典型例题：空间向量处理距离问题

1、PAGE12空间向量处理距离问题1求点点距离设，则，即，其中表示与两点间的距离，这就是空间两点间的距离公式例1：已知正方体，、分别为和中点且是和的公垂线段求直线与间的距离AADBBDAADBBDCCyMN，直线与间的距离是例2：已知平行六面体，求体对角线长BCABBCABDCAD体对角线长为例3：已知正方形的边长是，平面外的一点到正方形各顶点的距离都为，、分别是、上的点，且求线段的长ADBCNPOyADBCNPOyM，即，线段的长为异面直线上两点距离公式其中，是异面直线和的距离，为和所成的角，、分别是异面直线、上的点、到公垂线与、的交点、的距离。如果点或在点或的另一侧时，则公式中取“”号BlA

2、DC例4：如图，在直二面角，点、，且，且，若，求线段的长BlADC解：2求点线距离已知一条直线上两点，直线外一点为，则有点与直线的距离，其中向量积有公式此公式亦可记为例5：过的直角顶点作线段垂直于这个三角形所在平面，已知，求点到的距离ACBDACBDy，BDCAPy点BDCAPy例6：如图，垂直矩形所在平面，且，求点到的距离及的面积解：如图所示，建立空间直角坐标系，则相关各点坐标为，点到的距离为平方单位，的面积为平方单位3求点面距离如图，为平面任一点，已知为平面的一条斜线，为平面的一个法向量，过作平面的垂线，连结则为斜线和平面所成的角，记为易得nOPAnOPA即点到平面的距离等于平面内外两点的

3、向量和平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模的比值例7：已知正方体求点到平面的距离解：不妨设正方体的边长为，建立空间直角坐标系，则相关各点坐标为，AADBBDAADBBDCCy，令取平面的一个法向量为，点到平面的距离为例8：如图，已知正方形的边长为，、分别是、的中点，平面，且，求点到平面的距离ABGEABGEFDCy，设平面法向量为，令取平面的一个法向量为，点到平面的距离为4求线线距离和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线公垂线和两条异面直线都相交，公垂线上两个交点间的部分叫做异面直线的公垂线段例9：已知正方体，棱长为求直线与的距离解：如图所示，建立空间直角坐标系，则相关

4、各点坐标为AADBBDCCAADBBDCCy设点，点，且有，则，此时就是与公垂线段，直线与的距离为求异面直线间的距离也可以利用向量的正射影性质直接计算abnBA如图，设两条异面直线、的公垂线的方向向量为,这时分别在、上任取、两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线、的距离abnBA即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值直线、的距离解法二：如图所示，建立空间直角坐标系，则相关各点坐标为，设异面直线与的公垂线的方向向量，取则异面直线与的公垂线的方向向量，直线与的距离为两条异面直线间的距离公式实质与解法二相同：已知两条异面直

5、线，其中一条上有两点、，另外一条直线上有另外两点、则有解法三：如图所示，建立空间直角坐标系，则相关各点坐标为，直线与的距离为极值法求异面直线间的距离已知、为异面直线，那么在上取一点，作垂直相交于点，设一变量，把表示为关于的函数，的最小值即为异面直线间的距离解法四：AADBBDCCyPFQ取任一点作垂直相交于点，作垂直相交于点，连结，所以设，则AADBBDCCyPFQ当时，有最小值为，所以直线与的距离为例10：正四面体边长均为求异面直线与的距离BCADOy解：以在BCADOy，设异面直线与的公垂线的方向向量，取则异面直线与的公垂线的方向向量，异面直线与的距离为5求线面距离一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离直线到平面的距离可转化为求点到平面的距离例11：如图，四棱锥的底面是菱形，平面，且，是的中点求与平面间的距离解：以为原点，为轴，中边上高为轴，为轴建立空间直角坐标系，则为中点，则相关各点坐标为CADPBEFy，CADPBEFy设平面法向量为，令取平面的一个法向量为且，平面，到平面的距离就是到平面的距离，与平面间的距离为6求面面距离和两个平行平面同时垂直的直线叫做两个平行平面的公垂线公