南通市2022届高三第三次调研测试数学试卷

1、PAGE41南通市2022届高三第三次调研测试注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡交回。答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚样本数据，的方差，其中柱体的

2、体积，其中为柱体的底面积，为高一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上甲乙897901398210（第3题甲乙897901398210（第3题）2已知复数（为虚数单位），则的共轭复数为Y开始（第4题）结束n1，SY开始（第4题）结束n1，S12输出Snn2SnNSSn较稳定（方差较小）的那一位同学的方差为4右图是一个算法流程图，则输出的的值为5已知正三棱柱的各条棱长均为a，圆柱的底面直径和高均为b若它们的体积相等，则a3：b3的值为6将一颗骰子连续抛掷2次，向上的点数分别为m，n，则点在直线下方的概率为7函数的定义域为8在平面直角坐标系Oy中，双曲线与

3、抛物线有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为ABCPQ（第10题）9已知两曲线，ABCPQ（第10题）的切线与轴分别相交于B，C两点，则线段BC的长为10如图，已知ABC的边的垂直平分线交于点，交于点若，则的值为11设数列满足，（），则的值为（第13题）AOyDBC12已知函数（第13题）AOyDBC若方程有四个不等的实根，则的取值范围是13如图，矩形ABCD的边AB在轴上，顶点C，D在函数（）的图象上记AB=m，BC=n，则的最大值为14在平面直角坐标系中，圆，圆若圆上存在点的取值范围是二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤

4、15（本小题满分14分）已知ABC是锐角三角形，向量m=，n=，且mn（1）求AB的值；（2）若，求BC的长16（本小题满分14分）（第16题）BDCPMNA如图，在四棱锥中，平面，（第16题）BDCPMNA分别是棱的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面平面17（本小题满分14分）（第17题）APQO如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆（第17题）APQO长轴长为4过椭圆的左顶点作直线，分别交椭圆和圆于相异两点（1）若直线的斜率为，求的值；（2）若，求实数的取值范围18（本小题满分16分）某宾馆在装修时，为了美观，欲将客房的窗户设计成半径为1m的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其

5、中四边形为中心在圆心的矩形现计划将矩形区域设计为可推拉的窗口（1）若窗口为正方形，且面积大于m2（木条宽度忽略不计），求四根木条总长ABABCDO（第18题）（2）若四根木条总长为6m，求窗口ABCD面积的最大值19（本小题满分16分）已知数列，均为各项都不相等的数列，为的前n项和，（）（1）若，求的值；（2）若是公比为的等比数列，求证：存在实数，使得为等比数列；（3）若的各项都不为零，是公差为的等差数列，求证：，成等差数列的充要条件是20（本小题满分16分）设函数（，其中是自然对数的底数）（1）当时，求的极值；（2）若对于任意的，恒成立，求的取值范围；（3）是否存在实数，使得函数在区间上有两

6、个零点若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由南通市2022届高三第三次调研测试数学（附加题）注意事项注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共2页，均为非选择题（第2123题）。本卷满分为40分，考试时间为30分钟。考试结束后，请将答题卡交回。2答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B铅笔正确填涂考试号。3作答试题必须用书写黑色字迹的毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。21【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的

7、答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）（第21-A题）ACEDB在ABC中，的平分线交于点，的平分线交于点（第21-A题）ACEDB求证：B选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，直线在矩阵A对应的变换作用下得到直线（），求的值C选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为若直线与曲线交于两点，求线段的长D选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知，且，求证：【必做题】第

8、22、23题，每小题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）在平面直角坐标系Oy中，已知抛物线上一点到准线的距离与到原点O的距离相等，抛物线的焦点为F（1）求抛物线的方程；（2）若A为抛物线上一点（异于原点O），点A处的切线交轴于点B，过A作准线的垂线，垂足为点E试判断四边形AEBF的形状，并证明你的结论23（本小题满分10分）甲、乙两人进行围棋比赛，共比赛2n（）局根据以往比赛胜负的情况知道，每局甲胜的概率和乙胜的概率均为如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛记甲赢得比赛的概率为甲乙897901398210（第3题）Y

9、开始（第4题）结束n甲乙897901398210（第3题）Y开始（第4题）结束n1，S12输出Snn2SnNSSn在直线下方的概率为【答案】7函数的定义域为【答案】8在平面直角坐标系Oy中，双曲线与抛物线有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为【答案】9已知两曲线，相交于点A若两曲线在点A处的ABCPQ（第10题）切线与ABCPQ（第10题）【答案】10如图，已知ABC的边的垂直平分线交于点，交于点若，则的值为【答案】11设数列满足，（），则的值为【答案】（第13题）AOyDBC12已知函数（第13题）AOyDBC若方程有四个不等的实根，则的取值范围是【答案】或13如图，矩形ABCD的边AB

10、在轴上，顶点C，D在函数（）的图象上记AB=m，BC=n，则的最大值为【答案】14在平面直角坐标系中，圆，圆若圆上存在点的取值范围是【答案】二、解答题：本大题共6小题，共计90分15（本小题满分14分）已知ABC是锐角三角形，向量m=，n=，且mn（1）求AB的值；（2）若，求BC的长【解】（1）因为mn，所以mn3分又，所以，5分所以，即7分（2）因为，所以9分所以12分由正弦定理，得14分16（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，平面，BDCPMBDCPMNAO（1）求证：平面；（2）求证：平面平面【证】（1）设,连结，因为，为的中点，所以，,所以四边形为平行四边形，2分所以为的中点又为的

