(新高考)高考数学一轮复习考点复习讲义第16讲《导数的应用-导数与函数的极值、最值》（解析版）

1、第16讲 导数的应用导数与函数的极值、最值思维导图知识梳理1函数的极值(1)函数的极小值：函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值(2)函数的极大值：函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值2函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小

2、值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值题型归纳题型1 利用导数解决函数的极值问题根据函数图象判断函数极值【例1-1】（2020春宜宾期末）如图是函数 SKIPIF 1 0 的导函数 SKIPIF 1 0 的图象，则函数 SKIPIF 1 0 的极大值点的个数为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A3B2C1D0【分析】通过读图得出函数的单调区间，从而求出函数的极值点，得出答案【解答】解：由图象知在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上

3、SKIPIF 1 0 ，所以此时函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 0 上， SKIPIF 1 0 ，此时 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递减，所以 SKIPIF 1 0 时，函数取得极大值， SKIPIF 1 0 时，函数取得极小值则函数 SKIPIF 1 0 的极大值点的个数为1故选： SKIPIF 1 0 【例1-2】（2019秋未央区校级期末）函数 SKIPIF 1 0 的图象如图所示，则关于函数 SKIPIF 1 0 的说法正确的是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A函数

4、 SKIPIF 1 0 有3个极值点B函数 SKIPIF 1 0 在区间 SKIPIF 1 0 上是增加的C函数 SKIPIF 1 0 在区间 SKIPIF 1 0 上是增加的D当 SKIPIF 1 0 时，函数 SKIPIF 1 0 取得极大值【分析】结合导数与函数单调性的关系可知， SKIPIF 1 0 ，函数单调递增， SKIPIF 1 0 ，函数单调递减，结合图象即可判断函数的单调区间及极值【解答】解：结合导数与函数单调性的关系可知，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，函数单调递增，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，函数单调递减，当 SKIPI

5、F 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，函数单调递增，故当 SKIPIF 1 0 时，函数取得极大值，当 SKIPIF 1 0 时，函数取得极小值故选： SKIPIF 1 0 【跟踪训练1-1】（2019秋临渭区期末）已知函数 SKIPIF 1 0 的导函数 SKIPIF 1 0 的图象如图所示，则关于 SKIPIF 1 0 的结论正确的是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A在区间 SKIPIF 1 0 上为减函数B在 SKIPIF 1 0 处取得极小值C在区间 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上为增函数D在 SKIPIF 1 0 处取得极大值【分析】结合图象求出

6、函数的单调区间和极值点即可【解答】解：由图象得： SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 递减，在 SKIPIF 1 0 递增，在 SKIPIF 1 0 递减，故 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 取极小值，在 SKIPIF 1 0 取极大值，故选： SKIPIF 1 0 【跟踪训练1-2】（2019秋咸阳期末）已知函数 SKIPIF 1 0 的导函数 SKIPIF 1 0 的图象如图，则下列叙述正确的是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递减B函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 处

7、取得极大值C函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 处取得极值D函数 SKIPIF 1 0 只有一个极值点【分析】利用导数的定义和导数的集合意义，通过数形结合法可判断函数的单调性和极值可得答案；【解答】解：由已知函数 SKIPIF 1 0 的导函数 SKIPIF 1 0 的图象可知， SKIPIF 1 0 在区间 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在区间 SKIPIF 1 0 ，根据导函数的定义和集合意义，导函数大于0时，原函数单调递增，导函数小于0时，原函数单调递减，导函数等于0 时是原

8、函数的拐点位置，可能为原函数取极值处，通过函数单调性函数取极值的左右两侧区间原函数的图象单调性相反判断可得： SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递减错误； SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 处取得极大值错误； SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKI

