选修44-第一讲-坐标系

1、平面直角坐标系中的伸缩变换高中数学选修4-4坐标系与参数方程第一页，共五十六页。课前思考：（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?第二页，共五十六页。问题分析：第三页，共五十六页。第四页，共五十六页。坐标压缩变换：归纳总结：第五页，共五十六页。问题分析：第六页，共五十六页。第七页，共五十六页。坐标伸长变换归纳总结：第八页，共五十六页。问题分析：第九页，共五十六页。第十页，共五十六页。坐标伸缩变换归纳总结：第十一页，共五十六页。归纳总结：第十二页，共五十六页。例题分析：第十三页，共五十六页。例题分析：第十四页，共五十六页。例题分析：第十五页，共五十六页。由上所述可以发现，在伸缩变

2、换下，直线仍然变成直线，而圆可以变成椭圆。思考：在伸缩变换下，椭圆是否可以变成圆？抛物线、双曲线变成什么曲线？结论分析：第十六页，共五十六页。在同一平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形第十七页，共五十六页。巩固练习：第十八页，共五十六页。巩固练习：第十九页，共五十六页。极坐标系的概念第二十页，共五十六页。某同学在教学楼处，（1）向东偏北60 方向走120m到达什么位置（2）如果有人打听实验楼和办公楼的位置，他应如何描述？6060m45C图书馆D实验楼50m120mB体育馆A教学楼办公楼E？在生活中，这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。右图为

3、某校园的平面示意图第二十一页，共五十六页。在平面内取一个定点O，叫极点。自极点O引一条射线Ox，叫做极轴。再选定一个长度单位和角度单位（通常取弧度）及它的正方向（通常取逆时针方向）XO极坐标系的建立第二十二页，共五十六页。XOM极点o与M的距离|OM|叫做点M的极径，记为 ；一般地，不作特殊说明时，我们认为0， 可取任意实数。以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为 .有序数对（，）叫做M的极坐标，记作M（ ， ）.M是平面内一点，|OM|叫做点M的极径，记为 ；角xOM叫做点M的极角，记为 .点的极坐标系表示第二十三页，共五十六页。PPMNMN例1 说出下列各点的坐标，

4、并找出点第二十四页，共五十六页。解：以A为极点，AB所在的射线为极轴建立极坐标系。点A（0，0）B（60，0），C（120， ）E6060m45C图书馆D实验楼50m120mB体育馆A教学楼办公楼E（O）x例2建立适当的坐标系，并写出各点的极坐标第二十五页，共五十六页。6060m45C图书馆D实验楼50m120mB体育馆A教学楼办公楼E（O）xC点坐标唯一吗？思考：第二十六页，共五十六页。XOM如图：OM的长度为120，它们是终边相同的角。极径相同，不同的是极角这些极坐标之间有何异同？这些极角有何关系？第二十七页，共五十六页。极坐标系下点与它的极坐标的对应情况OXPM(,)(,+2k )一般地

5、,若（，）是一点的极坐标,则(,+2k)都可以作为它的极坐标.特别的：极点的坐标为(0,)第二十八页，共五十六页。如果限定0,02,那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.给定平面上一点M，有无数个极坐标与之对应。原因在于：极角有无数个。极坐标系下点与它的极坐标的对应情况第二十九页，共五十六页。极坐标和直角坐标的互化第三十页，共五十六页。互化前提1. 极点与直角坐标系的原点重合;2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;3. 两种坐标系的单位长度相同.互化关系式第三十一页，共五十六页。反馈练习第三十二页，共五十六页。例2. 将点M的直角坐标 化成极坐标.第三十三页，共五十六页。例3

6、已知两点（2， ），（3， ）求两点间的距离.第三十四页，共五十六页。例3 已知两点（2， ），（3， ）求两点间的距离.oxAB解：AOB = 用余弦定理求AB的长即可.第三十五页，共五十六页。极坐标下两点间距离公式（1 ，1），（2 ，2）第三十六页，共五十六页。简单的极坐标方程（圆与直线）第三十七页，共五十六页。一般地，求曲线的极坐标方程的基本步骤（1）建立极坐标系，设动点坐标； （2）找出曲线上的点满足的几何条件；（3）将几何条件用极坐标表示； （4）化简小结. 下结论建立极坐标系设点（,）找,的关系化简 F(,)=0第三十八页，共五十六页。圆的极坐标方程第三十九页，共五十六页。思考：

