第一章第五讲单位圆与周期性课件

1、4.2单位圆与周期性4.2单位圆与周期性第一章第五讲单位圆与周期性课件2.任意角的正弦函数、余弦函数的定义(1)单位圆：在直角坐标系中，以_为圆心，以_为半径的圆，称为单位圆(2)任意角的正弦、余弦函数的定义定义2：如图所示，在直角坐标系中，给定单位圆对于任意角，使角的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u，v)，那么点P的_v叫作角的正弦函数，记作_；点P的_u叫作角的余弦函数，记作_原点单位长纵坐标vsin横坐标ucos 2.任意角的正弦函数、余弦函数的定义(1)单位圆：在直角坐标通常，我们用x表示自变量，即x表示角的大小，用y表示函数值，这样我们就定义了任意角的三

2、角形ysinx和ycosx，它们的定义域为_，值域为_全体实数1,1 通常，我们用x表示自变量，即x表示角的大小，用y表示函数值，(3)正弦函数、余弦函数在各象限的符号象限三角函数第一象限第二象限第三象限第四象限sin_cos_(3)正弦函数、余弦函数在各象限的符号象限第一象限第二 观察右图，在单位圆中，由任意角的正弦函数、余弦函数定义不难得到下列事实：终边相同的角的正弦函数值相等，即 ；终边相同的角的余弦函数值相等，即 .新课探究 周期函数把这种随自变量的变化呈周期性变化的函数叫作周期函数. 正弦函数、余弦函数是周期函数，2k(kZ,k0)称为正弦函数、余弦函数的周期. 观察右图，在单位圆中

3、，由任意角新课探究 周期函数把这 例如-4 、-2 、2 、4 等都是它们的周期.其中2 是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期. 一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T ，对定义域内的任意一个x值，都有f(x+T)=f(x), 我们就把f(x)称为周期函数，T称为这个函数的周期.说明：若不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期. 例如-4 、-2 、2 、4 等都是特别提醒： 1.T是非零常数. 2.任意xD都有x+TD,T0，可见函数的定义域无界是成为周期函数的必要条件. 3.任取xD，就是取遍D 中的每一个x，可见周期性是函数在定义域上的整体性质.理解定义时，

4、要抓住每一个x都满足f(x+T)=f(x)成立才行. 4.周期也可推进，若T是f(x)的周期，那么2T也是y=f(x)的周期. 特别提醒：1.函数f(x)=c(c为常数) , xR，问函数f(x)是不是周期函数，若是，有无最小正周期.答:是，无最小正周期.2.等式sin(30+120)=sin30是否成立？如果成立，能否说明120是正弦函数y=sinx,xR的一个周期？为什么？答:成立，不能说明，因为不符合定义中的每一个x.思考1.函数f(x)=c(c为常数) , xR，问函数f(x)【即时练】关于周期函数，下列说法正确的是_(填序号).周期函数的定义域可以是有限集；周期函数的周期只有唯一一个

5、；周期函数的周期可以有无数多个；周期函数的周期可正可负. 【解析】由周期函数的定义可得是错误的，是正确的.【即时练】关于周期函数，下列说法正确的是_(填序号题型一、利用终边相同的角的公式化简、求值 题型一、利用终边相同的角的公式化简、求值 第一章第五讲单位圆与周期性课件第一章第五讲单位圆与周期性课件第一章第五讲单位圆与周期性课件证明：f(x2a)f(xa)af(xa)f(x)f(x)，f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期题型二、周期函数的理解与应用 证明：f(x2a)f(xa)af(xa)常见周期函数的形式周期函数除常见的定义式f(x+T)=f(x)外，还有如下四种形式：(1)f(x+a)

6、=-f(x).(2)f(x+a)=(3)f(x-a)=(4)f(x-a)=f(x+a).以上四种形式的函数都是以2a为周期的周期函数.常见周期函数的形式变式训练2（1）已知函数f(x)的周期为3，且f(1)=10，则f(10)=_.（2）已知函数f(x)是以2为周期的奇函数，f(1)3，求f(7）的值(3)若f(x)=f(x+2)+f(x2)，且f(2 015)=2 015，则f(2 027)=_.（4）设定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x+2)=13.若f(1)=2，则f(2015)=_.变式训练2（1）已知函数f(x)的周期为3，且f(1)=10解：(1)因为函数f(x)的周期为3，所以f(10)=f(1+33)=f(1)=10.（2）解：由题意知f(7)f(7)，f(7)f(321)f(1)3，f(7)3.解：(1)因为函数f(x)的周期为3，（2）解：由题意知f(3)因f(x)=f(x+2)+f(x2),所以f(x+2)=f(x)f(x2),f(x+4)=f(x+2)f(x), f(x+6)=f(x+4)f(x+2),所以f(x+6)=f(x)，即函数的周期是12.f(2 027)=f(2 015+12)=f(2 015)=2 015.（4）因f(x)f(x+2)=13,