中国石油大学北京高数二期末复习题考试必备

1、 10/10中国石油大学北京高数二期末复习题考试必备 高等数学（二）期末复习题 一、选择题 1、若向量与向量 )2,1,2(-=a 平行，且满足18-=?，则=（B (24,4)-， 2、在空间直角坐标系中，方程组2 2 01x y z z ?+-=?=? 代表的图形为（C ） 圆 3、设 22 ()D I x y dxdy = +?，其中区域D 由222x y a +=I = (D) 2240 01 2 a d r rdr a =? ? 4、设的弧段为：2 3 0,1 =y x L ，则=? L ds 6（A ）9 5、级数 =-1 1 )1(n n n 的敛散性为 (B) 条件收敛 6、二

2、重积分定义式 ?=?=n i i i i D f d y x f 1 ),(lim ),(中的 代表的是 (D)以上结果都不对 7、设 ),(y x f 为连续函数，则二次积分? -1 10 d ),(d x y y x f x 等于? -1 10 d ),(d y x y x f y 8、方程222z x y =+表示的二次曲面是（A ）抛物面 9、二元函数),(y x f z =在点),(00y x 可微是其在该点偏导数存在的（B ） 充 分条件 10、设平面曲线L 为下半圆周 y =则曲线积分 22 ()L x y ds +=? (C) 11、若级数 1 n n a =收敛，则下列结论错

3、误的是 (B) 1 (2)n n a =+收敛 12、二重积分 的值与（C ）函数f 及区域D 有关； 13、已知 b a /且 ),2,4,(),1,2,1(-=-= x b a 则x =（B ） 2 14、在空间直角坐标系中，方程组222 1z x y y ?=+?=? 代表的图形为 (B 双曲线 15、设)arctan( y x z +=，则y z ?= (B) 2 )(11 y x + 16、二重积分 ? ?110 2 ),(y dx y x f dy 交换积分次序为（A ? ?x dy y x f dx 0 10 ),( 17、若已知级数 =1 n n u 收敛，n S 是它的前 n

4、 项之和，则此级数的和是 (C) n n S lim 16=， 则曲线积分2L I xyds =? 的值为 (D) 0 2 3)y +，则 z x ?=? 2cos(23)x y + d 的值为 )1(4-e 则=? b a 0 2(,)x f x y dy 113 2 14- 3)y +，则 z y ?=? 3cos(23)x y + =?x x dy y x f dx 2 ),(1 0?y y dx y x f dy ),(10 2a =，则(2sin 3cos )L x y x ds +=? 0 lim n n u = -1 22)x y =-则 (,)f x y = xy =1 2-

5、),1,0(),3,1,1(-= x b 则x = 3 = )1,1(dz 33 22dx dy + =?y y dx y x f dy 2 ),(10?x x dy y x f dx ),(10 =+1 1)(n n n u u 的和是 12S u - 22R =，则曲线积分sin L I x yds = ? 的值为 0 23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程。 23 z e xy -+-则 2x F y = 2y F x =， 1z z F e =- 对应的切平面法向量 (1,2,0)(,) x y z n F F F = 代入（1，2，0）可得法 向量：（4，2，0

6、） 则切平面方程：4(1)2(2)0(0)0 x y z -+-+-= 或240 x y +-= 2、计算二重积分 ?D y x dxdy e ，其中D 由y 轴及开口向右的抛物线 解 ： 2 1 x x y y y D e dxdy dy e dx =? 2 100 y x y ye dy ? ?=? ? 10y (ye y )dy =-? 1 2 02y y y ye e ?=-? ?1 2= 2y x =和直线1y =围成的平面区域。 3、（本题满分12分）求函数2(234)u ln x y z = +的全微分du 。 解：因为 2 2 234u x x y z ?= ?+ ， 2 32

7、34u y x y z ?= ?+ ， 28234u z z x y z ?= ?+ u u u du dx dy dz x y z ?=+?所以 222 23 8 234234234z d u d x d y d z x y z x y z x y z = + 4、（本题满分12分）证明：函数 242 ,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y x y f x y x y x y ? =+?=? 在点（0，0）的两个偏导数存在，但函数 (,)f x y 在点（0，0）处不连续。 解： =?-?+=?x f x f f x x )0,0()0,0(lim )0,0(000 lim 0=

8、?x x 同理 0)0,0(=y f 所以函数在（0，0）点两个偏导数存在。 =),(lim 0 2y x f x kx y 24242201lim k k x k x kx x x +=+? ),(lim 00y x f y x 不存 在 因此函数在（0，0）点不连续 5、（本题满分10分）用比较法判别级数 =+1 )1 2( n n n n 的敛散性。 解： n n n n n n n )2 1 ()2()12( =+ ， 而 =1 )21(n n 是收敛的等比级数 原级数收敛 6、（本题满分12分）求球面 22214x y z +=在点(1,2,3)处的法线方程。 解：设222(, ,)

9、14F x y z x y z =+-则2x F x =，2y F y = ， 2z F z = 对应的法向量 (1,2,3)(,) x y z n F F F = 代入(1,2,3)可得法向量：（2，4，6） 则法线方程： 123 123 x y z = 7、计算 ?+=D y x y x I d d )(2 2，其中 41),(22+=y x y x D 。 解： ? ? ?= 20 2 1 2 d d I 421241 =? 15 2= 8、力,F x y x =-的作用下，质点从(0,0,0)点沿22x t L y t z t ?=? =?=? 移 至(1,2,1)点，求力F 所做的功

10、W 。 ?=?s d F W L ? +-= L xdz ydy xdx ?+-=10224dt t tdt tdt 120(23)t t dt =-? 65 -= 9、（本题满分12分）计算函数sin()u x yz =的全微分。 x u sin yz =，y u xz cos yz = z u xy cos yz = x y z du u dx u dy u dz =+ sin()cos()cos()yz dx xz yz dy xy yz dz =+ 10、（本题满分10分）求级数 11 (1) n n n =+的和。 解： 111 (1)1 n n n n =- + 111 .1223

11、(1) n S n n = + ?+ 11111(1)().()2231n n =-+-+-+ 1 11 n =-+ 1lim lim(1)11n n n S n =-=+ 所以级数11 (1) n n n =+的和为1 11、求球面 22214x y z +=在点(1,2,3)处的切平面方程。 解：设222(, ,)14F x y z x y z =+-则2x F x =，2y F y = ， 2z F z = 对应的切平面法向量 (1,2,3)(,) x y z n F F F = 代入(1,2,3)可得法向量：（2，4，6） 则切平面方程：2(1)4(2)6(3)0 x y z -+-+

12、-= 或 23140 x y z +-= 12、（本题满分12分）设） （22ln y xy x z +=,求y z y x z x ?+?。 解：因为 2 22222y xy x y x y z y xy x y x x z += ?+=?； 所以 2222 22 2=+=?+?y xy x y xy xy x y z y x z x 13、求 22(1)d d D x y x y -?其中 D 是由 y x =， y =， 221x y +=在第一象限内所围成的区域。 解：令 cos sin x y ? =?=?，则(,)0,014D ? =?， 所以 1 2 2 2 4 0(1)(1)D x y dxdy d d ?-=-?16 = 14、（本题满分12 分）一质点沿曲线? ? ?=20 t z t y x 从点(0,0,0)移动到点(0,1,1)，求在 此过程中