2022高考理数复习资料讲义：第12章 概率与统计 第9讲

1、PAGE21第6讲离散型随机变量的均值、方差和正态分布考纲解读1理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，并能根据分布列正确求出期望与方差，并能解决一些实际问题重点、难点2借助直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，掌握正态曲线的相关性质，并能进行正确求解考向预测从近三年高考情况来看，本讲是高考中的热点题型预计2022年将会考查：与分布列相结合求期望与方差，通过设置密切贴近现实生活的情景，考查概率思想的应用意识和创新意识；正态分布的考查，尤其是正态总体在某一区间内的概率题型为解答题中的一问，试题难度不会太大，属中档题型1离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为X1

2、2inPp1p2pipn1均值：称EXeqo,sup4011p12p2ipinpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的eqo,sup402平均水平2DXeqisui1,n,iEX2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值EX的eqo,sup403平均偏离程度，其算术平方根eqrDX为随机变量X的标准差2均值与方差的性质1EaXbeqo,sup401aEXb；2DaXbeqo,sup402a2DXa，b为常数3两点分布与二项分布的均值、方差4正态曲线1正态曲线的定义函数，eqf1,r2eeqsup15eqf2,22，其中实数和0为参数，称，的图象为正态分布密度曲线

3、，简称正态曲线是正态分布的期望，是正态分布的标准差2正态曲线的特点曲线位于轴上方，与轴不相交；曲线是单峰的，关于直线eqo,sup401对称；曲线在eqo,sup402处达到峰值eqf1,r2；曲线与轴之间的面积为1；当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移；当一定时，曲线的形状由确定，eqo,sup403越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；eqo,sup404越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散5正态分布1正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，bab，随机变量X满足PaXbeqiina,b,，d即a，b，正态曲线及轴围成的曲边梯形的面积，则称随机变量X服从正态分布

4、，记作XN，22正态分布的三个常用数据PXeqo,sup401；P2X2eqo,sup402；P3X3eqo,sup4031概念辨析1随机变量不可以是负数，随机变量所对应的概率可以是负数，随机变量的均值不可以是负数2正态分布中的参数和完全确定了正态分布，参数是正态分布的期望，是正态分布的标准差3随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小4一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布答案12342小题热身1已知随机变量X的分布列为X202Peqf1,3eqf1,3eqf1,3则EX与

5、DX的值分别为A0,2B0，eqf8,3C2,f8,3，0答案B解析EX2eqf1,30eqf1,32eqf1,30，DX202eqf1,3002eqf1,3202eqf1,3eqf8,32设Bn，p，若E15，D，则nA45B50C55D60答案D解析由eqblcrcavs4alco1Enp15，,Dnp1p，解得eqblcrcavs4alco1p，,n60A1B2C3D4答案B解析先求出EX1eqf1,20eqf1,31eqf1,6eqf1,3再由YaX3得EYaEX3eqf7,3aeqblcrcavs4alco1f1,324已知随机变量X服从正态分布N3,1，且PX2c1PXc3，则c_

6、答案eqf4,3解析因为3，所以正态曲线关于直线3对称，于是eqf2c1c3,23，解得ceqf4,3题型eqavs4al一离散型随机变量的均值、方差角度1已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值1已知离散型随机变量X的分布列为X632Pabc其中a，b，c成等差数列，且EX3，则DXf4,3f3,2C2D3答案C解析由题意，得eqblcrcavs4alco1abc1，,ac2b，,6a3b2c3，解得eqblcrcavs4alco1af1,6，,bf1,3，,cf1,2所以DX632eqf1,6332eqf1,3232eqf1,2eqf3,2eqf1,22角度2二项分布的均值、方差问题2由中

7、央电视台综合频道CCTV1和唯众传媒联合制作的开讲啦是中国首档青年电视公开课每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到青年观众的喜爱，为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A，B两个地区的100名观众，得到如下的22列联表：已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众是B地区当中“非常满意”的观众的概率为，且4y31现从100名观众中用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取“满意”的A，B地区的人数各是多少；2完成上述表格，并根据表格判断是否有95%的把握

