2022高考理数复习资料讲义：第6章 数列 第1讲

1、PAGE19第六章数列第1讲数列的概念与简单表示法考纲解读1了解数列的概念和几种简单的表示方法列表、图象、通项公式，并知道数列是自变量为正整数的一类特殊函数2掌握数列求通项的几种常用方法：利用Sn与an的关系求通项；利用递推关系求通项重点、难点考向预测从近三年高考情况来看，本讲一般不单独命题预测2022年高考可能与递推数列、等差、等比数列及前n项和综合考查，涉及题型有：由Sn求an；由递推关系求an；根据anfn求最值题型一般为客观题，也可能作为解答题中的一问，试题难度一般不大，属中档题型1数列的有关概念2数列的分类3数列an的an与Sn的关系1数列an的前n项和：Sna1a2an特别提醒：若

2、当n2时求出的an也适合n1时的情形，则用一个式子表示an，否则分段表示1概念辨析1相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列2根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个3若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点4如果数列an的前n项和为Sn，则对nN*，都有an1Sn1Sn答案12342小题热身1已知数列an的通项公式为an912n，则在下列各数中，不是an的项的是A21B33C152D153答案C解析代n值进行验证，n1时，A满足；n2时，B满足；n12时，D满足故选C2设数列an的前n项和Snn2，则a8的值为A15B16C49D64答案A解析a8S8S78272153在数

3、列an中，a11，an1eqf1n,an1n2，则a5等于f3,2f5,3f8,5f2,3答案D解析a21eqf1,a1112，a31eqf1,a21eqf1,2eqf1,2，a41eqf1,a3123，a51eqf1,a41eqf1,3eqf2,34数列eqf1,12，eqf1,23，eqf1,34，eqf1,45，的一个通项公式an_答案eqf1n,nn1nN*解析观察数列可知，分母为以项数与项数加1的乘积形式的数列，分子是常数1的数列，各项的符号正负相间，故可得数列的通项公式aneqf1n,nn1nN*题型eqavs4al一知数列前几项求通项公式根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项

4、公式：11,7，13,19，；2,，；31,0，eqf1,3，0，eqf1,5，0，eqf1,7，0，；4eqf3,2，1，eqf7,10，eqf9,17，解1符号问题可通过1n或1n1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an1n6n52将数列变形为eqf8,91，eqf8,91，eqf8,91，aneqf8,9eqblcrcavs4alco11f1,10n3把数列改写成eqf1,1，eqf0,2，eqf1,3，eqf0,4，eqf1,5，eqf0,6，eqf1,7，eqf0,8，分母依次为1,2,3，而分子1,0,1,0，周期性出现，因此数列

5、的通项可表示为aneqf11n1,2n或aneqfblc|rc|avs4alco1sinfn,2,n4将数列统一为eqf3,2，eqf5,5，eqf7,10，eqf9,17，对于分子3,5,7,9，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn2n1，对于分母2,5,10,17，联想到数列1,4,9,16，即数列n2，可得分母的通项公式为cnn21，所以可得它的一个通项公式为aneqf2n1,n21由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略1常用方法：观察观察规律、比较比较已知数列、归纳、转化转化为特殊数列、联想联想常见的数列等方法2具体策略：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；各项的符号

6、特征和绝对值特征；对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系，如举例说明4对于符号交替出现的情况，可用1或11，N*处理如举例说明1根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：1eqf2,3，eqf4,15，eqf6,35，eqf8,63，eqf10,99，；2eqf1,2，eqf1,4，eqf5,8，eqf13,16，eqf29,32，eqf61,64，；3eqf1,2，2，eqf9,2，8，eqf25,2，；45,55,555,5555，解1这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为13,35,57,79,911，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依

7、次为2,4,6，相邻的偶数故所求数列的一个通项公式为aneqf2n,2n12n12数列可以改为eqf1,2，eqf1,4，eqf5,8，eqf13,16，eqf29,32，eqf61,64，则分母为2n，分子为2n3，所以数列的一个通项公式为an1neqf2n3,2n3数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察即eqf1,2，eqf4,2，eqf9,2，eqf16,2，eqf25,2，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为aneqfn2,24将原数列改写为eqf5,99，eqf5,999，eqf5,9999，易知数列9,99,999，的通项为10n1，故所求的

8、数列的一个通项公式为aneqf5,910n1题型eqavs4al二由an与Sn的关系求通项公式1已知Sn3n2n1，则an_答案eqblcrcavs4alco16，n1，,23n12，n2解析因为当n1时，a1S16；当n2时，anSnSn13n2n13n12n1123n12，由于a1不适合此式，所以aneqblcrcavs4alco16，n1，,23n12，n22设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_答案eqf1,n解析由已知得an1Sn1SnSnSn1，两边同时除以SnSn1得eqf1,Sneqf1,Sn11，即eqf1,Sn1eqf1,Sn1又eqf1,S11，

9、eqblcrcavs4alco1f1,Sn是首项为1，公差为1的等差数列，eqf1,Sn1n11n，即Sneqf1,n条件探究1把举例说明2中的条件“a11，an1SnSn1”改为“Sn2an1”，求an解依题意得Sn12an11，Sn2an1，两式相减得Sn1Sn2an12an，即an12an又S12a11a1，因此a11，所以数列an是以a11为首项，2为公比的等比数列，an2n1条件探究2把举例说明2中的条件“a11，an1SnSn1”改为“S24，an12Sn1”求an解因为an12Sn1，所以a22S11，即a22a11又因为a1a2S24，所以a11，a23当n2时，an2Sn11

