最新【概率论习题答案】第3章-随机变量的数字特征

1、第3章 1，在下列句子中随机地取一单词，以X表示取到的单词所包含的字母个数，试写出X的分布律并求.E(X)“They found Peking greatly ”解：根据题意，有1/5 的可能性取到5个单词中的任意一个。它们的字母数分别为，677。所以分布律为4567Xp1/51/51/52/5k1.E(X) (45677) 29/552，在上述句子的 29 个字母中随机地取一个字母，以 Y 表示取到的字母所在的单词所包含的字母数，写出Y的分布律并求EY)。解：个单词字母数还是，。这时，字母数更多的单词更有可能被取到。分布律为4567Yp4/29 5/296/29.14/29k1EY) (44

2、5566714) 175/29293，在一批12 台电视机中有2 台是次品，若在其中随即地取3 台，求取到的电视机中包含的次品数的数学期望。解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为，2 台的概率分别为691CC3103C12CC210C22CC110，。p 0p 1p 211222 231231212所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为6911。E 0 1 2 )11 22 2224，抛一颗骰子，若得6 点则可抛第二次，此时得分为（第二次所数的分布律，并求得分的数学期望。解：根据题意，有 1/6 的概率得分超过 6，而且得分为 7 的概率为两个 1/6 的乘积（第一次6 点

3、，第2次 15/6 的概率得分小于6。分布律为1 2 3 4 5 710 11 12Yp1616161616111111363636363636k得分的数学期望为1149。E 234 (789101112) )636125）已知，求5。X () X X E(X)（2）设随机变量 的分布律为X6，X k,k k22问 的数学期望是否存在？Xe6e1）根据，可得，因此X () P XP X 计算得到，即。所以=6。E(X)6X (6)（2）根据题意，按照数学期望的公式可得66 1 6ln2，E(X) (k1X k (k1k(k12k22k2k1k1k1xn, 1x1） x) (nn1n06）某城市

4、一天水的消费量 （百万升计）是一个随机变量，其xex /9, 0/3x概率密度为 ( ) f x ，求一天的平均耗水量。其他（2）设某动物的寿命（以年计）是一个随机变量，其分布函数为x5F(x) 251 , x 52x求这种动物的平均寿命。1）一天的平均耗水量为x2ex/3x22xe /3xE(X) xf(x)dx dx d(e /3) 0dx 2xd(e /3)xx9330000 0 2e dx 6x/30（2）这种动物的平均寿命为E(X) (x) ) x2x2557，在美国，致命的汽车事故所占的比例X的概率密度为42 ) , 0 1x x 5xf(x) ，其他求 X的数学期望。 11解：E

5、(X) (x) xx) 7xd x)252600 111 7x x)10 14xx) dx 2xd x) 2xx)10 x) dx266777000=1/4。8，设随机变量X具有概率密度如下，求E(X)。1/ ), 1 2x2xf(x) 。其他2解：。E(X) xf(x)dx 2x1/x)dx (x2lnx) 32ln2222119，设随机变量X具有概率密度如下，求E(X)。 ) / 1 0 x 2xf(x) ) / 0 x1x 2其他3x3x01解：E(X) (x) x)x)2222103x3x01x) dxx) dx0。222210yx）X10，设，求数学期望).X B(4,p)E(sin

6、2X k解：4E) C p )pk4k4k22k0 C p p) C p p) 4p p2p2p )141334312 R服从区间(0,a)的V R3/6数学期望。1/a, 0 xa解：R的概率密度函数为 ( )，所以f x 1a3 r3a。EV) dr 6a240, 0e xx12，设随机变量 X 的概率密度为 ( )f x ，另有 X 的其他X 0X2, 0 X 4函数 (X)，求数学期望Eg(X)。gX 44解：Eg(X) g(x)f(x)dx xe0.3xdx 16e0.3xdx2041 (200e )1.2 913 上的均匀分X ,X ,X(12n布，记，求。Y X ,X ,X )Y

7、n X ,X ,X )EY ),EY )112n121nnx 0的分布函数为X (i n)( ) , 0 1F xxxix 1的分布函数为Y ,Y1ny 0y 0，。F (y) 1 y) , 0 y 1F (y) y , 0 y 1nnminmaxy 1y 1的密度函数为Y ,Y1n ) , 0 1, 0 1n yn1yny 1nyf (y)，f y ( )。其他其他minmax所以的数学期望为Y ,Y1n1111，EY ) (y) ny y) n y) n y) n1n1nn110001n。EY ) (y) nn1n014，设随机变量具有分布律X012Y0123/283/141/289/28

8、3/1403/2800求，。E(X),EY),E() E(X Y),EX Y)解：求出边缘分布律如下X0123/280Y 15/2812/281/281P X k3/283/141/2810/289/283/140015/283/28Y k2，2，E(X) X k1/2EY) Y k3/4k0k022，E() X Y 113/143/14j0 i022，E(X Y) EX Y) i j)X Y 7/ 1/4j0 i022。i2j)X Y 84/3j0 i015，在上题中，求。X,Y),Y /(X 解：22，X,Yi, j)X Y 13/143/14j0 i0j22X Y 18/9/14。EY

9、X i1j0 i016，设随机变量具有概率密度24, 0 x0 yx y1f(,y)求。E(X),EY),E()1y解：，E(X) xf(x,y)dxdy dy 24xydx 2/52RR001y，EY) yf(x,y)dxdy dy 24yxdx 2/52RR001yE(XY) xyf(x,y)dxdy dy 24xydx 2/15。22RR0017，某工程队完成某种工程的天数X是随机变量，具有分布律100.211121314Xp0.30.30.10.1k所得利润（以元计）为Y X)，求解：根据题意，可得利润的分布律为。EY),DY)200010000-1000-2000Yp0.20.30.