9、PIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 处取得极值错误； SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，函数 SKIPIF 1 0 只有一个极值点 SKIPIF 1 0 正确；故选： SKIPIF 1 0 【名师指导】由图象判断函数yf(x)的极值，要抓住两点：(1)由yf(x)的图象与x轴的交点，可得函数 yf(x)的可能极值点；(2)由导函数yf(x)的图象可以看出yf(x)的值的正负，从而可得函数yf(x)的单调性两者结合可得极值点题型2 利用导数解

10、决函数的极值问题已知函数求极值或极值点【例2-1】（2020春顺义区期末）已知函数 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 的极大值点为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】求出函数 SKIPIF 1 0 的导函数，由导函数等于0求得导函数的零点，由导函数的零点对函数的定义域分段，根据导函数在各段内的符号判断函数在不同区间内的单调性，从而得到函数的极值点【解答】解：由 SKIPIF 1 0 ，得： SKIPIF 1 0 由 SKIPIF 1 0 ，得： SKIPIF

11、 1 0 ，或 SKIPIF 1 0 由 SKIPIF 1 0 ，得： SKIPIF 1 0 所以，函数 SKIPIF 1 0 的增区间为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 函数 SKIPIF 1 0 的减区间为 SKIPIF 1 0 所以， SKIPIF 1 0 是函数的极大值点， SKIPIF 1 0 是函数的极小值点故选： SKIPIF 1 0 【例2-2】（2020春海淀区校级期末）函数 SKIPIF 1 0 的一个极小值点为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0

12、 【分析】先求出函数的导数，得到函数的单调性，从而求出函数的极小值点【解答】解： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，或 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，函数 SKIPIF 1 0 单调递增，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，或 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，函数 SKIPIF 1 0 单调递减，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 在 SK

13、IPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上单调递减，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上单调递减，函数函数 SKIPIF 1 0 的一个极小值点为 SKIPIF 1 0 ，故选： SKIPIF 1 0 【跟踪训练2-1】（2020春乐山期中）函数 SKIPIF 1 0 的极小值是 SKIPI

14、F 1 0 SKIPIF 1 0 A4B2C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】求导，分析 SKIPIF 1 0 单调性，可得极小值【解答】解：函数定义域： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 或1，在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 单调递增，在 SKIPIF 1 0 上， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 单调递减，所以 SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ，故选： SKIPIF 1 0 【跟踪训练2-2】

15、（2020春龙岩期末）函数 SKIPIF 1 0 的极大值为【分析】求导数便可得出 SKIPIF 1 0 ，容易看出 SKIPIF 1 0 为方程 SKIPIF 1 0 的解，从而可判断导函数的符号，进而得出该函数的极大值点【解答】解： SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 的极大值点函数的极大值为： SKIPIF 1 0 故答案为： SKIPIF 1 0 【名师指导】求函数的极值或极值点的步骤(1

16、)求导数f(x)，不要忘记函数f(x)的定义域；(2)求方程f(x)0的根；(3)检查在方程的根的左右两侧f(x)的符号，确定极值点或函数的极值题型3 利用导数解决函数的极值问题已知函数的极值点或极值求参数的值或范围【例3-1】（2020春赤峰期末）若函数 SKIPIF 1 0 存在极值点，则实数 SKIPIF 1 0 的取值范围是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 【分析】先求导数，根据题意 SKIPIF 1 0 在 SKIPI

17、F 1 0 上有根，得到 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 有交点，进而得出答案【解答】解：根据题意得 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上有零点，所以 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上有根，即 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上有根，即 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 有交点，因为 SKIPIF 1 0 且单调，所以 SKIPIF 1 0 ，故选： SKIPIF 1 0 【例3-2】（2020春荆州期末）若当 SKIPIF 1 0 时，函数 SKIPIF 1 0

18、有两个极值点，则实数 SKIPIF 1 0 的取值范围是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】求导得 SKIPIF 1 0 ，根据题意可得 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上有两个根，从而得到 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上有两个根，设 SKIPIF 1 0 ，求导数判断 SKIPIF 1 0 的单调性，求出 SKIPIF 1 0 的最小值，进而得出答案【解答】解： SKIPIF 1 0 ，根据题意，可得 SKIP

