ART算法图像重构

1、图像重建概述图像重建是图像处理中的一个重要分支，广泛地应用于物体内部结构图像的检测和观察中，它是一种无损检测技术。关于图像处理的一些基本内容，如对图像的几何处理，图像的增强，还有复原等，均是从图像到图像，即输入的原始数据是图像，处理后输出的仍是图像。而图像重建是从数据到图像。图像重建的三种常用检测模型：透射模型、发射模型、反射模型-我我们从CT谈起起计算机层层析成像像（Computed Tomography, CT）是通通过对物物体进行行不同角度度的射线线投影测量来获获取物体体横截面信息的成成像技术术。CT的核核心技术术是由投投影数据据来重建建图像的的理论，其实质是是由扫描描所得到到的的投投影

2、数据据来求出出成像平平面上每每个点的的衰减系系数值。二维投影影与CT值当强度为为的的x-ray通过吸吸收率为为(x,y)的均匀匀吸收物物体，由由于均匀匀吸收，则I必必是指数数下降，则有这里s表表示射线线经过的的体内距距离长度度1、我们们假设切切片（物物体横截截面，断断面）无无限薄。2、我们认认为,一一幅图像像在任意意点(x,y) 上的的灰度值值正比比于那个个点的相相对线性性衰减系系数(x,y)。CT任意意角度扫扫描经坐标系系旋转变变换后可可得：所以所谓谓投影是是测测量值，是吸收收系数沿沿着射线线经过直直线的积积分。实实际上的的问题是是沿着若若干条直直线的积积分估算算值来计计算(x,y)值。而对

3、于任任意角度度扫描，需要用用旋转坐坐标来描描述问题题，建立立置于扫扫描系统统之上的的旋转坐坐标系，即即让射线线束与旋旋转坐标标系的的轴轴平行行：所以角角每旋转转1度就就可以取取一组投投影数据据，可得得到180组不不同的投投影。CT就是是在收集集各角度度的投投影数据据后，利利用重建建算法处处理得到到物体的的图像。是离散值值，是测测出值！Radon变换换Radon变换换是计算算图像在在某一指指定角度度射线方方向上的的投影的的变换方方法。二维函数数f(x,y)的投影是是其在确确定方向向上的线线积分，如下图图所示，二维函函数f(x,y)在水平平方向的的线积分分就是f(x,y)在y轴上的投投影，二二维函

4、数数f(x,y)在垂直直方向的的线性积积分就是是f(x,y)在x轴上的投投影。Radon变换换（续）由此，可可以沿任任意角度度计计算函函数的投投影，计计算图像像f(x,y)在任意意角度的的Radon变变换。中心切片片定理密度函数数在某一一方向上上的投影影函数的的一维傅傅立叶变变换函数数是原密密度函数数的二维维傅立叶叶变换函函数在平平面上沿沿同一方方向且过过原点的的直线上上值。滤波反投投影算法法的原理理1、在不不同的角角度下取取得足够够多的投投影数据据(Radon变换)2、将这这些投影影数据做做一维的的Fourier变换换，那么么变换后后的这些些数据将将充满整整个(u,v)平面。（许多多过原点点

5、成不同同夹角的的直线）3、也就就是说，F(u,v)的全部部值都为为已知，那么我我们将其其做一次次二维的的Fourier逆变变换就可可以得到到原始的的衰减系系数函数数f(x,y)二维傅立立叶反变变换作坐标变变换，令令：可得出：表示对投投影函数数的Fourier变变换进行行滤波变变换，其其中是是滤波函函数。由傅立叶叶变换性性质可知知频域域中的滤滤波运算算可等效效地在空空域中用用卷积运运算来完完成所以要实实现对投投影数据据实现图图像重建建，可以以采取两两步：首首先将投投影数据据和响应应脉冲滤滤波器进进行卷积积，然后后由式对对不同旋旋转角求和，就就能实现现图像重重建。这这就是卷卷积法进进行图像像重建的

