条件x 2y 1 0则z=3x+y的最大2x y 2 0值为.(x - y + 1 0Tx - 2y 0.x + 2v - 2 0,x,y满足约束条件x 1x

2、y 3若z=2x+y的最小值为1,则a=（）y a x 3A.1 B. 1 C.1D.242（2013 新课标全国H高考文科 T 3）设x,y满足约束条件x y 1 0,x y 1 0,则z 2x 3y的最小值是（）x 3,A. 7B. 6C. 5D. 3（2013 新课标I高考文科14）设x, y满足约束条件1 x 3 ，则z 2x y的最大值为.x y 0（2013 大纲版全国卷高考文科 T 15）若x、y满足约束条件x 0,x 3y 4,贝U zx y的最小值为 .3x y 4,x 0,（2013 大纲版全国卷高考理科T 15）记不等式组x 3y 4,所 3x y 4,表示的平面区域为D

3、.若直线y a x 1与D有公共点，则a勺取值范围是 .含参问题的探究一、恒过“定点”问题x y 1 0例1. （2009福建，9）在平面直角坐标系中，若不等式组x 1 0ax y 1 0（a为参数）所表示的平面区域的面积等于2,则a的值为 （）A.5B. 1 C. 2 D. 3x y 1 0解析：作出不等式组x 1 0所围成的平面区域。如图（1）所示ax y 1 0由题意可知，公共区域的面积为 2|AC 4C的坐标为（1,4）,代入 ax y 1 0得a 3,故选D .图（1）点评：该题在作可行域时，若能抓住直线方程 ax y 1 0中含有 参数a这个特征，迅速与“直线系”产生联系，就会明确

4、ax y 1 0可 变形为y 1 ax的形式，则此直线必过定点（0,1）,此时，可行域的“大 致”情况就可以限定，再借助于题中的其它条件，就可轻松获解。规律总结：当参数在线性规划问题的约束条件中时， 作可行域要 注意应用“过定点的直线系”知识，使直线“初步稳定”，再结合题中的条件进行全方面分析才能准确获得答案。二、恒成立问题x 0例2. （2008浙江，17）若a 0,b 0 ,且当 y 0时，恒有ax by 1, x y 1 TOC o 1-5 h z 则以a,b为坐标的点P（a,b）所成的平面区域的面积是（）A. 1 B. C. 1D.-242x 0解析：作出满足条件y 0的点（x,y）的

5、可行域，如图（2）所示.x y 1a 0,b 0 ,且恒有 ax by 1 ,结合直线ax by 1,与可行域可知：1 1且1 1 a ba 1且 b 1点P（a,b）所成的平面区域如图（3）.故所形成的平面区域的面积是1.故选Co点评：正确解答此题的关键是:图（3）“恒有点评：正确解答此题的关键是:图（3）“恒有ax by 1 ”的巧妙运用,因ax by 因ax by 1中含有两个参数两个变量,故用“恒成立”的“数值解法”比较困难，只能用 “图形控制”来解答； 根据 “恒有 ax by 1 ” 的 “图形控制”先求a,b的约束条件，再画出其约束的平面区域，是正确解 答此题的突破口。规律总结

6、： 在线性规划问题可行域下的恒成立问题，一定要结合“可行域”将“恒成立”加以控制，使之转化为平面区域间关系的恒 成立，再进行解答就轻松多了。三、 “动” “静”结合问题y0 x0例3.（ 2006 广东.9）在约束条件y x s 下，当 3 s 5时，目标函y 2x 4数z 3x 2y的最大值的变化范围是（）A.6， 15B.7,15C.6,8D.7,8解析：当4 s 5时，约束条件所表示的可行域就是y 2x 4与x轴、y轴在第一象限围成的三角形区域，直线z 3x 2y过点（0,4）时，z取最大值，zmax 8当3 s 4时，直线z 3x 2y过y x s与y 2x 4的交点时，z取得最 大，

7、结合图形分析，此时，当s 3, z的最大值中的最小值为7.故答案为D。图（4）点评：该题在作可行域时，由于直线方程y x s中含有参数“s” 且给定了该参数的取值范围，使问题变得复杂。解决此类问题的主要 思路是：先将能够画出图形的部分全部画出来，再分析“动直线”的 运动趋势，确定好运动的“最大位置”及“最小位置”，将“最大位 置”及“最小位置”固定（静）下来，使“动”在“静”下做，借用 运动的观念逐步分析，确定答案。规律总结：在约束条件中的二元不等式若含有参数且给定了该参 数的取值范围的问题，就意味着直线是“动直线”，则应将该动直线 运动的“最大” “最小”位置固定下来，根据运动的趋势确定好不

8、同 情况下的可行域，再针对解答目标逐步分析方能获解。四、转移模型问题x 2y 3 0例4. （2006重庆，16）已知变量x,y满足约束条件x 3y 3 0,若目y 1 0标函数z ax y （其中a 0）仅在点（3,0）取得最大值，则a的取值范 围为。解析：依据约束条件，作出可行域，如图（5）由可行域可知，要使目标函数z ax y （其中a 0）仅在点（3,0）取得最大值，则必有直线x 2y 3 0的斜率ki直线ax y 0的斜率k2p1又 ki ,卜22-a 得:2故答案为a 12点评：此题的目标函数中含有参数 a且a 0,因此目标函数所确定的直线ax y 0的斜率k20,直线ax y 0

9、大致图象能确定下来,由线性规划的“平移”解法可知，欲使直线ax y 0平移过点（3,0）处取得最大值，只需控制ax y 0的斜率k2直线x 2y 3 0的斜率ki即可，问题就转化为研究“斜率”问题（模型）了规律总结：目标函数中含有参数时，要根据问题的实际意义注意 转化成“直线的斜率”、“点到直线的距离”等模型进行讨论研究。五、消元化归问题例 5. (2003天津)已知 0 x 1 , 0 y 2 , 3y z 2且 x y z 1 ,求函数F 2x 6y 4z的最大值。解：由x y z 1得z 1 x y于是 F 2x 6y 4(1 x y) 2x 2y 4同时3y z 2可变为2y x 1则题设中的不等式即线性约束条件变形为：0 x 10 y 22y x 1满足上述约束条件的区域如图(6)所示,图(6)图(6)设2m 2y 2x,贝U y x mm是经过区域且斜率为1的直线在y轴上的截距易知当这些平行直线经过点B(1,1)时，截距m 0为最小当直线经过点D(0,2)时，截距m取最大值m 2max2mmax2mmax 48Fmin 2mmin 44点评：该题与常规型的线性规划相比：在约束条件及目标函数中均多了一个“参数Z”，但题中确给出了一个