自旋模型简述

1、1、自旋是电子的基本性质之一，是电子内禀运动量子数的简称。电子自旋的概念是由Uhlenbeck和Goudsmit为了解释碱金属原子光谱的精细结构以及反常Zeeman效应而提出的。他们认为电子的运动与地球绕太阳运动相似，电子一方面绕原子核运动，从而产生了相应的轨道角动量；而另一方面它又有着自转，其自转的角动量为h!2，并且它在空间田可方向的投影都只能取两个值，即土力/2（也就是自旋向上和向下两个状态T，），与自旋相对应的磁矩则是eh/2mco当然，这样带有机械性质的概念是不正确的，而自旋作为电子的内禀属性，是标志电子等各种粒子（如质子、中子等）的一个重要的物理量。(0iri0(i-i)对于自旋这

2、个自由度，我们一般用算符金表示（这里的记号人表示算符，在下文中为了简便我们将略去这一记号）。因为自旋角动量与轨道角动量有着相同的特征，所以一般也认为它们具有相同的对易关系，即sxs=ihso在这里我们引入泡利算符s=知2。由于s沿任何表象的投影都只能取土知2两个值，即沿任何方向的投影只能取1这两个值，所以泡利算符的每个分量都可以用2x(0iri0代表铁磁相互作用，而J0代表反铁磁相互作用，巴为Bohr磁矩，h是外磁场。我们知道交换相互作用和任何一种经典的相互作用都没有对应，它是一种量子行为，是由粒子的全同性产生的相互作用。为了理解这种特殊的相互作用，通常以氢分子这种最简单的模型为例来说明。如图

3、1.1所示，一个氢分子的系统，由两个原子核a,b，以及两个电子1,2组成。rmn代表粒子m与粒子n之间的距离，其中m,n=a,b,1,2,且mno氢分子的哈密顿量可以写为：2L,e2e2e2e2e2e2H二2+2人+-2m12rrrrrra1a2b1b212abG=-竺2聖2m1ra1(2L上2聖2m2rr12e2e2ra2rbr12e2e2ra2rb1(1-5)(1-6)其中Ha与Hb(2)是两个孤立氢原子的哈密顿量，V(1,2)是两原子间的相互作用，而哈密顿量(1-5)中的最后一项是常数，对本征态没有影响。我们用修与申b(2)分别代表Ha与Hb两个本征态，则乜(1)是下列Schroding

4、er方程的本征态：(1-7)IhG)+H(2)二E(1-7)ab000有粒子的全同性可知修(2)%(1)也是Schrodinger方程(1-7)的本征态(相当于将电子1与电子2互换)。考虑到电子自旋的波函数，以及对Fermi子波函数反对称的要求，我们可以写出氢分子基态波函数的近似形式：中二G)pG)+(tip(2)b6,2)IabbaA，(1-8)中=IGb(2)一(1)p(2)(1,2)IIabbaS这里化(1,2)与(1，2)分别是电子波函数的单态和三重态。所以，中I态两电子反平行,而中H态两电子平行。从哈密顿量(1-5)出发，这两个波函数所对应的能量为：E=2E+(1-9)0r1+A2(

5、1-9)abE=2E+聖+UJ0r1一A2ab其中U是库伦排斥能，而J是交换相互作用能，A为a，b原子波函数的重叠积分：U=pG”V6,2)p(2)2dtdtTOC o 1-5 h zQII方I12J=p*GIp*(2)V6,2b(2)p(1)dtdt，(1-10)QbQb12A=Op(1)dt=p(2)p()dTQb1Qb2这里加，dT2为电子1，2的全空间积分，而A显然是在0和1之间的。因此对于能量气和EII我们，当J0时，EI0时，EII0时，代表铁磁的交换相互作用，它使得近邻自旋有着同方向排列的趋向；当J0代表铁磁相互作用，巴为Bohr磁矩，h是外磁场。对于一维情况，每个自旋只有两个近