6、的基本思思路和方方法。卷积可看看作一种种滤波手手段，卷卷积投影影相当于于对数据据先滤波波再将结结果逆投投影回来来，这样样可以使使模糊得得到校正正。所以：式中h(R)为为滤波函函数纠的的空域形形式反投影算算法举例例基本原理理是将所所测得的的投影值值按其原原路径平均的分配到每每一点上上，各个个方向上上投影值值反投影后，在影影像处进进行叠加加，从而而推体出出原图像像。而滤波却却是要投投影函数数的一维维Fourier加上上权重因因子。算法举例例123456算法举例例根据反投投影算法法x1=p5=5x6=p2+p3+p5=18平均化处处理，除除以投影影线数目目xi=xi/6000005200100000

7、056237181271108136250.8310.3300.51.16321.160.061.661.330.160.510.330.83反投影重重建后原像素值值再除以投投影线数数，平均均化断层平面面中某一一点的密密度值可可看作这这一平面面内所有有经过该该点的射射线投影影之和的的平均值值123456伪迹反投影重重建后，原来为为0的点点不再为为0，形形成伪迹00000520010000000.8310.330.51.16321.160.061.661.330.160.510.330.83原像素值值再除以投投影线数数，平均均化星状伪迹迹我们考虑虑孤立点点源反投投影重建建，中心心点A经经n条投投

8、影线投投影后，投影值值均为1：p1=p2=.=pn=1因此重建建后而其他点点均为1/n这类伪迹迹称为星星状伪迹迹1/n1/n1/n1/n11/n1/n1/n1/n000010000星状伪迹迹产生星状状伪迹的的原因在在于：反投影影重建的的本质是是把取自自有限物体空间间的射线线投影均均匀地回回抹(反反投影)到射线线所及的的无限空间的各各点之上上，包括括原先像像素值为为零的点点（其实就是是投影数数据少产产生的！）(a)孤孤立点源源(b)反反投影重重建图像像及星状状伪迹滤波反投投影算法法滤波反投投影法采采用先修正、后反投投影的做法，其基本本方法是是：在某某一投影影角下取取得了投投影函数数（一维维函数）

9、后，对对此一维维投影函函数作滤滤波处理理，得到到一个经经过修正正的投影影函数；然后再再将此修修正后的的投影函函数作反反投影运运算，得得到所需需的密度度函数。滤波反投投影法重重建图像像有以下下几个步步骤：（1）对对某一角角度下的的投影函函数作一一维傅立立叶变换换；（2）对对（1）的变换换结果乘乘上一维维权重因因子；（3）对对（2）的加权权结果作作一维逆逆傅立叶叶变换；（4）用用（3）中得出出的修正正过的投投影函数数做直接接反投影影；（5）改改变投影影角度，重复（1）（4）的过程程，直到到完成全全部180度的的反投影影。滤波函数数滤波函数数的选取是是滤波反反投影法法的关键键问题（1）R-L滤滤波函

10、数数由于在频频域中用用矩形函函数截断断了滤波波函数，在相应应的空域域中造成成振荡响响应，重建的的图像质质量也不不够满意意对应的频频域形式式为：理想的滤滤波函数数它它是是在高频频的权重重很大，低频的的权重很很小，所所以高频频噪声就就会很大大，所以以我们才才要对其其进行修修正（2）S-L滤滤波函数数与R-L滤波函函数不同同的是，S-L滤波函函数它的的关键是是把频域域的陡峭截止止改成缓缓慢截止止。用S-L滤波函函数重建建的图像像中振荡荡相应较较小，对对含噪声声的数据据重建出出来的图图像质量量也较R-L滤滤波函数数重建的的图像质质量要好好。但是是，S-L滤波波函数重重建的图图像在高高频响应应方面不不如

11、R-L滤波波函数好好，这是是因为S-L滤滤波函数数在高频频段偏离离了理想想的滤波波函数对应的频频域形式式为：一、滤波波反投影影matlab实现%P=imread(lena.jpg);P =phantom(256);%P=rgb2gray(O);R =radon(P,0:179);I0= iradon(R,0:179,linear,Ram-Lak);I1= iradon(R,0:179,linear,Shepp-Logan);I2=iradon(R,0:179,linear,cosine);I3= iradon(R,0:179,linear,none);subplot(2,3,1),imshow