19、IF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上两个根，即 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上有两个根，即 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上有两个根，设 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，在 SKIPIF 1 0 上 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 单调递减，在 SKIPIF 1 0 上 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 单调递增，所以 SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 故选： SKIPIF 1 0 【跟踪训练3-1】（2020春潍坊期末）已知 SKIPIF 1 0 时，

20、函数 SKIPIF 1 0 取得极大值，则 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C4D2【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极大值点即可【解答】解： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，解得： SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，解得： SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 递增，在 SKIPIF 1 0 递减，在 SKIPIF 1 0 递增，故 SKIPIF 1 0 时，

21、SKIPIF 1 0 取极大值，则 SKIPIF 1 0 ，故选： SKIPIF 1 0 【跟踪训练3-2】（2020春南阳期末）已知函数 SKIPIF 1 0 有且仅有一个极值点，则实数 SKIPIF 1 0 的取值范围是 【分析】根据题意可得 SKIPIF 1 0 只有一个解 SKIPIF 1 0 只有一个解 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 只有一个交点，求导数 SKIPIF 1 0 ，分析单调性，及当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ；当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，画出函数 SKIPIF 1 0 的草图，及可得 SKIPIF 1

22、 0 的取值范围，再检验是否符合题意，即可得出答案【解答】解：因为函数 SKIPIF 1 0 有且仅有一个极值点，所以 SKIPIF 1 0 只有一个解，即 SKIPIF 1 0 ，只有一个解，即 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 只有一个交点，因为 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，函数 SKIPIF 1 0 单调递增，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，函数 SKIPIF 1 0 单调递减，所以 SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ；当 S

23、KIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，画出函数 SKIPIF 1 0 的草图如下：结合图象可得 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 0 上单调递减，所以 SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 0 在 SKIPI

24、F 1 0 上单调递减，所以函数 SKIPIF 1 0 没有极值点所以实数 SKIPIF 1 0 的取值范围是 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 【跟踪训练3-3】（2020临川区校级一模）已知函数 SKIPIF 1 0 为自然对数的底数）有两个极值点，则实数 SKIPIF 1 0 的取值范围是 【分析】 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，由函数 SKIPIF 1 0 有两个极值点可得 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上有两个交点， SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1

25、0 SKIPIF 1 0 ，利用导数研究其单调性即可得出【解答】解： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，由函数 SKIPIF 1 0 有两个极值点可得 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上有两个交点， SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递减且 SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 当 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时

26、， SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上单调递增， SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递减故 SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ，而当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ；若 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 的图象在 SKIPIF 1 0

27、上有两个交点，只需 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 故答案为： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 【名师指导】已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性 题型4 利用导数求函数的最值【例4-1】（2020春克什克腾旗校级月考）（文科普班）已知 SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 ，求函数 SKIPIF 1 0 的最小值【分析】代入 SKIPIF 1 0 的值，求出函数的导数，解关于导

28、函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最值即可【解答】解： SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，解得： SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，解得： SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 递减，在 SKIPIF 1 0 递增，故 SKIPIF 1 0 【例4-2】（2020春徐州期中）已知函数 SKIPIF 1 0 （1）求函数 SKIPIF 1 0 的单调区间；（2）求函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上的最大值和最小值

29、【分析】（1）先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数 SKIPIF 1 0 的单调区间；（2）先求出函数 SKIPIF 1 0 在区间 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上的单调性，从而求出函数的最值问题【解答】解：（1） SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，解得： SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，解得： SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 函数 SKIPIF 1 0 的增区间： SKIPIF 1 0 ，减区间： SKIPIF 1 0 ；（2）由（1）得： SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPI

30、F 1 0 递减，在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 递增， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 【跟踪训练4-1】（2020春十堰期末）函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上的最大值为2，则 SKIPIF 1 0 的值为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B2C5D SKIPIF 1 0 【分析】求出函数的导数不等式，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，得