10、，得an13ann2，又a23a1，故数列an是以1为首项，3为公比的等比数列，因此an3n1nN*1已知Sn求an的三个步骤1先利用a1S1求出a12用n1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用anSnSn1n2便可求出当n2时an的表达式3对n1时的结果进行检验，看是否符合n2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n1与n2两段来写如举例说明12Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化1利用anSnSn1n2转化为只含Sn，Sn1的关系式如举例说明22利用SnSn1ann2转化为只含an，an1的关系式，再求解如举例说

11、明2的条件探究1,212022全国卷改编设数列an满足a13a22n1an2n，则an_答案eqf2,2n1nN*解析因为a13a22n1an2n，故当n2时，a13a22n3an12n1两式相减得2n1an2，所以aneqf2,2n1n2又由题设可得a12，满足上式，从而an的通项公式为aneqf2,2n1nN*2若数列an的前n项和为Sn首项a10且2Snaeqoal2,nannN*求数列an的通项公式解当n1时，2S1aeqoal2,1a1，则a11当n2时，anSnSn1eqfaoal2,nan,2eqfaoal2,n1an1,2，即anan1anan110anan1或anan11，a

12、n1n1或ann题型eqavs4al三由递推关系求通项公式角度1形如an1anfn，求an1已知数列an中，a12，an1anlneqblcrcavs4alco11f1,n，求通项公式an解an1anlneqblcrcavs4alco11f1,n，anan1lneqblcrcavs4alco11f1,n1lneqfn,n1n2，ananan1an1an2a2a1a1lneqfn,n1lneqfn1,n2lneqf3,2ln222lneqblcrcavs4alco1fn,n1fn1,n2f3,222lnnn2又a12适合上式，故an2lnnnN*角度2形如an1anfn，求an2已知数列an中，

13、a11，aneqfn1,nan1n2，求通项公式an解aneqfn1,nan1n2，an1eqfn2,n1an2，a2eqf1,2a1以上n1个式子相乘得ana1eqf1,2eqf2,3eqfn1,neqfa1,neqf1,n当n1时也满足此等式，aneqf1,n角度3形如an1panq，求an3已知数列an中，a11，an12an3，求通项公式an解递推公式an12an3可以转化为an1t2ant，即an12antt132an3，令bnan3，则b1a134，且eqfbn1,bneqfan13,an32所以bn是以b14为首项，2为公比的等比数列，则bn42n12n1，所以an2n131叠加

14、法求通项公式的四步骤2叠乘法求通项公式的四步骤3构造法求通项公式的三步骤1数列an中，a11，an1an2n，则通项公式an_答案eqblcrcavs4alco1n，n为奇数，,n1，n为偶数nN*解析an1an2n，an2an12n2，故an2an2即数列an是奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列当n为偶数时，a21，故ana22eqblcrcavs4alco1fn,21n1当n为奇数时，an1an2n，an1nn1为偶数，故ann综上所述，aneqblcrcavs4alco1n，n为奇数，,n1，n为偶数nN*2在数列an中，a13，3n2an13n1ann1，则an_答案eqf6,3n1

15、解析3n2an13n1an，an1eqf3n1,3n2an，aneqf3n11,3n12eqf3n21,3n22eqf321,322eqf31,32a1eqf3n4,3n1eqf3n7,3n4eqf5,8eqf2,53eqf6,3n13设an是首项为1的正项数列，且n1aeqoal2,n1naeqoal2,nan1an0n1,2,3，则它的通项公式an_答案eqf1,n解析因为n1aeqoal2,n1naeqoal2,nan1an0，所以an1ann1an1nan0又因为an0，所以an1an0，所以n1an1nan0，即eqfan1,aneqfn,n1，nN*所以eqfa2,a1eqf1,2

16、，eqfa3,a2eqf2,3，eqfa4,a3eqf3,4，eqfan,an1eqfn1,n，以上各式相乘得eqfan,a1eqf1,2eqf2,3eqf3,4eqfn1,neqf1,n又a11，所以aneqf1,n题型eqavs4al四数列的性质及应用1已知aneqfn,n，那么数列an是A递减数列B递增数列C常数列D摆动数列答案A解析aneqfn,neqfn,n1eqf,n，因为函数y1eqf,在，上是减函数，所以数列an是递减数列22022大庆模拟已知数列an的通项公式ann2eqblcrcavs4alco1f6,7n，则数列an的项取最大值时，n_答案4或5解析因为an1ann3eq

17、blcrcavs4alco1f6,7n1n2eqblcrcavs4alco1f6,7neqblcrcavs4alco1f6,7neqblcrcavs4alco1f6n3,7n2eqblcrcavs4alco1f6,7neqf4n,7当n0，即an1an；当n4时，an1an0，即an1an；当n4时，an1an0，即an10数列an是单调递增数列；an1an0时，eqfan1,an1数列an是单调递增数列；eqfan1,an1数列an是单调递减数列；eqfan1,an1数列an是常数列当an1数列an是单调递减数列；eqfan1,an1数列an是单调递增数列；eqfan1,an1数列an是常数

18、列2求数列最大项或最小项的方法1可以利用不等式组eqblcrcavs4alco1an1an，,anan1n2找到数列的最大项；2利用不等式组eqblcrcavs4alco1an1an，,anan1n2找到数列的最小项1若数列an满足a12，a23，aneqfan1,an2n3且nN*，则a2022f3,2Bf1,2f2,3答案A解析因为a12，a23，aneqfan1,an2n3且nN*，所以a3eqfa2,a1eqf3,2，a4eqfa3,a2eqff3,2,3eqf1,2，a5eqfa4,a3eqff1,2,f3,2eqf1,3，a6eqfa5,a4eqff1,3,f1,2eqf2,3，a7eqfa6,a5eqff2,3,f1,32a1，a8eqfa7,a6