11、中点，所以4分又因为平面，平面，所以平面6分（2）（方法一）因为平面，平面，所以由（1）同理可得，四边形为平行四边形，所以，所以8分因为，所以平行四边形为菱形，所以10分因为，平面，平面，所以平面12分因为平面，所以平面平面14分（方法二）连结因为平面，平面，所以因为,所以8分因为平面，平面，所以因为为的中点，所以，由（1），所以，又因为为的中点，所以10分因为，平面，平面,所以平面12分因为平面，所以平面平面14分17（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的离心率为，（第17题）APQO长轴长为4过椭圆的左顶点作直线（第17题）APQO（1）若直线的斜率为，求的值；（2）

12、若，求实数的取值范围【解】（1）由条件，解得所以椭圆的方程为，圆的方程为3分（方法一）直线的方程为，由得，解得，所以所以5分又因为原点到直线的距离，所以，所以7分（方法二）由得，所以5分由，消得，所以所以7分（2）（方法一）若，则，设直线：，由得，即，所以，得所以=，即10分同理12分所以由题意，所以14分（方法二）由方法一知，=，由题意，所以14分18（本小题满分16分）某宾馆在装修时，为了美观，欲将客房的窗户设计成半径为1m的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形为中心在圆心的矩形现计划将矩形区域设计为可推拉的窗口（1）若窗口为正方形，且面积大于m2（木条宽度忽略不计），

13、求四根木条总长的取值范围；（2）若四根木条总长为6m，求窗口ABCD面积的最大值ABCDABCDO（第18题）【解】（1）设一根木条长为m，则正方形的边长为m2分因为，所以，即4分又因为四根木条将圆分成9个区域，所以，所以答：木条总长的取值范围为6分（2）（方法一）设所在木条长为m，则所在木条长为m因为，所以8分11分设，令，得，或（舍去），或（舍去）14分列表如下：0极大值所以当时，即答：窗口ABCD面积的最大值为m216分（方法二）设所在木条长为m，所在木条长为m由条件，即因为，所以，从而8分由于，10分因为，14分当且仅当时，答：窗口ABCD面积的最大值为m216分19（本小题满分16分

14、）已知数列，均为各项都不相等的数列，为的前n项和，（）（1）若，求的值；（2）若是公比为的等比数列，求证：存在实数，使得为等比数列；（3）若的各项都不为零，是公差为的等差数列，求证：，成等差数列的充要条件是【解】（1）由，知，2分（2）（方法一）因为，所以，所以，即，4分所以存在实数，使得，6分又因为（否则为常数数列与题意不符），所以当时，此时为等比数列，所以存在实数，使为等比数列8分（方法二）因为，所以当时，得，当时，4分由得，当时，6分所以又因为（否则为常数数列与题意不符），所以存在实数，使为等比数列8分（3）因为为公差为的等差数列，所以由得，当时，即，因为，各项均不相等，所以，所以当时，

15、10分当时，由，得当时，12分先证充分性：即由证明a2，a3，an，成等差数列因为，由得，所以当时，又，所以，即a2，a3，an，成等差数列14分再证必要性：即由a2，a3，an，成等差数列证明因为a2，a3，an，成等差数列，所以当时，所以由得，所以所以，成等差数列的充要条件是16分20（本小题满分16分）设函数（，其中是自然对数的底数）（1）当时，求的极值；（2）若对于任意的，恒成立，求的取值范围；（3）是否存在实数，使得函数在区间上有两个零点若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由【解】（1）当时，令，得2分列表如下：0极小值所以函数的极小值为，无极大值4分（2）当时，由于对于任意，

16、有，所以恒成立，当时，符合题意；6分当时，因为，所以函数在上为增函数，所以，即当时，符合题意；8分当时，所以，存在，使得，且在内，所以在上为减函数，所以，即当时，不符合题意综上所述，的取值范围是10分（3）不存在实数，使得函数在区间上有两个零点由（2）知，当时，在上是增函数，且，故函数在区间上无零点12分当时，令，则，当时，恒有，所以在上是增函数由，故在上存在唯一的零点，14分即方程在上存在唯一解且当时，；当时，即函数在上单调递减，在上单调递增当时，即在上无零点；当时，由于，所以在上有唯一零点所以，当时，在上有一个零点综上所述，不存在实数，使得函数在区间上有两个零点16分数学（附加题）21【选

17、做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答A选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）（第21-A题）ACEDB在ABC中，交于点，的平分线交（第21-A题）ACEDB求证：【证】因为，AE为的平分线，所以，又因为是的平分线，所以，所以ACEBCD，所以，即=5分又因为，所以，所以，所以10分B选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，直线在矩阵A对应的变换作用下得到直线（），求的值【解】设是直线上任意一点，由=，得，即5分由条件得，解得，所以ab=410分C选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方

18、程为（为参数）以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为若直线与曲线交于两点，求线段的长【解】曲线的普通方程为，表示以为圆心，2为半径的圆3分直线的直角坐标方程为6分所以圆心到直线的距离，所以线段的长为10分D选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知，且，求证：【证】因为，所以，将以上各式相加，得，又因为y1，从而10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分22（本小题满分10分）在平面直角坐标系Oy中，已知抛物线上一点到准线的距离与到原点O的距离相等，抛物线的焦点为F（1）求抛物线的方程；（2）若A为抛物线上一点（异于原点O），点A处的切线交轴于点B，过A作准线的垂线，垂足为点E试判断四边形AEBF的形状，并证明你的结论【解】（1）由题意点到准线的距离为PO，由抛物线的定义，点到准线的距离为PF，所以POPF，即点在线段OF的中垂线上，2分所以，所以抛物线的方程为4分OBFAyOBFAyE所以点A处切线的斜率为，所以点A处切线