6、邻。现在采用周期性边界条件，即sN+1=s1，为晶格中的自旋数目现将一维晶格弯成一个环，当N时，边界效应将不会影响到体系的热力学性质。根据如上的条件，可将哈密顿量Hssi+s2i(1-15)ii+ii+i其相应的配分函数为：Q(T,h)Q(T,h),，円exp11si=1sn=11.卩hJss+Vs+skT“ii+12ii+1B(1-16)在这里我们引入矩阵P,其矩阵元定义为：sPsii+1-sPsii+1-exp”Jss+IkTii+12Bs)ii+1(1-17)因为s与si+1都能取1两个值，所以P是22的矩阵:s=+1Psiis=+1Psii、s=1Ps+1i+1+1i+1s=+1Psi

7、is=1Psii(1-18)J+yBh)kBTe-JkBTe-JkBTeJ-忖)kBTsPssPssPssP1223N-1NNs2=Tr6ns2=Tr6n)(1-19)s=1(1-19)NsPnss=11将P矩阵对角化得，P=0P=0、九丿(1-20)冷和九即为矩阵P的本征值，由下面的久期方程决定,(1-26)(1-26)(1-26)(1-26)e(J+pBh)kBTeJkBT(1-21)(1-26)(1-26)(1-26)(1-26)(1-26)(1-26)(1-26)(1-26)其解为：，eJkBT，eJkBT九。+-现在将等式(1-20)代入(1-19)，配分函数可以表达为：1+(1-2

8、3)Q(T,h)，n+N，1+(1-23)+所以，当N时，我们得到:lim丄lnQ(T,h)qN8N，+lncoshkT1，+lncoshkT1B0都有M(T,0)=0，也就是说Ising模型在一维的情况下不存在自发磁化，不会发生顺磁-铁磁转变。从物理上看，任何温度下自旋的平均取向由两个对抗的因素相互竞争决定，即能量趋向最小而熵趋向最大，使得自由能达到最小值。在一维情况下，由于近邻数低，吏得自旋排列在同方向的倾向不足以对抗使熵极大的倾向，结果在任何有限温度下都不能形成自发磁化。-10-505-10-505100505010.O.01.-图1.3维Ising模型在不同温度下,磁化强度M随外场h的

9、变化曲线。图1.4一维Ising模型在有限温度下长程序被破坏的示意图。如同上文所说,当自旋排列在同方向的倾向不足以对抗使熵极大的倾向时,(1-30)(1-30)自旋往往会在一个较小的尺度内保持着同方向的排列,形成所谓短程序(ShortRangeOrder)，而在较大的尺度内失去这种有序的状态，也就是破坏了所谓长程序(LongRangeOrder)。当我们使用蒙特卡洛方法(MonteCarloMethod)来计算一维Ising模型，常常得到如图1.4所示的结果，在某个小范围内，如从格点1到格点4(或者从格点5到格点10)体系可以看作存在自发磁化，而在整体上看(从格点1到格点N)向上的自旋和向下的

10、自旋数目在统计上看是相等的。对于二维Ising模型，我们考虑正方晶格，每个自旋有4个最近邻。在零磁场下，系统的自由能可以表达为：F6,0)F6,0)Q6,0)(1-30)(1-30)(1-27)-2ln(2sinh2pj)+卩：血)e其中coshy(w)=cosh2cosh20-coshwsinh2sinh20，而=J，e=tan_ie_2j。系统内能则可以写为：u6,0)-u6,0)-(F)-Jcoth2J1+m“K(m)兀1(1-28)(1-30)(1-30)(1-30)(1-30)这里的K1(m)是第一类椭圆积分，兀2d兀2d1-m2sin2(1-29)(1-30)(1-30)(1-30

11、)(1-30)其中m=sinh2PJ/cosh22pJ，m“=2tanh22J-1。而临界点由下式确定:kT匚。(I)Np11sinh2pJ丄48TTBC而对于平均场近似(MeanFieldApproximation/简称MFA)所得的磁化强度可以表达为：M(T,hM(T,h)NpB=tanhqJM+ph1BkTB(1-33)(1-30)(1-30)(1-30)(1-30)其中q是最近邻自旋的数目，对于二维正方晶格来说q=4。T(IC)图1.5严格解与平均场近似所得二rising模型磁化强度的比较。在图1.5中，与平均场近似所得的解(TC=4K)相比，严格解(TC=2.269K)有着更低的临界

