知识拓展：带你走进法向量

1、PAGE6带你走进法向量一、法向量概念理解如果表示非零向量的有向线段所在的直线垂直于平面，那么称向量垂直于平面，记作，此时，我们把向量叫做平面的法向量特别提醒：（1）法向量一定是非零向量，平面的法向量是不唯一的；（2）一个平面的所有法向量一定是平行向量；（3）向量是平面的一个法向量，向量与平面平行或在平面内，则；（4）因为过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，所以，已知平面内一点和平面的法向量，则这个平面是唯一确定的二、法向量求解步骤若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解一般步骤：（1）设出平面的法向量为；（2）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标

2、，；（3）根据法向量的定义建立关于、的方程组；（4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量（通常取其中一个未知数为或）三、用法向量可以解决的问题1直线与平面成角直线与平面所成的角为，是直线的方向向量与平面的法向量的夹角（锐角）的余角，故有注意：求出直线的方向向量与平面的法向量的夹角（锐角）并不是直线与平面所成角，应取其余角2平面与平面成角设，分别是二面角的面的法向量，则就是所求二面角的平面角或其补角的大小且有注意：通过平面的法向量求二面角时，若二面角的两个面的法向量、方向相反时，则二面角的大小等于，若两个面的法向量、方向相同时，则二面角大小为3求点面距离点面距离的具体求解步骤是：（1）求出该平面

3、的一个法向量；（2）求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；（3）求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离其中设是直线上的一个单位方向向量，线段在上的投影是，则有，是求点到线，点到面的距离问题重要公式四、法向量的具体应用例1如图，四边形是直角梯形，又，直线与直线ACBMACBMP（1）求证：平面平面；（2）求二面角余弦值的大小解：（1），又平面平面（2）在平面内，过作，建立空间直角坐标系由题意有，设，则，由直线与直线所成的解为，得，即，解得，设平面的一个法向量为，则，取，得（正方向），平面的法向量取为（正方向），设与所成的角为，则，二面角的大小为的补角，

4、故二面角的余弦值的大小为评注：设，分别是二面角的面的法向量，则就是所求二面角的平面角或其补角的大小何时就是二面角的平面角何时又是其补角资料上（包括高考试题的答案上）如是说：由图形不难（显然）得出就是所求二面角的平面角或其补角的大小，说的含糊其辞，毫无判断依据，让同学们辨别不清，对结果的处理困惑不解，往往导致错误的结果，走入了解题的一个个误区为了让同学们思维走入清淅化，能得到一个正确的结果在此介绍“穿入法”确定法向量的方向求解二面角所谓“穿入法”就是穿入二面角内部的平面的法向量（如右图所示）方向为正方向，穿出二面角的平面的法向量方向为负方向根据二面角的定义，只要取二面角两个平面的法向量中的一个正方向，一个负方向，则两法向量所夹角即为二面角的平面角，由公式便可轻松求出如果两个法向量都取正方向（或负方向），则即为所求二面角的补角例2如图，是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为已知，（1）设点是的中点，证明：平面；（2）求二面角的大小；解：（1）以为原点建立空间直角坐标系，则，因为是的中点，所以，易知，是平面的一个法向量因为，平面，所以平面（2），设是平面的一个法向量，则则，得：取，（负方向）显然，为平面的一个法向量（正方向）所以大小即为二面角的大小，而，所以二面角的大小是评注：用“穿入法”确定法向量方向求解二面角，体现了“数”与“形”的结合，淡化了传统立体中