第二章第十节第一课时利用导数研究函数的单调性

1、文档编码 : CA7K6K5S8D8 HI8O10Q9X5X5 ZS6E7H8Y2E61.已知函数 fxxln x,就 fxA 组基础保分练 授课提示：对应同学用书第273 页 A.在0, 上单调递增 B.在0, 上单调递减C.在 0,D.在 0,1 e上单调递增1 e上单调递减解析： 由于函数 fxxln x,定义域为 0, ,所以 fx ln x1x0,当 fx0 时,解得 x1 e,即函数的单调递增区间为1 e, ；当 fx0 时,解得0 x1 e,即函数的单调递减区间为0,1 e . 答案： D 2.已知定义在R 上的函数 fx,其导函数 fx的大致图像如以下图, 就以下表达正确选项

2、A.fbfcfd B.fbfafe C.fcfb fa D.fcfe fd 解析： 由题意得,当x, c时, fx0,所以函数fx在, c上是增函数,由于 abc,所以 fcfbfa. 答案： C 3.2022江西红色七校第一次联考 如函数 fx2x 33mx26x 在区间 1, 上为增函数,就实数 m 的取值范畴是 A. , 1 B. , 1 C., 2 D. , 2 解析 ：fx6x26mx6,由已知条件知6,就 gx0 在1, 上恒成立 . x 1,时,fx0 恒成立 .设 gx6x 26mx当 36m240,即 2m2 时,中意 gx0 在1, 上恒成立；当 36m240,即 m2 时

3、,就需m 21,解得 m2,所以g（1） 66m60,m 2. 综上得 m2,所以实数 m 的取值范畴是 , 2. 答案： C 4.2022襄阳模拟 已知定义在 R 上的可导函数 fx的导函数 yfx,中意 fx fx,f0 1,就不等式 fxex的解集为 A.0 , B.1 , C. 2, D.4, f（x）f（x）e xf（ x）e x f（x） f（x）解析： 令 Fxe x,就 F0 1,Fxe2xe x0,故 Fx为 R 上的减函数,有 fxex等价于 Fx1,即 FxF0.故不等式 fxex的解集为 0,. 答案： A 5.2022贵港模拟 如函数 fxkx 2ln x 在区间 1

4、, 上单调递增,就 k 的取值范畴是 A. , 2 B. , 1 C.1 , D.2 , 解析： 由于 fxkx2ln x,所以 fxk2 x.由于 fx在区间 1,上单调递增,所以在区间1, 上 fxk2 x0 恒成立,即 k2 x恒成立,当 x1, 时, 02 x2,所以 k2. 答案： D 6.已知定义在区间,上的函数 fxxsin xcos x,就 fx的单调递增区间是_. 解析： fxsin xxcos xsin xxcos x,令 fxxcos x0, 就其在区间 ,上的解集为,2和 0,2,即 fx的单调递增区间为,2和0,2 . 答案：, 2和 0,27.如函数 fx的定义域为

5、 R,且中意 f22,fx1,就不等式 fxx0 的解集为 _. 解析： 令 gxfxx,所以 gxfx1.由题意知f220,所以 gx0 的解集为 2, . 答案： 2, 8.求以下函数的单调区间：1fx1 2x526ln x；2fxxcos xsin x1x0. 解析： 1 fx的定义域为 0, . fxx56 x（x2）（ x3）. x令 fx0,解得 x12, x23. gx0,所以 gx为增函数 .由于 g2当 0 x2 或 x3 时, fx0,故 fx在0,2,3, 上为增函数；当 2x3 时, fx0,故 fx在2,3上为减函数 . 所以函数 fx的单调递增区间为 0,2,3,

6、；单调递减区间为 2,3. 2fxcos xxsin x cos x xsin x. 令 fx0,得 xkkN. 当 x2k,2k1kN时, sin x0,此时 fx0；当 x2k1,2k2kN时, sin x0,此时 fx0. 故 fx的单调递减区间为 2k,2k1kN,单调递增区间为 2k1,2k2kN. ,曲线 yfx在点 1,f1处的切线 9.已知函数 fxln xk e k 为常数, e 是自然对数的底数 与 x 轴平行 . 1求 k 的值；2求 fx的单调区间 . 解析： 1 由题意得 fx1 xln xke x,又由于 f11 k e0,故 k1. 2由 1知, fx1 xln

7、x1e x,设 hx1 xln x1x0,就 hx1 x21 x 0,即 hx在0, 上是减函数 . 由 h1 0 知,当 0 x1 时, hx0,从而 fx0；当 x1 时, hx0,从而 fx 0. 综上可知, fx的单调递增区间是 0,1,单调递减区间是 1, . B 组 才能提升练 1.函数 fx的定义域为 R,f12,对任意 xR,fx2,就 fx2x4 的解集为 A. 1,1 B. 1, C., 1 D. , 解析： 由 fx 2x4,得 fx2x4 0.设 Fxfx2x4,就 Fx fx2.由于 fx2,所以 Fx 0 在 R 上恒成立, 所以 Fx在 R 上单调递增, 而 F1

