时间序列分析与建模简介

1、PAGE 1PAGE 9 （2004年教案） 辨识与自适应 第五章第五章 时间序列分析与建模简介 时间序列建模（ Modelling via time series ）。时间序列分析与建模是数理统计的重要分支，其主要学术贡献人是Box 和 Jenkins。本章扼要介绍吴宪民和 Pandit的工作，仅要求一般了解当前时间序列分析与建模的一些主要结果。参考书：“时间序列及系统分析与应用（美）吴宪民，机械工业出版社（1988）TP13/66。引言根据对系统统观测得得出的按按照时间间顺序排排列的数数据，通通过曲线线拟合和和参数估估计或者者谱分析析，建立立数学模模型的理理论与方方法，理理论基础础是数理理

2、统计。有有时域和频域两类类建模方方法，这这里概括括介绍时时域方法法，即基基于曲线线拟合与与参数估估计（如如最小二二乘法）的的方法。常常用于经经济系统统建模（如如市场预预测、经经济规划划）、气气象与水水文预报报、环境境与地震震信号处处理和天天文等学学科的信信号处理理等等。51 ARMMA模型型分析一、模型类类 把把具有相相关性的的观测数数据组成成的时间间序列 xkk 视为以以正态同同分布白白噪声序序列 ak 为输入入的动态态系统的的输出。用用差分模模型 AARMAA(n,m) 为 (z-1) xxk= (zz-1) aak式（55-1-1）其中： (z-1)= 1-1 z-1-n z-n (z-

3、11)= 1-1 z-1-m z-m离散传函式（5-11-2） 为与参考书书符号一一致，以以下用BB表示时时间后移移算子即： BB xkk= xxk-11 B即z-1，B2即z-2(B)=00的根为为系统的的极点，若若全部落落在单位位园内则则系统稳稳定；(B)=0的根根为系统统的零点点，若全全部在单单位园内内则系统统逆稳定定。二、关于格格林函数数和时间间序列的的稳定性性1格林函函数Gi 格格林函数数Gi用以把把xt 表示示成at及at既往值值的线性性组合。式（5-11-3）GI可以由由下式用用长除法法求得：例1ARR(1): xtt - 1x t-1 = a t即：Gj = 1j （显显示）例

4、2ARRMA(1,11): xxt - 1x t-1 = a t - 1a t G00= 11 ; Gjj =(1- 1)1j-11 ,jj1 （显显示）例3ARRMA(2,11) (1- 1B -2B2)x tt = (a t - 1 B )a t得出：G00= 11 G11 =0G0-1 G22 =1G1+2G0 . . . . . Gjj =1Gj-1+2Gj-22（j 2）Gj为满足足方程 (1- 1B -2B2) GGj= 00 的解解，称为为隐式表表达式。该该结论可可推广到到ARMMA(nn,m) 模型型。2格林函函数与系系统稳定定性当j 时：Gj 有界界，则系系统稳定定；Gj 衰

5、减减，则系系统渐进进稳定；Gj发散，则则系统不不稳定。例： ARR(1):Gj = 1j 当 1时时，Gj发散，不不稳定。例： ARRMA(2,11)1和2和为为特征方方程的根根，有11 + 2 = 1和 12 = 2 当 1 1 且 2 11 时，AARMAA(2,1) 渐进稳稳定；当当 1= 11 且 2 11 或1 11 且 2= 11时，ARRMA(2,11) 稳稳定； 当 1= 2且 或或1 = 2（两根根同号）时时，不稳稳定。由由此得出出ARMMA(22, ) 的稳稳定域如如下图所所示。ARMA(2,mm) 的的稳定域域三、逆函数数与逆稳稳定性逆函数Ijj 表示示xt的既往往值对当