12、(P),title(Original)subplot(2,3,2),imshow(I0,),title(FBPR-L)subplot(2,3,3),imshow(I1,),title(FBPS-L)subplot(2,3,4),imshow(I2,),title(FBPcosine)subplot(2,3,5),imshow(I3,),title(UnfilteredBP)图像的细细节对应应的是高高频部分分，轮廓廓对应的的是图像像的低频频部分，所以因因为没有有滤波，细节部部分恢复复的不好好，呈现现很“模模糊”的的情况二、投影影数据的的多少对对图像重重建效果果的影响响一个典型型实例：在matla

13、b图像处处理工具具箱中，有一个个phantom函数数，可以以用来创创建头部部的剖视视图，首首先创建建一个头头部的256256剖视图图，然后后分别计计算3组组不同的的Radon变变换，第第一组采采用30个投影影，第二二组采用用90个个投影，第三组组采用180个个投影，用以比比较采用用不同组组数的投投影参数数重建的的图像与与原始图图像的差差别。Radon逆变变换由测试结结果可以以看出：第一组组采用30个投投影，效效果较差差；第二二组采用用90个个投影，效果较较好；第第三组采采用180个投投影，效效果很好好，与原原始的图图像非常常接近。这说明可可以通过过增加投投影的数数目，来来提高重重建图像像的质量

14、量。ART算算法滤波反投投影算法法要求投投影数据据必须完完全，分分布必须须均匀。具体地地说就是是，平移移采集投投影数据据时，应应覆盖全全部物体体区域；相邻射射线间均均为d。然而实际际应用中中，有时时无法测测到大量量的投影影数据。例如做做CT时时，为了了避免心心脏器官官受辐射射过久，为了减减少剂量量，投影影数据采采集不足足；迭代重建建算法就就能解决决上述滤滤波反投投影算法法无能为为力的场场合啦！ART算算法ART（代数重重建法）是一个个迭代的的过程，它是一一开始就就在离散散域中进进行的,首先把把图像离离散化，即将欲欲重建的的未知图图像离散散成一个个J=n*n重重建图像像网格。根据成像像的物理理过

15、程和和相应的的数学模模型建立立待重建图图像和投影数据据之间的代代数方程程组，那那么图像像重建问问题就可可以转化化为解线线性方程程组问题题。x1x2x3x4x5X6x7x8x9x1x2x3x4x5X6x7x8x91号2号3号4号号迭代重建建的模型型一重建模型型一迭代重建建的模型型二迭代重建建的模型型三x1x2x3x4x5X6x7x8x9x1x2x3x4x5X6x7x8x91号5号4号8号以模型三三为例，不失一一般性如图为一一3*3像素的的图像的的x1,x2,x9为相相应的像像素值，则各射射线和为为：迭代重建建算法的的思路求图像矢矢量x的的方法一一求图像矢矢量x的的方法二二此方法会会产生严严重的伪

16、伪迹。不不是我们们所期望望的。但此方法法的思想想有助于于我们理理解迭代代重建算算法。反投影算算法举例例基本原理理是将所所测得的的投影值值按其原原路径平均的分配到每每一点上上，各个个方向上上投影值值反投影后，在影影像处进进行叠加加，从而而推体出出原图像像。算法举例例123456算法举例例根据反投投影算法法x1=p5=5x6=p2+p3+p5=18平均化处处理，除除以投影影线数目目xi=xi/6000005200100000056237181271108136250.8310.3300.51.16321.160.061.661.330.160.510.330.83反投影重重建后原像素值值再除以投投

17、影线数数，平均均化断层平面面中某一一点的密密度值可可看作这这一平面面内所有有经过该该点的射射线投影影之和的的平均值值123456伪迹反投影重重建后，原来为为0的点点不再为为0，形形成伪迹00000520010000000.8310.330.51.16321.160.061.661.330.160.510.330.83原像素值值再除以投投影线数数，平均均化星状伪迹迹我们考虑虑孤立点点源反投投影重建建，中心心点A经经n条投投影线投投影后，投影值值均为1：p1=p2=.=pn=1因此重建建后而其他点点均为1/n这类伪迹迹称为星星状伪迹迹1/n1/n1/n1/n11/n1/n1/n1/n000010000星状伪迹迹产生星状状伪迹的的原因在在于：反投影影重建的的本质是是把取自自有限物体空间间的射线线投影均均匀地回回抹(反反投