31、到关于 SKIPIF 1 0 的方程，解出即可【解答】解： SKIPIF 1 0 令 SKIPIF 1 0 ，解得： SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，解得： SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 递减，在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 递增，故 SKIPIF 1 0 的最大值是 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 （3），而 SKIPIF 1 0 （3） SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 ，故选： SKIPIF 1 0 【跟踪训练4-2】（2020春内江期末）函数

32、SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上的 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A最小值为0，最大值为 SKIPIF 1 0 B最小值为0，最大值为 SKIPIF 1 0 C最小值为1，最大值为 SKIPIF 1 0 D最小值为1，最大值为 SKIPIF 1 0 【分析】求出原函数的导函数，可得 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上恒成立，可得 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上的单调递增，则最值可求【解答】解：由 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，

33、SKIPIF 1 0 函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上的单调递增，则 SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上的最小值为1，最大值为 SKIPIF 1 0 故选： SKIPIF 1 0 【跟踪训练4-3】（2020春沭阳县期中）已知函数 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 （1）求 SKIPIF 1 0 的值；（2）求函数 SKIPIF 1 0 在区间 SKIPIF

34、1 0 ， SKIPIF 1 0 上的最大值【分析】（1）求出函数的导数，利用 SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ，求解 SKIPIF 1 0 即可（2）结合（1）化简函数的解析式，求出函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的最大值即可【解答】解：（1） SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 （2）由（1）得 SKIPIF 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0

35、上单调递增，最大值为 SKIPIF 1 0 （3） SKIPIF 1 0 【名师指导】导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤(1)求函数f(x)的导数f(x)；(2)求f(x)在给定区间上的单调性和极值；(3)求f(x)在给定区间上的端点值；(4)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值；(5)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范题型5 利用导数求解函数极值和最值的综合问题【例5-1】（2020春朝阳区期末）已知函数 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （）若 SKIPIF 1 0 ，求证：当 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0

36、时， SKIPIF 1 0 恒成立；（）当 SKIPIF 1 0 时，求 SKIPIF 1 0 在区间 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上的最大值和最小值；（）若函数 SKIPIF 1 0 存在极大值和极小值，且极大值和极小值的差不超过4，求 SKIPIF 1 0 的取值范围【分析】（）当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 设 SKIPIF 1 0 ，通过函数的导数判断函数的单调性，然后推出结果（）当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 利用函数的导数求出极值点，判断函数的单调性求解函数的极值以及最值即可（） SKIPIF 1 0 ，求解函数的导数

37、，通过 SKIPIF 1 0 的范围，判断函数的极值以及函数的单调性，求出 SKIPIF 1 0 的范围【解答】解：（）证明：当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 设 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 因为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 所以当 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 恒成立（）当 SKIPIF 1 0 时， SKI

38、PIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 令 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 当 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上变化时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的变化情况如下表： SKIPIF 1 0 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 1 SKIPIF 1 0 2 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 0 SKIPIF 1 0 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 1 SKIPIF 1 0 极大值 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 极

39、小值1 SKIPIF 1 0 3所以，当 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时，函数 SKIPIF 1 0 的最大值为 SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0 ，函数 SKIPIF 1 0 的最小值为 SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 （）因为 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 令 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 依题意，函数 SKIPIF 1 0 存在极大值和极小值，所以 SKIPIF 1 0 （）当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 当 SKIPIF 1 0 变化时， S

40、KIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的变化情况如下表： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 0 SKIPIF 1 0 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 极大值 SKIPIF 1 0 极小值 SKIPIF 1 0 所以函数 SKIPIF 1 0 的极大值为 SKIPIF 1 0 ，极小值为 SKIPIF 1 0 （a） SKIPIF 1 0 依题意有 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （）当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 当 SKIPIF 1 0 变化时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的变化情况如下表： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 0 SKIPIF 1 0 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 极大值 SKIPIF 1 0 极小值 SKIPIF 1 0 所以函数 SKIPIF 1 0 的极大值为 SKI