弯曲切应力简介

1、弯 曲 应 力第 四 章 对称弯曲的概念及计算简图 梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图 梁横截面上的正应力 梁的正应力强度条件 梁横截面上的切应力 梁的切应力强度条件 平面刚架和曲杆的内力图 梁的合理设计返回图示一矩形截面梁受任意横向荷载作用。4-5 梁横截面上的切应力 切应力强度条件F2F1q(x)一、梁横截面上的切应力 1. 矩形截面梁mmnn（1）推导公式的思路MM+dMFsFs1假想地用横截面 mm , nn 从梁中截取 dx 一段 。剪力产生 切应力。两横截面上均有剪力和弯矩。弯矩产生 正应力，F2F1q(x)mmnnxdx两横截面上的弯矩不等 。所以两截面上到中性轴距离相等的点（用 y

2、 表示）其正应力也不等。正应力（）分布图mmnnymmnnMM+dMFsFsmnnmohbdxxyz2假想地从梁段上截出体积元素 mB1 yABA1B1y体积元素 mB1 在两端面 mA1 , nB1 上两个法向内力不等。3mnnmohbdxxyzyABA1B1xzyBmnAB1A1dx4在纵截面 AB1 上必有沿 x 方向的切向内力 dFs。此面上也就有切应力 yxzyBmnAB1A1dxdFsmnnmohbdxxyzyABA1B1yxzyBmnB1A1因为微元段 dx 的长度很小，所以假设切应力在 AB1 面上均匀分布。AdFsmnnmohbdxxyzyABA1B1dxyxzyBmnB1A

3、1AdFsmnnmohbdxxyzyABA1B1dxAB1 面的 AA1线各点处有切应力。且各点的切应力相等。yxzyBmnB1A1AmnnmohbdxxyzyABA1B1dx根椐切应力互等定理，在横截面的横线 AA1 上也应有切应力 。且横截面的横线AA1上各点的切应力相等。dFs由静力平衡方程，求出 dFs。推导公式的步骤1和分别求出 横截面 mA1和 nB1上正应力的合力234dFs 除以 AB1 面的面积得纵截面上的切应力 。 由此得到横截面上距中性轴为任意 y 的点上的切应力 。yxzyBmnB1A1AdxbdFs（2）公式推导yxzBmnAB1A11求 F*N1和 F*N2 假设

4、mm , nn上的弯矩为 M 和 M+dM 。两截面上距中性轴 y1 处的正应力为 1 和 2 。y1dAdFs用 A* 记作 mA1 的面积yxzBmnAB1A1y1dAdFsSz*是面积 A* 对中性轴 z 的静矩。同理A*为横截面距中性轴为 y 的横线以外部分 mA1 的面积。yxzBmnAB1A1y1dAdFsyxzBmnAB1A1y1dAdFs2由静力平衡方程求 dFsyxzBmnAB1A13求纵截面 AB1 上的切应力 dxbdFsBmnAB1A14横截面上距中性轴为任意 y 的点，其切应力 的计算公式。yxzdxbdFs上式为 矩形截面梁 对称弯曲时横截面上任一点处的切应力计算公

5、式。ZbyIz 整个横截面对中性轴的惯性矩b 矩型截面的宽度Sz* 过求切应力的点做与中性轴平行的直线，该线任一边的横截面面积对中性轴的静矩 其方向与剪力 Fs 的方向一致y3. 切应力沿截面高度 的变化规律nBmAxyzOy 沿截面高度的变化由静矩 Sz* 与 y 之间的关系确定。nBmAxyzOybh/2A1B1m1y1dy1可见 ，切应力沿 截面高度按抛物线规律变化。 处，（即在横截面上距中性轴最远处)，切应力等于零y = 0 处，( 即在中性轴上各点处） ，切应力达到最大值式中 ， A = b h , 为矩形截面的面积 。矩形截面切应力沿截面高度的变化如图所示。maxz截面静矩的计算方

6、法AA 为截面面积yC 为截面的形心坐标yC例题1：一矩形截面简支梁。已知 l = 3m，h = 160mm，b = 100mm， h1 = 40mm，F = 3kN，求 mm 上 K 点的切应力。l/6ABFFmml/3l/3l/3bhzKh1解：因为两端的支座反力均为 F=3kN所以 mm 截面的剪力为 Fs = 3kNl/6ABFFmml/3l/3l/3bhzKh1A*y02. 工字形截面梁横截面 腹板上 的切应力假设求应力的点到中性轴的距离为 y 。toyhbxdzyFs 距中性轴为 y 的横线以外部分的横截面面积 对中性轴的静矩。d 腹板的厚度ozydxyo(c)zy（ 2 ）最大切

