机构学与机器人学chap6

1、第六章 机器人的动力学分析机器器人操作作的动态态数学模模型，主主要采用用下列两两种理论论：（1）动力学学基本理理论，包包括牛顿顿-欧拉方程程。（2）拉格朗朗日力学学，特别别是二阶阶拉格朗朗日方程程。拉格朗日日函数L被定义为为系统的的动能K和位能P之差，即即:（4.1）其中，K和P可以用任任何方便便的坐标标来表示示。系统动力力学方程程式，即即拉格朗朗日方程程如下：（4.2）式中，为表示动动能和位位能的坐坐标，速度，而而为相应的的Fi是力或是是力矩，由qi为直线坐坐标或角角坐标所所决定。这些力力、力矩矩和坐标标称为广广义力、广义力力矩和广广义坐标标，n为连杆数数目。Fi为作用在在第i个坐标上上的力

2、或或是力矩矩。4.1.1刚刚体体的动能能与位能能在理论力力学或物物理力学学部分，曾对如如图4.1所示示的一般般物体平平动时所所具有的的动能和和位能进进行过计计算，其其求法是是大家所所熟悉的的，如下下：式中，表表示物体体所具有有的动能能K、位位能P，所消耗耗的能量量D和外外力所做做的功W ；M0和M1为支架和和运动物物体的质质量；x0和x1为运动坐坐标；g为重力力加速度度；k为为弹簧虎虎克系数数；c为为摩擦系系数；F为外施施作用力力。对于这一一问题，存在两两种情况况。1、为广义坐坐标其中，左左式第一一项为动动能随速速度（或或角速度度）和时时间的变变化；第第二项为为动能随随位置（或角度度）的变变化

3、；第第三项为为能耗随随速度的的变化；第四项项为位能能随位置置的变化化。右式式为实际际外加力力或力矩矩。代入入相应各各项的表表达式，并化简简可得:表示为一一般形式式为:即为所求求x0=0时的的动力学学方程式式。其中中，左式式三项分分别表示示物体的的加速度度、阻力力和弹力力，而右右式两项项分别表表示外加加作用力力和重力力。2、 均为广义义坐标这时有下下式:或用矩阵阵形式表表示为:下面来考考虑二连连杆机械械手（见见图4.2）的的动能和和位能。这种运运动机构构具有开开式运动动链，与与复摆运运动有许许多相似似之处。图中，T1和T2为转矩，m1和m2为连杆1和连杆杆2的质质量，且且以连杆杆末端的的点质量量

4、表示；d1和d2分别为两两连杆的的长度，1和2为广义坐坐标；g为重力力加速度度。先计算连连杆1的的动能K1和位能P1。因为:，所以有有:再求连杆杆2的动动能K2和位能P2:式中:于是可求求得:以及:这样，二二连杆机机械手系系统的总总动能和和总位能能分别为为:（4.3）（4.4）将相应各各导数和和偏导数数代入(4.2)，即即可求得得力矩T1和T2的动力学学方程式式：重力项：在分析简简单的二二连杆机机械手系系统的基基础上上，我们分析析由一组组A变换换描述的的任何机机械手，求求出出动力学学方程。推导过过程分五五步进行行。（1）计计算任一一连杆上上任一点点的速度度；（2）计计算各连连杆的动动能和机机械

5、手的的总动能能；（3）计计算各连连杆的位位能和机机械手的的总位能能；（4）建建立机械械手系统统的拉格格朗日函函数；（5）对对拉格朗朗日函数数求导，以得到到动力学学方程式式。图4.4表示一一个四连连杆机械械手的结结构。我我们先从从这个例例子出发发，求得得此机械械手某个个连杆（例如连连杆3）上某一一点（如如点P）的速度度、质点点和机械械手的动动能与位位能、拉拉格朗日日算子，再求系系统的动动力学方方程式。然后，由特殊殊到一般般，导出出任何机机械手的的速度、动能、位能和和动力学学方程的的一般表表达式。4.2.1速速度度的计算算图4.4中连杆杆3上点点P的位位置为：式中，为总（基基）坐标标系中的的位置矢