6、当前值的的影响，与与格林函函数Gj表示既既往的aat值对xt的影响响正相反反。定义：即：或：at = ( 1- I1B-I2B2-) xt at格格林函数数 xxtxt 逆函函数 at系统逆稳定定的条件件是 (B) 的根 1，即即意味着着过时愈愈久的xxt的老数数据对xxt的现在在值影响响愈大，这这显然是是不合理理的。5. 自协协方差函函数与偏偏自相关关函数及及其截尾尾性(略略)52时时间序列列建模及及其应用用一、关于吴吴宪民 andd Paandiit的建建模策略略简介ARMA(n,mm)模型型,当nn 和m 设定后后,可由由非线心心、非线线性最小小二乘法法估计参参数,并并计算出出残差平平方

7、总和和(R.S.SS.)。设设定不同同的n和m值，用用F检验比比较R.S.SS.，确确定合理理的n 、m值。穷举法（最最笨的建建模策略略）：高高阶模型型要做很很多次搜搜索，计计算量大大。吴宪民 Pannditt 建模模策略目的是减少少建模的的搜索次次数。策策略可概概括为：10. 按按照ARRMA(2n,2n-1) 拟拟合模型型，即当当nn+1时，模模型增加加2阶，理理由是过过程的基基点往往往是成对对的。20. 检查AARMAA(2nn,2nn-1) 模模型的高高阶项参参数2n和2n-1 的的绝对值值是否很很小，它它们的置置信区间间是否包包含零在在内？若若是，则则进一步步拟合下下降一阶阶后的模模

8、型ARRMA(2n-1,2nn-2)，并并用F检检验检查查。30. 探索进进一步降降低MAA的阶次次的可能能性，即即设ARRMA(2n-1,m) ，mm2n 1 ，用用F检验验确定。补充：关于于参数估估计误差差的置信信区间假定参数估估计符合合正态分分布N（0，2）则估估计值的的置信区区间(995%置置信度)为： j 11.966j参数的估计计误差协协方差阵阵为：j的置信区区间为：j = 11, 22, 二、时间序序列建模模应用举举例 太阳黑子子年均数数,由117499-19924年年共计1176个个观测数数据。拟拟合ARRMA（22，1）模模型，FF检验AARMAA（4，33）较前前者没有有明

9、显改改善。AARMAA（2，11）模型型估计结结果为： 参数估估计 995%置置信区间间1 = 11.422 ( 1.226 1.58 )2 = - 0.72 ( - 0.886 - 0.58 )1= 0.15 ( - 0.07 00.377 )因为1的值值较小，而而且置信信区间包包括零在在内，所所以进一一步实验验降为AAR（22）模型型。估计计结果： 参数估估计 995%置置信区间间1 = 11.433 ( 1.223 1.45 )2 = - 0.65 ( - 0.76 - 0.54 )F检验表明明ARMMA（22，1）模模型较之之AR（22）模型型并没有有明显改改善，而而且2 的置信信区间

10、不不包含零零，所以以AR（22）模型型合适。例2IBBM股票票每天值值（611.5.162.11.2）按按照吴宪宪民Pannditt建模策策略，得得出ARRMA（66，5）模模型。例3航空空公司月月销售额额（499.1 660.112 ）建建模结果果- AARMAA(133,133)趋势项和季季节性恒定趋势即总的趋势势保持在在同一水水平，均均值0。引引入算子子，定义义为： =（11-B） ， 即 xt = xxt - xt-11 可以消消除恒定定趋势。例例如IBBM股票票模型用用 xt =（11-1B）aat 更更为合适适。有恒恒定趋势势的模型型有一个个极点的的绝对值值接近为为1。线性趋势总趋势按照照线性规规律增减减，即模模型有两两个极点点的绝对对值接近近为1的的情况。用用算子2 = (1B )2可以消除线线性趋势势，例如如：2 xt =（11-1B）aat 多项式趋趋势有多个极点点的绝对对值接近近于1 , 引入算算子3 = (1B )3例如：3 xt =（11-1B-2 B2）at4. 季节节性有的时间序序列按照照一定的的周期波波动,例例如月平平均温度度是按照照12个个月的周周期波动动的，每每小时用用电量按按照244小时的的周期变变化，称为为季节性性。为消消除季节节性的影影响，引引入算子子