7、应力也在中性轴上。这也是整个横截面上的最大切应力。（ 1 ）腹板上的切应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化 。ozy式中 中性轴任一边的半个横截面面积对中性轴的静矩 。zy3. 薄壁环形截面梁图 式 为薄壁环形梁横截面截面。环壁厚度为 ，环的平均半径为 r0 。（ r0 ）zy（1）横截面上切应力的大小沿壁厚无变化。（2）切应力的方向与圆周相切。假设：zyA=2r0 为环形截面的面积横截面上最大的切应力发生中性轴上，其值为4. 圆截面梁在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切。yzodyzod假设：（1）沿宽度 kk上各点处的切应力均汇交于 o 点 。（2）各点处切应力沿 y 方向的分量沿宽度相

8、等 。kkyoyzodkkyo为圆截面的面积最大切应力发生在中性轴上5. 等直梁横截面上最大切应力的一般公式对于 等直梁 ，其最大切应力 max 一定在最大剪力 Fs,max所在的横截面上，而且一般说是位于该截面的中性轴上。全梁各横截面中最大切应力可统一表达为b 横截面在中性轴处的宽度 全梁的最大剪力 整个横截面对中性轴的惯性矩 中性轴一侧的横截面面积对中性轴的静矩例题2 ：图示简支梁由 56 号 a 工字钢制成。求梁的最大切应力 max 和同一截面腹板部分 a 点处的切应力 a ，并分析切应力沿腹板高度的变化规律 。a1665602112.5zABF5m10m解：作剪力图75kN75kNa1

9、665602112.5zABF5m10m查型钢表,将代入公式d = 12.5mm,和a1665602112.5za 点以外的截面面积对中性轴的静矩 为a1665602112.5zdthtbz切应力的变化规律应与 Sz* 的变化规律相同。y12此式说明 沿腹板高度按二次抛物线规律变化。二、梁的切应力强度条件梁除满足正应力强度外，还需满足切应力强度。对于横力弯曲下的等直梁 ，其横截面上一般既有弯矩又有剪力。梁上最大正应力发生在弯矩最大的横截面上距中性轴最远的各点处 。而梁上最大的切应力发生在剪力最大的横截面上中性轴的各点处 。等直梁的最大切应力一般在最大剪力所在横截面的中性轴上各点处，这些点的正应

10、力 = 0 ，略去纵截面上的挤压力后，最大切应力所在的各点均可看作是处于纯剪切应力状态。讨论全梁承受均布荷载的矩形截面简支梁 C , D , E , F , G , H 各点的应力状态 。Fs 图EGHCDFmqlm在最大弯矩截面上，距中性轴最远的 C 和 D 点处于单轴应力状态 ；在最大剪力截面上，中性轴上的 E , F 点处于纯剪切应力状态 ; 而 G , H 点处于一般应力状态。M 图C , D 为单轴应力状态CDFs 图EGHCDFmqlmM 图FEE , F 为纯剪切应力状态Fs 图EGHCDFmqlmM 图G , H 为一般应力状态GHFs 图EGHCDFmqlmM 图仿照纯剪切应

11、力状态下的强度条件公式，即梁的切应力强度条件为式中 ： 为材料在横力弯曲时的许用切应力。为中性轴任一边的半个横截面面积对中性轴的静矩在选择梁的截面时，通常先按正应力选出截面，再按切应力进行强度校核。例题3 ： 简支梁受均布荷载作用，其荷载集度梁的跨长 l=3m ,横截面为, 许用弯曲正应, 许用切应力, 校核梁的强度。 力ABq(1) 梁的正应力强度校核最大弯矩发生在跨中截面上，其值为ABq梁横截面的的抗弯截面系数为横截面上的最大正应力(2) 梁的切应力强度校核矩形截面的面积为梁横截面上的最大切应力梁最大的剪力为 所以此木梁是安全的。F例题4 ：一简易起重设备如图 a 所示。起重量（包含电葫芦

12、自重）F = 30 KN。跨长 l = 5 m。吊车大梁 AB 由 20a 工字钢制成。其许用弯曲正应力 = 170MPa，许用弯曲切应力= 100MPa ，试校核梁的强度。5mAB解：此吊车梁可简化为简支梁F2.5mFC37.5kN.m+力 F 在梁中间位置时有最大弯矩 。由型钢表查得 20 a 工字钢的所以梁的最大正应力为(1) 正应力强度校核(2) 切应力强度校核在计算最大切应力时，应取荷载 F 在紧靠任一支座。例如支座 A 处所示 ，因为此时该支座的支反力最大 ，而梁的最大切应力也就最大。5mABF查型钢表中，20 a 号工字钢，有 d = 7mmFAFB+Fs,max以上两方面的强度