10、30.10.1k因此，EY) 0.20.30.10.1 （元）EY2) 20002 0.210002 0.3(1000)2 0.1(2000)2 0.11600000 。DY) EY2) EY) 2 144000018，设随机变量X服从瑞利分布，其概率密度为xex2/(2 ) x, 02f(x) 2 其他其中解：为常数，求。 0E(X),D(X D(X)x2 e /(2 )dx ，E(X) xf(x)dx ex2 /(2 )dx xex2 /(2 )22x2222000 x3 2xe /(2 )dxE(X) xf(x)dx ex2 /(2 )dx xex2 /(2 )22222x222000

11、2 e 2x2 /(22)2 ，0 ，2。D(X) E(X 2) E(X) 2 (2 /2)( ) (2/D X ex/2dx2019，设随机变量X服从几何分布，其分布律为， )P X k, 1 p kpk其中0 p1是常数。求E(XD(X)。11解：，E(X) X k p k p)k1 pp2pk1k1E(X) kX k p k p)k p( ) k kpk p ) 2221k1k1k1k1k1k1212 1， p( ) p3p2p2p 1 1 1 p所以，。D(X) E(X) E(X) 22p2pp2，s(p) k p)k1k111则p，所以 (p) s(pdp p。类似的，设s(pdp

12、p) 1skpp2k111 )p2，则经过两次积分以后可得到，在经过S(p) k(k p)k1pk12两次求导得到S(p)。p320，设随机变量X具有概率密度为 kk,xxf(;k,) xk1其中k0, 0为常数。（1）（2）若k1，求（3）。E(X)（4）问当k1时，是否存在？E(X)（5）若，求。k 2D(X)（6）问当k2时，是否存在？D(X)11）当k1时，（2）当k1时，k。E(X) xf(x)dx dx dx kk1xxkk1，即不存在。E(X)dx ( )E Xx2（k 2时，kE(X ) x f(x)dx 22dx ，k 2xk1 1k2所以，。D(X) E(X) E(X) 2

13、22k 2(k2(k (k 2)22 2 (X ) x f(x)dx （4）当时，所以D(X)不存在。k 2dx E22x211）在14题中，求Cov(X,Y。（2）在16题中，求Cov(X,Y，。D X(Y)（3）在第二章习题第14 题中，求Cov(X,Y1）根据14 题中结果，得到。XYCov(X,Y) E()E(X)EY) 3/141/23/4 9/56；因为所以2，2Y k/，E(X) kX k 4/7EY) k2222k0k0 ，D(X) E(X 2) E(X) 2 9/28DY) EY2) EY) 2 45/112C o ,Y)D X D Y5。 5XY( ) ( )（2）根据16

14、 题结果可得： ；，Cov(X,Y) E(XY) E(X)EY) 2/15 2/5 2 2/75) x1y因为E(Xf(x,y)dxdy dy 24xydx 1/5223RR00) y1y，EYf(x,y)dxdy dy 24yxdx 1/5223RR00 所以，D(X) E(X 2) E(X) 2 1/25DY) EY2) EY) 2 1/25D(X Y) D(X)DY)Cov(X,Y) 2/75，Cov(X,Y)D X D Y23。 XY( ) ( )（3）在第2 章14题中，由以下结果X012Y 0.240.380.381P X k0.100.040.020.160.080.200.06

15、0.340.060.140.300.50Y k得到，E(X) 1.14 EY) 1.34 E() 1.8 E(X 2) 1.9 EY2) 2.34所以，Cov(X,Y)E()E(X)EY)； ，,DY) EY2) EY) 2 0.5444D(X) E(X 2) E(X) 2 0.6004Cov(X,Y)0.27240.5717.0.4765XYD X D Y( ) ( )22，设随机变量具有， 1/6，求XY，D(X) DY) 4( )D X Y。D(X Y 解：根据题意有D(X Y) D(X)DY)Cov(X,Y)D(X) DY) 942(1/6)611。D(X Y 4) D(X 4)DY)

16、Cov(X Y) D(X)9DY)Cov(X,Y) 96(1/6)6 D(X)DY)2XY。231）设随机变量相互独立，且有)1，E(X )E(XX ,X ,X2123E Xii，求。2i (X 4X )2123（2）设相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，X ,X ,X123。求E (X 2X X )21231）因为相互独立，所以X ,X ,X123E X(X 4X ) E(X)(X 4X ) X8X X 16X 2222221231232233 X 8X X 16X X 8X X 16X 222222332233。101617 （，。E(X )1/ E(X) D(X ) E(X )

17、 1/3 i 22iiii XE(X 2X X )4X X4X X 2X X 4X X 2222123123121332 X 4X X 4X X 2X X 4X X 2221231213321 4 1 1 13 3 3112。224，设随机变量具有概率密度1 y xxf(,y)验证X,Y不相关，但X,Y不是相互独立的。1解：因为x，E(X) xf(x,y)dxdy dx xdy 2/3RR0 x1x，EY) yf(x,y)dxdy dx ydy 0RR0 x1x，E(XY) xyf(x,y)dxdy dx xydy 0RR0 x所以，Cov(X,Y)E()E(X)EY)0，即，验证了X,Y不相关。x dy 2， 0 x 1又因为，；f (x) f(x,y