高一数学经典例题深度解析

1、高一数学经典例题深度解析高一数学经典例题深度解析8/8高一数学经典例题深度解析高一数学经典例题深度解析例1：设Sxxmn2,m,nZ(1).设aZ,则a是不是会合S中的元素(2).对S中随意两个元素x1,x2，判断x1x2,x1x2能否属于S.解：(1)a必定不是会合S中的元素(2).Qx1S,x2S,令x1m1n12,x2m2n22,则x1x2(m1m2)(n1n2)2Sx1x2(m1m22n1n2)(m1n2m2n1)2S例2：求证：函数f(x)x21)上的最小值为2x2在区间(0,解：任取x1,x20,1,x1x2则x1x20,0 x12x221.11x12x221102x2x12yf(

2、x2)f(x1)x21(x22x12)(11)xx2x1x1x12x22(x2x1)(11022)x1x2f(x)在0,1上是减函数同理可证f(x)在1,上是增函数故f(x)在0,上的最小值为f(1)2例3:已知会合M是同时知足以下两个性质的函数f(x)的全体:f(x)在其定义域上是单一函数；在f(x)的定义域内存在闭区间a,b，使得f(x)在a,b上的最小值是a，且最大值是b.22请解答以下问题：判断函数g(x)x3能否属于会合M？并说明原因.假如，请找出知足的闭区间a,b；若函数h(x)x1tM，务实数t的取值范围解:（1）设x1x2,则33221232g（x1）g（x2）x1x2（x2-

3、x1）（x2x1x2x1）（x2-x1）（x22x1）4x10g（x1）g（x2）,故g（x)是R上的减函数假定函数g（x)M，a3ba2a2则22或2a22b3bb222a22又a1,故:3t22tk0.上式对全部tR均建立,进而鉴别式412k0k1.3例6:已知函数f(x)对随意的a、bR知足：f(ab)f(a)f(b)6,当a0时,f(a)6；f(2)12。1）求：f(2)的值；2）求证：f(x)是R上的减函数；（3）若f(k2)f(2k)3，务实数k的取值范围。解:（1）f(ab)f(a)f(b)6,令ab0，得f(0)6令a2,b2，得f(2)0（2）证明：设x1,x2是R上的随意两

4、个实数，且x1x2，即x2x10，进而有f(x2x1)6，则f(x2)f(x1)f(x2x1)x1f(x1)f(x2x1)f(x1)6f(x1)f(x2x1)60f(x2)f(x1)即f(x)是R上的减函数（3）f(ab)f(a)f(b)6,令a1,b1，得f(1)3f(k2)f(2k)3f(k2)3f(2k)，又f(1)3，f(2)0即有f(k2)f(1)f(2k)f(2)f(k2)f(1)6f(2k)f(2)6f(k2)1f(2k)2又f(x)是R上的减函数(k2)1(2k)2即k3实数k的取值范围是k3例7:已知定义域为0,1的函数f(x)同时知足以下三个条件：.对随意的x0,1，总有f

5、(x)0；.f(1)1；.若x10，x20，且x1x21，则有f(x1x2)f(x1)f(x2)建立.则称f(x)为“友情函数”，请解答以下各题：(1)若已知f(x)为“友情函数”，求f(0)的值；(2)函数g(x)2x1在区间0,1上能否为“友情函数”？并给出原因解:（1）取x1x20得f(0)f(0)f(0)f(0)0又由f(0)0，得f(0)0（2）明显g(x)2x1在0,1上知足1g(x)0；2g(1)1.若x10，x20，且x1x21，则有g(x1x2)g(x1)g(x2)2x1x21(2x11)(2x21)(2x21)(2x11)0故g(x)2x1知足条件1、2、3，所以g(x)2

6、x1为友情函数urr(3,urrA为锐角.例8:已知向量m(sinA,cosA),n1)且g1，且mn（1）求角A的大小；（2）求函数f(x)cos2x4cosAsinx(xR)的值域解：由题意得mgn3sinAcosA1,2sin(A)1,sin(A)1.662由A为锐角得A66,A3（2）由（1）知cosA1,2所以f(x)cos2x2sinx12sin2x2sins2(sinx1)23.22由于xR，所以sinx1,1，所以，当sinx1()3.时，fx有最大值22当sinx1时，f(x)有最小值3,所以所求函数f(x)的值域是33，2例9:已知函数f(x)sin2x3sinxcosx2

7、cos2x,xR.（1）求函数f(x)的最小正周期和单一增区间；（2）函数f(x)的图象能够由函数ysin2x(xR)的图象经过如何的变换获得？解：（1）f(x)1cos2x3(1cos2x)2sin2x23sin2x1cos2x3sin(2x)3.22262f(x)的最小正周期T2.由题意得2k2x2k,kZ,2262即k3xk,kZ.f(x)的单一增区间为k,k6,kZ.63（2）先把ysin2x图象上全部点向左平移个单位长度，获得ysin(2x)的图象，31236再把所得图象上全部的点向上平移ysin(2x的图象个单位长度，就获得)262例10：已知函数f(x)sinx(xR)，且f1.

8、36(1)求的最小正当及此时函数yf(x)的表达式；(2)将(1)中所得函数yf(x)的图象结果如何的变换可得y1sin1x的图象；22(3)在(1)的前提下，设25346,3,6,3,f()5,f()5，求tan的值；求cos2()1的值解：(1)由于f1，所以sin1，663于是+2k(kZ)，即112k(kZ)，632故当k=0时，获得最小正当1.此时f(x)sinx3.(2)(方法一)先将ysinx的图象向右平移个单位得y=sinx的图象；33再将所得图象上各点的横坐标伸长到本来的2倍(纵坐标不变)得ysin1x的图象；2最后将所得图象上各点的纵坐标减小到本来的1倍(横坐标不变)得y1sin1x的图象.222(方法二)先将ysinx的图象各点的横坐标伸长到本来的2倍(纵坐标不变)得3ysin1x的图象；23再将所得图象向右平移2个单位得ysin1x的图象;32最后将所得图象上各点的纵坐标减小到本来的1倍(横坐标不变)得y1sin1x的图象.222(3)由于f()3,f()4，55所以sin3,sin43535.由于2,5,6,363所以,0.3,3,22于是cos4,cos