12、温度TC，而且磁化强度在TTC-0有着更陡的温度变化率。平均场近似忽略了系统的涨落，而涨落是倾向于破坏有序的，所以在平均场近似下所得的T是高于实际体系的，磁化强度的变化也反映的这一特点。在这里我们需要注意，在平均场近似所得的结果中，Ising模型在一维的情况下存在着自发的磁化，这个结果是错误的。在前文我们提过，在一维系统中由于近邻数目低，系统的涨落完全抑制了有序，而平均场近似忽略了系统的涨落才得到了有序相。Ising模型自Ising提出后，有了很多的发展，不仅是解法的多样化，其具体形式也发生了不少变化。Ising模型的一些重要拓展成为描述相变(比仅仅是磁性)等问题重要工具。比如说横场伊辛模型(

13、Transverse-fieldIsingmodel，简称TIM)，它是于1963年由Gennes提出26。TIM是在Ising模型的基础上考虑了横向外场的作用，所谓横向外场，是指外场的方向垂直于Ising模型中自旋投影的方向。在这里横向外场可以看作是晶体内部横向遂穿效应的一种等效，从而可以应用于零温的量子相变。TIM的哈密顿量可以写成：H一JSzSzsx,(1-34)ijii,ji这里O是横向场，也可以看作是遂穿积分，决定了从一个势能极小态到另一个势能极小态的遂穿几率。TIM被广泛运用到多种体系，比如量子自旋玻璃，量子弛豫，量子磁滞，量子铁电等，详细的内容我们将在第三章中做具体的阐述。我们再

14、说Ising模型的另一种拓展形式弹性伊辛模型(ElasticIsingModel，简称EIM)。我们知道，晶体中的原子(离子)受到其周围的原子(离子)作用，被束缚在晶格格点，也就是平衡位置周围做微小的振动，可以用劲度系数(stiffnessfactor)k来描述。在EIM中，交换相互作用J不再是常数，而是同离子间的距离存在某种类似于弹性能的关系，新的弹性作用使得原子产生位移，出现新的平衡位置。当自旋以某种有序状态排列时，弹性交换相互作用使得晶格中的某些原子产生同向的位移。这样的特性对于解释某些自旋共线排列的多铁性材料有着重要的意义，我们将在第四章中作具体的介绍。XY模型简述XY模型是Ising

15、模型的延伸，允许自旋在(xy)平面内转动。当仅考虑最近领交互作用时，体系的哈密顿量可以表示为：H二JS-S二JcosG，0，(1-35)ijijijij这里J表示交换作用常数，S,为位于格点/的自旋，求和包括所有的最近邻晶格点，勺为第i个自旋相对于x轴的夹角。对于XY模型，最为重要的就是它的KT相变。早在1966年，Mermin和Wagner就严格证明了对于二维或二维以下具有连续对称性和短程相互作用的自旋体系，在有限温度下由于热扰动或量子波动不可能形成长程序。所以在二维XY模型中，不可能存在长程的磁有序。1973年，J.M.Kosterlitz和D.J.Thouless提出了拓扑序和拓扑性相变的概念，建立了二维XY模型的KT相变理论。他们在研究二维XY模型时发现：低温下局域自旋会形成正反涡旋两两配对，当温度升高到相变的临界温度时，这种配对被热运动所拆散，出现独立运动的正反涡旋。这种新的相变被称为Kosterlitz-Thouless相变（KT相变）。它的特点是：尽管体系在相变点两侧的序参量总为零，但是温度的变化会引起关联函数和拓扑性质的本质性改变，是一种拓扑相变。具体来说，体系存在两个相：低温下的准长程有序，关联函数以幂指数形式衰减，所以也称为代数磁有序；高温的无序相，关联