人教A版新教材必修第一册《4.1.1 n次方根与分数指数幂》教案（定稿）

1、4.1.1n次方根与分数指数幂学习目标1.理解n次方根、根式的概念.2.能正确运用根式运算性质化简求值.3.会对分式和分数指数幂进行转化.4.掌握并运用有理数指数幂的运算性质导语公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希伯斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示，希伯斯的发现导致了数学史上第一个无理数eq r(2)的诞生这就是本节课我们要学习的根式一、n次方根问题1如果x2a，那么x叫做a的什么？这样的x有几个？x3a呢？提示如果x2a，那么x叫做a的平方根，这样的x有两个；如果x3a，那么x叫做a的

2、立方根，这样的x有一个问题2类比平方根、立方根的概念，试着说说4次方根、5次方根、10次方根等，你认为n次方根应该是什么？提示比如(2)416，我们把2叫做16的4次方根；(3)481，我们把3叫做81的4次方根；(2)532，我们把2叫做32的5次方根；(2)101 024，我们把2叫做1 024的10次方根等类比上述过程，我们可以得到：如果2na，那么我们把2叫做a的n次方根知识梳理1n次方根的定义一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且nN*.2n次方根的性质n为奇数n为偶数aRa0a0a1)(4)eq r(n,an)|a|eq blcrc (avs4alco1(a，a0

3、，,a，a0)(n为大于1的偶数)注意点：(1)对于(eq r(n,a)na，若n为奇数，则aR；若n为偶数，则a0.(2)(eq r(n,a)n与eq r(n,an)意义不同，比如eq r(3,33)3，eq r(4,34)3，而(eq r(4,3)4没有意义，故(eq r(n,a)neq r(n,an).(3)当a0时，(eq r(n,a)neq r(n,an)；当a0且n为奇数时，(eq r(n,a)neq r(n,an)；当a0且n为偶数时，对于eq r(n,an)要注意运算次序例1(1)化简下列各式：eq r(5,25)(eq r(5,2)5；eq r(6,26)(eq r(6,2)

4、6；eq r(4,x24).解原式(2)(2)4.原式|2|2224.原式|x2|eq blcrc (avs4alco1(x2，x2，,x2，x2.)(2)已知3x3，求eq r(x22x1)eq r(x26x9)的值解原式eq r(x12)eq r(x32)|x1|x3|，3x3，当3x1时，原式(x1)(x3)2x2；当1x3时，原式(x1)(x3)4.原式eq blcrc (avs4alco1(2x2，3x1，,4，1x3.)延伸探究在本例(2)中，若将“3x3”变为“x3”，则结果又是什么？解原式eq r(x12)eq r(x32)|x1|x3|.x3，x11.)二、分数指数幂问题3那

5、么被开方数的指数不能被根指数整除的根式，比如eq r(3,a2)，eq r(4,a2)，eq r(3,a5)，eq r(9,a3)，a0，是否也可以表示为分数指数幂的形式？如何表示？提示eq r(3,a2)，eq r(4,a2)，eq r(3,a5)，eq r(9,a3).知识梳理根式与分数指数幂的互化(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：eq r(n,am)(a0，m，nN*，且n1)；(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：eq f(1,r(n,am)(a0，m，nN*，且n1)；(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义(4)整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：a

6、rasars(a0，r，sQ)；(ar)sars(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)拓展：eq f(ar,as)ars(a0，r，sQ)eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,b)req f(ar,br)(a0，b0，rQ)注意点：(1)分数指数幂不可理解为eq f(m,n)个a相乘，它是根式的一种写法(2)正数的负分数指数幂总表示正数，而不是负数例2(1)化简的结果是()A.eq f(3,5) B.eq f(5,3) C3 D5(2)eq r(3,ar(a)(a0)的分数指数幂表示为()A B C D都不对(3)化简eq r(a)eq r(3,a2)(a0)的

7、结果是()A.eq r(3,a) B.eq r(6,a7) C.eq f(1,a)eq r(6,a) D.eq r(6,a)答案(1)A(2)A(3)B解析(1)原式eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,3)1eq f(3,5).(2)原式.(3)原式eq r(6,a7).反思感悟根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题跟踪训练2(1)求值：eq r(3,f(8,27)_.(2)用分数指数幂表示aeq r(5,f(1,a3)(a0)_.答案(1)