6、矢量；为局部（相对关关节O3）坐标系系中的位位置矢量量；T3为变换矩矩阵，包包括旋转转变换和和平移变变换。对于任一一连杆i上的一一点，其其位置为为:（4.14）点P的速速度为:式中，所以有有对于连杆杆i上任任一点的的速度为为P点的加速速度P点速度度的平方方对于任一一机械手手上一点点的速度度平方为为式中，Trace表示示矩阵的的迹。对对于n阶阶方程来来说，其其迹即为为它的主主对角线线上各元元素之和和。4.2.2动动能和位位能的计计算令连杆3上任一一质点p的质量量为dm，则其其动能为为任一机械械手连杆杆i上位位置矢量量其动能如如下式表表示：的质点，对连杆3积分dK3，得连杆杆3的动动能为式中，积积

7、分称为连杆杆的伪惯惯量矩阵阵，并记记为这样，任何机械械手上任任一连杆杆i动能能为（4.17）式中，Ii为伪惯量量矩阵，其一般般表达式式为根据理论论力学或或物理学学可知，物体的的转动惯惯量、矢矢量积以以及一阶阶矩量为为如果令于是可把把Ii表示为（4.18）具有n个个连杆的的机械手手总的动动能为（4.19）此外，连连杆i的的传动装装置动能能为式中，Iai为传动装装置的等等效转动动惯量，对于平平动关节，Iai为等效质质量；为关节i的速度度。所有关节节的传动动装置总总动能为为于是得到到机械手手系统（包括传传动装置置）的总总动能为为（4.20）下面再来来计算机机械手的的位能，一个在在高度h处质量量为m的

8、的物体，其位能能为连杆i上上位置处的质点点dm，其位能能为式中，其中，mi为连杆i的质量量：关节坐标标系的重重心位置置。为连杆i相对于于其由于传动动装置的的重力作作用Pai一般是很很小的，可以略略之不计计，所以以，机械械手系统统的总位位能为（4.21）4.2.3动动力力学方程程的推导导据式（4.1）求拉格格朗日函函数（4.22）再据式（4.2）求动动力学方方程。先先求导数数据式（4.18）知，Ii为对称矩矩阵，即即，所以下下式成立立当pi时，后后面连杆杆变量qp对前面各各连杆不不产生影影响，即。这样可可得因为所以再求 项在上列两两式运算算中，交交换第二二项和式式的哑元元j和k，然后后与第一一项

9、和式式合并，获得化化简式。把上述述两式代代入（4.2）的右式式得交换上列列各和式式中的哑哑元，以以i代替替p，以以j代替替i，以以m代替替j，即即可得具具有n个个连杆的的机械手手系统动动力学方方程如下下这些方程程式是与与求和次次序无关关的。我我们把式式（4.23）写成下下列形式式：（4.24）（4.25）(4.26)（4.27）式中取n=6，而且惯量项加速度系系数项重力项上述各方方程与4.1.2节的的惯量项项及重力力项一样样。这些些项在机机械手控控制中特特别重要要，因为为它们直直接影响响机械手手系统的的稳定性性和定位位精度。只有当当机械手手高速运运动时，向心力力和哥氏氏力才是是重要的的。这时时

10、，它们们所产生生的误差差不大。传动装装置的惯惯量Iai往往具有有相当大大的值，而且对对减少有有效惯量量的结构构相关性性和耦合合惯量项项的相对对重要性性有显著著影响。4.3.1二二连杆杆机械手手动力学学方程在前面讨讨论过二二连杆机机械手的的动力学学方程，下面讨讨论二连连杆机械械手惯量量项及重重力项的的计算。首先，规规定机械械手的坐坐标系，如图，并计算算A矩阵阵和T矩矩阵。表表4.2表示各各连杆参参数。表4.2 二连连杆机械械手连杆杆参数连杆变量ad110d10220d20A矩阵和和T矩阵阵如下：对于旋转转关节，可得微微分平移移矢量和和微分旋旋转矢量量如下：对于平移移关节，可得各各矢量如如下：以 为基础，有下式式(p=1，i=1)以 为基础，可得下下式(p=2，i=2)以 为基础，可得下下式(