解排列组合问题的四大原则

1、PAGE7解排列组合问题的四大原则排列、组合是高中数学的重要内容，新教材中概率与统计的增加更突出了排列、组合的重要性高考对排列组合的考查以两个基本原理分类加法计数原理和分步乘法计数原理为出发点，侧重检测解题思想和解题技巧，因而对解题策略和思维模式的培养和提炼是平时训练的核心下面通过具体的例题来解析排列组合问题的解题策略之“四大原则”一、特殊优先原则该原则是指在有限制的排列组合问题中优先考虑特殊元素或特殊位置例（2022年北京市西城区一模题（文）甲、乙、丙三个同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，则可以排出不同的值班表有（）A90

2、种B89种C60种D59种解析：特殊元素优先考虑，甲同学不值周一的班，则先考虑甲，分步完成：从除周一的5天中任取2天安排甲有种；从剩下的4天中选2天安排乙有种；仅剩2天安排丙有种由分步乘法计数原理可得一共有种，即选C评注：特殊优先原则是解有限制的排列组合问题的总原则，对有限制的元素和有限制的位置一定要优先考虑二、先取后排原则该原则充分体现了的精神实质，先组合后排列，从而避免了不必要的重复与遗漏例2（2022年高考全国卷）将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（）A12种B24种C36种D48种解析：先分组再排列：将4名教师分成3组有种分法，再将这三组分配到三所

3、学校有种分法，由分步乘法计数原理知一共有种不同分配方案评注：先取后排原则也是解排列组合问题的总原则，尤其是排列与组合的综合问题若本例简单分步：先从4名教师中取3名教师分给3所学校有种方法，再将剩下的1名教师分给3所学校有3种选择，则共有种分配方案，则有明显重复（如：甲、乙、丙、丁和甲、乙、丁、丙）因此，处理多元素少位置问题时一般采用先取后排原则三、正难则反原则若从正面直接解决问题有困难时，则考虑事件的对立事件，从不合题意要求的情况入手，再整体排除例3（2022年北京市春招卷）在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少取到件次品的不同取法的种数是（）ABCD解析：从100件次品中取3件

4、产品，至少有1件次品的对立事件是取到3件全部是正品，即从94件正品中取3件正品有种取法，所以满足条件的不同取法是，故选C如果从正面考虑，则必须分取到1，2，3件次品这三类，没有应用排除法来得简单而本例最易迷惑人的是B：，即从6件次品中取1件确保了至少有1件次品，再从剩下的99件产品中任取2件即可事实上这样分步并不相互独立，第一步对第二步有明显影响，设次品为，正品为甲乙丙丁戊则可以是甲，也可能是甲，因而重复评注：正难则反原则也是解决排列组合问题的总原则，如果从正面考虑不易突破，一般寻找反面途径利用正难则反原则的语境有其规律，如当问题中含有“至少”，“最多”等词语时，易用此原则四、策略针对原则不同

5、类型的排列、组合问题有着不同的应对策略，不同的限制条件要采用不同的解题方法1相邻问题捆绑法（整体法），相隔问题插空法例4（2022年高考重庆卷（理）某校高三年级举行一次演讲比赛，共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其他班有5位若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的3位同学恰好被安排到一起（演讲序号相连），而2班的2位同学没有被排在一起的概率为（）ABCD解析：10人的全排列数是，即所有的演讲顺序有种符合要求的演讲顺序有两个限制：一班的3位同学相邻，而2班的2位同学不相邻，因此分步完成：把一班的3位同学看成一个整体，他们自身全排列有种安排；把这个整体当成1个元素与其他班5个元素

6、一起排列有种安排；把这6个元素排定后有7个空位（包含两端），从这7个空位中任取2个空位安排2班的2位同学有种排法（这样确保2位同学不相邻）满足条件的排列共有种，即所求概率是，故选B评注：处理相邻问题和不相邻问题时易采用整体法（确保相邻）和插空法（确保相隔），只是要注意是先整体后插空（相邻与不邻的综合问题）或先排后插（单纯的相隔问题），再就是要注意整体元素的排列顺序问题2合理分类直接分步法例5（2022年高考全国卷）在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（）个（）A56B57C58D60解析：所有大于23145且小于43521的数由以下

7、几类构成：由分类加法计数原理可得，一共有个，故选C评注：合理分类与直接分步是两个基本原理分类加法计数原理和分步乘法计数原理最直接的体现，是解排列组合问题的最原始的方法诸多排列组合问题总是从合理分类，直接分步得到解决的3顺序一定消序法（用除法）例6（2022年北京市春招卷）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目中，那么不同插法的种数为（）A42B30C20D12解析：新插入两个节目，而原来的5个节目顺序不变，从结果考虑，7个节目的全排列是，而顺序不变的5个节目的全排列是，不变的顺序是总体的，则一共有种不同的插入种数，故选A评注：某些元素顺序

8、不变的排列用除法解决，即若共有n个元素，其中m个元素顺序不变，则其不同的排列数为当然本题可以这样考虑：最终有7个节目位置，从7个位置中任选2个位置安排新增节目有种方法，其他5个位置按原5个节目的固定顺序排列，因此共有种不同的插入方法4对象相同隔板法例7（1）（2022年湖北省四校联考卷）高二年级要从3个班级抽取10人参加数学竞赛，每班至少1人，一共有_种不同的安排方法（2）（2022年荆州市质检卷）10个相同的小球放到3个不同的盒中，每个盒不空，一共有_种不同的放法解析：两例的实质一样，属于同一模型对象相同，这类问题处理方式较多，但隔板法简单易操作：10个相同的小球有9个空档（确保盒子不空）从9个空档中选2个空档放入两块隔板，将小球分成三部分（每一种放档板的放法对应着10个小球分成3