13、条件都满足，所以此梁是安全的。据此校核梁的切应力强度例题5 ：对于图中的吊车大梁，现因移动荷载 F 增加为 50kN ，故在 20 a 号工字钢梁的中段用两块横截面为 120mm10mm 而长度 2.2mm 的钢板加强，加强段的横截面尺寸如图所示。已知许用弯曲正应力 =152MPa , 许用切应力 =95MPa 。试校核此梁的强度。2.2m200Z22012010解：加强后的梁是阶梯状变截面梁。所以要校核（3）F 移至未加强的梁段在截面变化处的正应力（2）F 靠近支座时 支座截面上的切应力（1）F 位于跨中时跨中截面上的弯曲正应力（1）校核 F位于跨中时截面 时的弯曲正应力从型钢表中查得 20

14、 a 工字钢最大弯矩值为62.5kN.m2.2mF1.41m2.5m5mABCD1.4m跨中截面对中性轴的惯性矩为200Z22012010略去了加强板对其自身形心轴的惯性矩 。抗弯截面系数2.2mF1.41m2.5m5mABCD1.4m62.5kN.m50.4 kN.m（2）校核突变截面处的正应力，也就是校核未加强段的正应力强度该截面上的弯矩为最大从型钢表中查得 20 a 工字钢2.2mF1.41m2.5m5mABCD1.4m梁不能满足正应力强度条件。为此应将 加强板适当延长 。50.4 kN.m2.2mF1.41m2.5m5mABCD1.4m2.2mF2.5m5mABCD1.4mF 靠近任一

15、支座时，支座截面为不利荷载位置 +（3）校核阶梯梁的切应力请同学们自行完成计算。例题 ：一槽钢制成的梁受方向平行于其腹板的横向荷载作用。钢槽截面简化后的尺寸见图 。(2) 确定横截面上剪力作用线的位置。(1) 分析横截面上腹板，翼缘两部分切应力 和 1 的变化规律；q(x)tyommtyzdhb解：（1）分析腹板上切应力的变化规律腹板上切应力沿高度按二次抛物线规律变化。q(x)（2）横截面翼缘上的切应力mmnnxdxFsMFsM+dMnmmndxxnmnmdx沿翼缘厚度用纵向截面 AC 截出一体积元素 CmmnOzydxmDCuAAuDmCdxtBnmnOzydx在 Cm 的两个截面 Dm ,

16、 Cn 上 分别有由法向内力元素AuDmCdxtBndAmDCuA在 Cm 的两个截面 Dm , Cn 上 分别有由法向内力元素组成的拉力 F*N1， F*N2 。mnOzydxdAmDCuAAuDmCdxtBn由于翼缘很薄，故可认为 1 ， 2 ，沿翼缘厚度保持不变，且其值与翼缘中线上的正应力相同。mnOzydxdAmDCuAAuDmCdxtBnmnOzydxdAmDCuAAuDmCdxtBnt 为翼缘厚度u 为从翼缘外端到所取纵截面 AC 间的长度A*AuDmCdxtBn由于所以在 AC 截面上一定存在着切向内力元素因为翼缘横截面也是狭长矩形，故可采用切应力沿壁厚不变及其方向平行于翼缘长度

17、的假设。A*AuDmCdxtBn根据切应力互等定理，横截面上也应有的切应力 1平衡方程 Fx = 0AuDmCdxtBn经过整理，即得AuDmCdxtBn由切应力互等定理可知得横截面上的切应力AuDmCdxtBn式中：Fs 为横截面上的剪力Iz 为整个横截面对其中性轴的 惯性矩mnOzydx 为截面两翼缘中线间的距离mDCuA u 为从翼缘外端到要求切应力点 之间的长度mnOzydxmDCuA1 沿翼缘长度按线性规律变化 。 mm翼缘上的最大切应力发生在横截面上 翼缘与腹板的中线相接处 。切应力的指向如图所示mm（3）确定横截面上剪力作用线的位置ttomyzdhbmydy腹板上切向内力元素 d

18、A 的合力 R式中：A* 为横截面腹板部分的面积R 为腹板上的切向内力元素组成的合力ttomyzdhbmydyd A = ddy 为 横截面腹板部分的 面积元素ttomyzdhbmydy上式的 积分运算 结果与式中的 Iz 的算式接近ttomyzdhbmydymm横截面翼缘部分切向内力元素 1dA 所组成的合力 Hmmt由力系合成原理可知，上述合力的大小和方向均与 R相同 ，但作用线应与 R 相隔一个距离 e 。mmHH横截面上的剪力为一个 R 和两个 H 。 它们的合力的作用线位置，就是梁横截面上剪力的作用线位置 。mmmmHHyzemmmmHHyzAeA 点称为剪切中心（弯曲中心）。 槽钢弯