8、f12 1422 40,故不等式 fx2x4 0 等价于 FxF 1,所以 x 1. 答案： B 2.2022益阳模拟 定义在0, 2上的函数 fx,fx是它的导函数,恒有fxfxtan x 成立,就有 A.3f6f B.3f 6 2cos 1 f1 C.2f 46f 6D.2f 4f3解析： 由于 fxfxtan x 且 x 0, 2,就 fxcos xfxsin x0.设 gxfxcos x,就 gxfxcos x fxsin x0,所以 gx在 0, 2上是增函数, 所以 g 3g 6,即 f 3 cos 3f6cos 6,即 f 33f 6 .故 A 正确 .同理可得 B,C,D 错误

9、 . 答案： A 3.2022长沙模拟 如函数 fx2x 2mx4ex 在区间 2, 3上不是单调函数,就实数 m 的取值范畴是 20 20A. 3,17 B. 3,1720 20C. 5,3 D. 5,3解析： 由于 fx2x2mx4e x,所以 fx2x 24mx4me x,由于函数 fx在区间2,3上不是单调函数,所以 fx0 在区间 2,3上有根,即 2x24mx4m0 在区2x 24x4间2,3上有根,所以 m在区间 2,3上有根,令 tx1,就 xt1,t3,x 14,所以 m2（t1）24（t1） 4t2t 22t2t1 t在 t3,4上有根,从而求得 m 的取值范畴为 20 3

10、,17 2 . 答案： B 4.2022遵义模拟 已知函数 fx xe1 ln x,就不等式 fe x1 的解集为 A.0 ,1 B.1 , C.0,e D.e, 解析： fx1e11 xx（ e1）x x0.当 x0,e1时, fx0,fx单调递减；当xe1, 时, fx0,fx单调递增 .由于 f1fe 1,所以 fx 1 的解集为 1,e,即不等式 1 e x e,解得 0 x1,即不等式fex1 的解集为 0,1. 答案： A 5.2022安庆模拟 如函数fx1 3x33 2x 2ax4 恰在 1,4上单调递减,就实数a 的值为_. 解析：fx1 3x332x2ax4,fxx23xa.

11、又函数 fx恰在 1,4 上单调递减, 1,4 是 fx0 的两根, a 1 4 4. 答案： 4 6.2022洛阳模拟 已知函数 fx1x axln x. 1如函数 fx在1, 上为增函数,求正实数 a 的取值范畴；2争辩函数 fx的单调性 . 解析： 1 fx1x axln x,fxax1 ax 2 a0. 函数 fx在1, 上为增函数,fxax1 ax2 0 对 x1, 恒成立,ax10 对 x1, 恒成立,1即 ax对 x1, 恒成立, a1. 1 1a xa xa2a 0,fxax2x2 , x0,当 a0 时, fx0 对 x0, 恒成立,fx的增区间为 0, . 当 a0 时,

12、fx0. x1 a,fx0. x1 a,fx的增区间为 1a, ,减区间为 0,1 a . 7.已知函数 fxax1e x,aR. 1争辩 fx的单调区间；2当 mn 0 时,证明： me nnnemm. 解析： 1 fx的定义域为 R,且 fxaxa1ex. 当 a0 时, fx ex 0,此时 fx的单调递减区间为 , . a 1当 a0 时,由 fx0,得 xa；a1由 fx0,得 xa . a1 a1此时 fx的单调递减区间为,单调递增区间为,. a a当 a0 时,由 fx0,得 xa 1 a；,a1. 由 fx0,得 xa1. a此时 fx的单调递减区间为a1 a, ,单调递增区间

13、为a2证明：当 mn0 时,要证 me nnne mm,只要证 me n1ne m1,即证e m 1me n1n . ,x 0. 设 gxe x1,x0,x就 gx（x 1）e x1x 2设 hxx 1e x1,由1知 hx在0,上单调递增, 所以当 x 0 时, hx h0 0,于是 gx0,所以 gx在0, 上单调递增,所以当m n0 时,e m 1me n1n 式成立,故当mn0 时, me nnne mm. C 组 创新应用练 1.2022长春模拟 已知函数 fx是定义在 R 上的函数,且中意 fxfx0,其中 fx为 fx的导数,设 af0, b2fln 2 ,c ef1 ,就 a,

14、b,c 的大小关系是 A.cb a B.abcC.cab D.bca解析： 令 gxexfx,就 gxe xfxfx0,所以函数gx在定义域 R 上单调递增,从而 g0 gln 2 g1,得 f02fln 2 ef1,即 abc. 答案： A 2.2022商丘模拟 设 fx,gx是定义在 R 上的恒大于 0 的可导函数, 且 fxgxfxgx0,就当 axb 时,有 A.fxgxfbgb B.fxgafagx C.fxgbfbgx D.fxgxfaga 解析： 令 Fxf（x）g（x）,就 Fxf（x）g（x） f（x）g（ x）0,所以 Fx在 R 上单调g（x）2递减 .又 axb,所以f（a）f（ x）f（b）.又 fx 0,gx0,所以 fxgbfbgx. g（a）g（x）g（b）答案： C 3.已知 fx为 R 上的可导函数,且任意 xR,均有 fx 2fx,就有 A.e 4 034f2 017f0,f2 017 e 4 034f0 B.e4 034f2 017f0,f2 017 e4 034f0 C.e 4 034f2 017f0,f2 017 e 4 0