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文档简介

1、高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学 大 学 数 学（一）第十六讲 函数的单调性与凹凸性第五章 导数与微分的应用举例 本章学习要求：熟练掌握求函数的极值、判断函数的单调性、判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。导数的简单应用 下面我们运用函数的导数(微分)来研究函数的有关性质：单调性、凹凸性等。由拉格朗日中值定理的推论我们已经知道:一、函数的单调性观察下面的图形, 你能得出什么结论？综上所述, 可知:在讨论函数的单调性时，一般先求出函数一阶导数等于零和一阶导数不存在的点 ,然后按这些点将所讨论的区间分成小区间 ,在每个小区间内函数只有一种单调性 ,

2、利用导数符号判断函数是单调增加还是单调减少. 提供了判断函数单调性的方法例1解 列表可使问题明朗化例2证下一步你打算 怎么办?这个式子有点像？例3证利用函数处理数列例4证我们说一个函数单调增加, 你能画出函数所对应的曲线的图形吗? !. 二、曲线的凹凸性、拐点它的图形的形式不尽相同.一般说来, 对于一个区间上单调的函数的图形都存在一个需要判别弧段位于相应的弦线的“上方”或“下方”的问题 .我们将这种问题称为曲线 (函数)的凹凸性问题 .简单地说 , 在区间 I 上 :曲线弧段位于相应的弦线上方时, 称之为凸的;曲线弧段位于相应的弦线下方时, 称之为凹的.凸凹成立 , 则称曲线在区间 I 上是凸

3、的 ;成立 , 则称曲线在区间 I 上是凹的 .定义 凹凸性的一般性定义是凸凹成立 , 则称曲线在区间 I 上是凸的 ;成立 , 则称曲线在区间 I 上是凹的 ;1. 曲线凹凸性的定义及其判别法例5分析有何想法？能不能根据函数的二阶导数的符号来判别函数所对应的曲线的凸凹性呢？判别可微函数的凸凹性主要是对进行比较.有什么公式能把以上的函数值与函数的二阶导数联系在一起呢?泰勒公式以上的讨论是对开区间进行的,但结论却出现了闭区间这正确吗?结论是正确的, 我们可以利用函数的连续性将开区间内的结论延伸到了闭区间上.以上过程实际上证明了下面的判别曲线凹凸性的一个方法.定理在运用该定理时要注意：但仅在个别孤立点处等于零 , 则定理仍然成立 .该函数的图形 大家应该熟悉. 例6解例3解只是使的孤立点,不是曲线凹凸性的分界点.例7解 比较例6 和例7 , 发现使得曲线所对的分界点 .我们的兴趣 , 因为它可能是曲线凹凸性应的函数的二阶导数等于零的点引起了拐 点连续曲线上凸弧与凹弧分界点 , 称为曲线的拐点.2. 曲线拐点的定义及判别法定理( 判别拐点的必要条件 )证称为曲线的拐点可疑点 .定理( 判别拐点的充分条件 )根据拐点的定义可证明该定理 . 定理( 判别拐点的充分条件 )证你能由以上的几个定理归纳出 求曲线拐点的步骤吗？ 求拐点一般步骤拐点拐点例8解例

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