弦长公式的应用

1、精品资源弦长公式的应用若直线 l与圆锥曲线相交于点A( x1，y1 ) ， B( x2 ，y2 ) 时，则弦 AB 的长：|AB |1k 2AB| x 2x 1 |11| y 2y 1 |k 2AB由|AB|( x2x1 ) 2( y2y1 ) 2 和 k ABy2y1即可导出这个公式。x2x1本文说明它的应用。弦长问题例 1. 已知点 A(3， 0)和 B（3， 0）， 动点 C 到 A 、B 两点的距离之差的绝对值为 2，点 C 的轨迹与直线 y=x-2 交于 D、 E 两点，求线段 DE 的长。解：设点 C（ x，y），则|CA| |CB|2 ，根据双曲线的定义，可知点C 的轨迹是双曲线

2、x 2y 21a 2b2由2a2，2c | AB|2 3得a21，b22故点 C 的轨迹方程是x2y212由x 2y 21，得 x24 x 6 02yx2因为0 ，所以直线与双曲线有两个交点。设 D( x1 ，y1 ) ，E( x2 ，y2 ) ，则x 1x 24 ， x1 x 26,故|DE |1 1 2 | x 1x 2 |2 ( x 1x 2 ) 24 x1 x 24 5求曲线的方程例 2. 已知点A( 1，4) ，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上，直线欢迎下载精品资源l ：y 2x2 与抛物线 C 交于 M1、M2 两点，若 | AM1|、| M1 M 2|、| AM 2

3、|成等比数列，求抛物线 C 的方程。解：设抛物线 C：y 22 px( p0)， M 1 ( x1，y1 ) ，M 2 ( x2 ，y2 ) ，显然点 A 在直线 l 上，y22 px，得由2 x2yy 2px2 p0 ，所以 y 1y 2p ，y 1 y 22 p由图 1，知 y14 ， y 24 ，图 1又 |M1 M2|2| AM1 | AM2 |，即121| y 1y 2 |2 211( y14 ) 11( y24)，2 22 2亦 即 ( y 1y 2 ) 24 y 1 y 2y 1 y 24 ( y 1y 2 )，1 6p 28 p2 p4 p1 6，解 得 p2 或 p8（舍去）

4、故抛物线 C 的方程为 y24x 。例 3. 已知 F 是定点， l 是定直线，点F 到直线 l 的距离为p( p0) ，点 M 在直线 l 上欢迎下载精品资源滑动，动点|FN|1N 在 MF 延长线上，且满足，求动点 N 的轨迹方程。|MN|MF |解：如图 2 所示，以点F 为原点，过点F 垂直于 l 的直线为x 轴建立直角坐标系。图 2设 N ( x， y)( x0)，则 k FNy .x由于 |MN | |MF | NF|，根据公式，得1y21y 2y 2x2 ( x p)x2 p 1x2 x，化简，得 px2y 2x p( x0) ，平方整理，得点N 的轨迹方程为( p 21) x2

5、p2 y 22 px p20( x 0) .3. 范围问题例 4.过椭圆x2y1(2 m 5) 的左焦点 F 且倾斜角为 45的直线 l 与椭圆及mm1其准线的交点从左至右依次为A 、B、C、D ，记 f ( m)| AB| |CD|，求 f ( m) 的取值范围。图 3解：由条件，知直线l： yx1，椭圆准线： xm ，A (m，m1) ， D ( m， m1).设 B( x1， y1 )， C(x2 ， y2 )，其中mx1x2m ，则欢迎下载精品资源|AB |11 2 | x 1( m )|2 ( x 1m ) ，|CD |12x 2 |2 ( mx 2 ) ，1 | mf ( m )| AB | |CD |2 | x 1x 2 |.yx1由x2y21 .得mm1( 2 m1 ) x 22 mxm 22 m0 .因为2m5所以f( m )2 m22 m212 m12 m2111102 ， 422 m93练习：设双曲线x2y21(a0， b0) 的右顶点为A ， P 是双曲线上的一个动点（异于a 2b2顶点）。从 A 引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP 分别交于 Q 和 R 两点。图 4（ 1）证