8、eq f(2,3)(2)解析(1)原式 eq f(2,3).(2)原式 .三、有理数指数幂的运算性质例3(1)_.(式中字母均是正数)答案eq f(1,a)解析原式a1eq f(1,a).(2)计算：.解原式eq f(5,3)eq f(2,3)122.反思感悟关于指数式的化简、求值问题(1)无论是化简还是求值，一般的运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减(2)仔细观察式子的结构特征，确定运算层次，避免运用运算性质时出错跟踪训练3(1)；(2)(x，y0)解(1)原式eq f(3,2)1eq f(4,9)eq f(4,9)eq f(1,2).(2)原式x2y.1知识清单：(1)n次方根的概念、表示及

9、性质(2)根式的概念及性质(3)分数指数幂与根式的相互转化(4)分数指数幂的运算性质2方法归纳：转化法3常见误区：(1)对于eq r(n,a)，当n为偶数时，a0.(2)混淆(eq r(n,a)n和eq r(n,an).1(eq r(4,2)4运算的结果是()A2 B2C2 D不确定答案A解析(eq r(4,2)42.2若aeq f(1,4)，则化简eq r(4a12)的结果是()A4a1 B14aCeq r(4a1) Deq r(14a)答案B解析aeq f(1,4)，4a10，eq r(4a12)|4a1|(4a1)14a.3在 a2nana3n；223365；323281；a2a35a；

10、(a)2(a)3a5中，计算正确的式子有()A4个 B3个C2个 D1个答案C解析a2nana3n，正确；652535，故223365，故错误；32329981，正确；a2a3a5，故错误；(a)2(a)3(a)5，故错误4计算：0.25eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)4420_.答案4解析原式eq f(1,4)1641eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)14444.1若a是实数，则下列式子中可能没有意义的是()A.eq r(4,a2) B.eq r(5,a) C.eq r(5,a) D.eq r(4,a)答案D解析当a0，b0)的结果是()A.eq f

11、(2a,3b) Beq f(2a,3b) C.eq f(16,81a4b4) Deq f(1,81a4b4)答案C解析eq r(3,blc(rc)(avs4alco1(f(8a3,27b3)4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2a1,3b)4eq f(16,81a4b4).4下列等式一定成立的是()A BC(a3)2a9 D答案D解析同底数幂相乘，指数相加，故A，B错误；因为(am)namn，326，故C错误；同底数幂相除，指数相减，故D正确5若a0，将eq f(a2,r(ar(3,a2)表示成分数指数幂，其结果是()A B C D答案C解析由题意得eq f(a2,r(ar(3,

12、a2).6(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是()Aeq r(x)B.eq r(6,y2)(y0)Ceq r(4,blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)3)(x0)D(x0)答案BCD解析A项错误，eq r(x)(x0)，而eq r(x)(x0)；B项正确，eq r(6,y2)(y0)；C项正确，eq r(4,blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)3)(x0)；D项正确，(x0)7当x0时，xeq r(4,x4)eq f(r(3,x3),x)_.答案1解析原式x|x|eq f(x,x)xx11.8方程3x1eq f(1,9)的解是_答案x1解析3x1eq f(1,9)

13、32x12x1.9化简下列各式：(1)eq r(r(5)32)eq r(r(5)22)；(2)eq r(1x2)eq r(3x2)(x1)解(1)eq r(r(5)32)eq r(r(5)22)|eq r(5)3|eq r(5)2|3eq r(5)eq r(5)21.(2)当1x3时，eq r(1x2)eq r(3x2)|1x|3x|x13x2；当x3时，eq r(1x2)eq r(3x2)|1x|3x|x1x32x4.所以原式eq blcrc (avs4alco1(2，1x0，b0)；(2)求值：.解(1) .(2)1eq f(1,4)eq f(2,3)eq f(1,10)1eq f(1,6)eq f(1,10)eq f(16,15).11已知m102，则m等于()A.eq r(10,2) Beq r(10,2) C.eq r(210) Deq r(10,2)答案D解析m102，m是2的10次方根又10是偶数，2的10次