7、一般地，在极坐标系中，以极点为圆心，半径为r的圆的极坐标方程是什么？MxO总结：极点为圆心，半径为r的圆 r 第四十页，共五十六页。思考：在极坐标系中，若半径为a的圆的圆心坐标为C(a，0)(a0)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(，)满足的条件吗？xCMxOCA总结：圆心为C(a，0)半径为a的圆2acos思考：点O，A的极坐标可以分别是什么？它们都满足等式2acos吗？点 ，A(2a，0)都满足等式. 第四十一页，共五十六页。总结：一般地，在极坐标系中，对于平面曲线C和方程f(，)0，在下列条件下，方程f(，)0是曲线C的极坐标方程（1）曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程

8、f(，)0；（2）坐标适合方程f(，)0的点都在曲线C上.第四十二页，共五十六页。思考：在极坐标系中，圆心坐标为C(a，)(a0)，半径为a的圆的极坐标方程是什么？圆心坐标为C(a， )(a0)，半径为a的圆的极坐标方程是什么？ 2acos 2asinMxOCAMxOCA第四十三页，共五十六页。MxOC思考：在极坐标系中，圆心坐标为C(a，)(a0)，半径为a的圆的极坐标方程是什么？第四十四页，共五十六页。思考：一般地，在极坐标系中，圆心坐标为 C(0,) ，半径为r的圆的极坐标方程是什么？MxOC 2+ 0 2 -2 0 cos( - )= r2还可以转化为直角坐标去解决第四十五页，共五十六

9、页。2.在极坐标系中，圆心为(4，0)，半径为4的圆4.以极坐标系中的点(1, )为圆心，1为半径的圆 1.在极坐标系中，圆心为极点，半径为2的圆3.在极坐标系中，圆心为(3， )，半径为3的圆5.以极坐标系中的点( , )为圆心，1为半径的圆 练习1：写出下列条件所满足的圆的极坐标方程第四十六页，共五十六页。4 练习：说出下列极坐标方程所对应的圆第四十七页，共五十六页。思考：如图，过极点作射线OM，若从极轴到射线OM的最小正角为450，则射线OM的极坐标方程是什么？过极点作射线OM的反向延长线ON，则射线ON的极坐标方程是什么？直线MN的极坐标方程是什么？ M45xON射线OM： ； 射线O

10、N： ；和直线MN： ；第四十八页，共五十六页。思考：M45xON或可以考虑允许极径可以取全体实数。如果允许极径可以取全体实数， MN的极坐标方程是什么？第四十九页，共五十六页。探究：过点A(a，0)(a0)，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是什么？Mcosa xOAxOAM-cosa.过点A(a，)(a0)第五十页，共五十六页。在极轴上方与极轴平行且到极轴距离为a的极坐标方程： 在极轴上方与极轴平行且到极轴距离为a的极坐标方程：-第五十一页，共五十六页。思考：设点P的极坐标为 ，直线 过点P且与极轴所成的角为 ,求直线 的极坐标方程。 解：如图，设点为直线 上异于P的点连接OM，oMxp在

11、中有 即显然P点也满足上述方程。第五十二页，共五十六页。思考 ：设点P的极坐标为 ，直线 过点P且与极轴所成的角为 ,求直线 的极坐标方程。 oxMP第五十三页，共五十六页。解：如图，设点点P外的任意一点，连接OM为直线上除则 由点P的极坐标知 设直线L与极轴交于点A。则在由正弦定理得oxMP显然P点也满足上述方程。第五十四页，共五十六页。练习：1.在极坐标系中，求适合下列条件的直线的极坐标方程：（1）过极点倾斜角是 的直线；（2）过点（2， ），并且和极轴垂直的直线；（3）已知点P的极坐标为 ，直线过点P且 与极轴所成的角为 ，求直线的极坐标方程。第五十五页，共五十六页。内容总结平面直角坐标系中的伸缩变换。高中数学选修4-4坐标系与参数方程。（