8、认为观众的满意程度与所在地区有关系；3若以抽样调查的频率为概率，从A地区随机抽取3人，设抽到的观众“非常满意”的人数为X，求X的分布列和期望PK200附：参考公式：K2eqfnadbc2,abcdacbd解1由题意，得eqf,100，所以35，所以y35，因为4y3，所以y15，20，A地抽取15eqf20,1003，B地抽取20eqf20,10042非常满意满意合计A301545B352055合计6535100K2eqf100302035152,65354555eqf100,1001，所以没有95%的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系3从A地区随机抽取1人，抽到的观众“非常满意”的概率为

9、Peqf2,3，随机抽取3人，X的可能取值为0,1,2,3，PX0eqblcrcavs4alco1f1,33eqf1,27，PX1Ceqoal1,3eqblcrcavs4alco1f2,3eqblcrcavs4alco1f1,32eqf6,27eqf2,9，PX2Ceqoal2,3eqblcrcavs4alco1f2,32eqblcrcavs4alco1f1,3eqf12,27eqf4,9，PX3eqblcrcavs4alco1f2,33eqf8,27，X0123Peqf1,27eqf2,9eqf4,9eqf8,27因为XBeqblcrcavs4alco13，f2,3，所以EX3eqf2,32

10、角度3非二项分布的均值、方差问题3某省级示范性高中高三年级实验班和普通班在一个学期共同进行了四次大型考试，从年级的角度，对数学试卷中每道题的区分度作如下规定：区分度q1实验班的得分率普通班的得分率，当q1时，认为该题区分度不好从班级的角度，若在某实验班进行抽样调查，研究第12题的区分度，从班级数学成绩前8名的同学中随机抽取2人，后8名的同学中随机抽取2人，并且以抽取的4人的答题结果为依据计算区分度，区分度q2前8名同学中抽取的2名同学答题的正确率后8名同学中抽取的2名同学答题的正确率，当q2，则p的取值范围是blcrcavs4alco10，f7,12blcrcavs4alco10，f1,2bl

11、crcavs4alco1f7,12，1blcrcavs4alco1f1,2，1答案B解析根据题意，学生一次发球成功的概率为p，即PX1p，发球二次的概率PX2p1p，发球三次的概率PX31p2，则EXp2p1p31p2p23p3，依题意有EX，则p23p3，解得peqf5,2或peqf1,2，结合p的实际意义，可得00，试卷满分150分，统计结果显示数学考试成绩不及格低于90分的人数占总人数的eqf1,10，则此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为A400B500C600D800答案A解析PX90PX110eqf1,10，P90X11012eqf1,10eqf4,5，P100X11

12、0eqf2,5，则成绩在100分到110分之间的人数为1000eqf2,5条件探究若将举例说明1中“正方形”改为“矩形”，“XN1,1”变为“XN1,1，阴影部分如图所示”，则结果如何？解对于正态分布N1，1，可知1，1，正态曲线关于直线1对称，故题图中阴影部分的面积为eqf1,2P3X1P2X0eqf1,2P2X2P0和N2，eqoal2,220的密度函数图象如图所示，则有A12，12B12，12C12，12D12，12答案A解析反映正态分布的平均水平，是正态曲线的对称轴，由图知12，反映正态分布的离散程度，越大，曲线越“矮胖”，表明越分散，越小，曲线越“高瘦”，表明越集中，由图知122在某

13、次数学考试中，考生的成绩服从正态分布，即N100,100，已知满分为150分1试求考试成绩位于区间80,120内的概率；2若这次考试共有2000名考生参加，试估计这次考试及格不小于90分的人数解1由N100,100，知100，10P80120P1002010020，即考试成绩位于区间80,120内的概率为2P90110P10010110eqf1,21，P90估计及格人数约为20001683高频考点均值、方差的计算和实际应用考点分析离散型随机变量的均值、方差是高考大题的必考题型之一通常以实际问题为背景，综合考查概率计算、求分布列，计算均值、方差还应特别注意与函数知识的综合问题典例2022全国卷某

14、超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温单位：有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20,25，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率1求六月份这种酸奶一天的需求量X单位：瓶的分布列；2设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y单位：元，当六月份这种酸奶一天的进货量n单位：瓶为多少时，Y的数学期望达到最大值解1由题意知，X所有可能取值为200,300,500，由表格数据知PX200eqf216,90，PX300eqf36,90，PX500eqf2574,90因此X的分布列为X200300500P2由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，