matlab复化Simpson求积公式计算数值积分

1、复化 Simpson 求积公式计算数值积分一复化 Simpson 求积公式的数学理论如果用分段二次插值函数近似被积函数，即在小区间上用Simpson 公式计算积分近似值，就可导出复化 Simpson公式。二复化 Simpson 求积公式的算法和流程图将积分区间 a,b分成 n=2m等分，分点为xkakh,(k0,1,., n)bax2 k 2, x 2k （ k=0,1, ,n-1）上。用 Simpson 公式求积分，则有hn, 在每个小区间 x2kf (x) dxx2kx2 k 2 f (x2k 2 )4 f (x 2 k 1) f (x 2 k )x2k26h f (x 2 k 2 )4

2、f (x 2k1 ) f (x 2k )3求和得amx 2 kf (x) dxf (x) dxbx 2 k 2k1mk1h f (x2 k 2 ) 4 f (x2 k 1 )f (x 2 k )3整理后得到bh f (a)m 1mf (x) dxf (b) 2f (x 2k ) 4f (x 2 k 1)a3k 1k 1（ 5-21 ）式（ 5-21 ）称为复化 Simpson 公式。如果 f (x)c(4) a, b ，则由 Simpson 插值余项公式可得复化公式的截断误差为bh f (a)m 1mR ( f )f (x) dx(b) 2f (x) 4f (x)2k2k1Sa3k 1k1m(

3、2 h)5f (4) ( )x 2k2 , x 2k k 12880因为 f (4) x 为连续，故存在a, b ，使得f(4)1 mf(4)( k )( )m k1代入上式得m(2 h)5b a h4 f (4) ( )Rs ( f )mf (4) ( )(a,b)k 12880180（5-22 ）式（ 5-22 ）表明，步长 h 越小，截断误差越小。与复化梯度公式的分析相类似，可以证明，当n=2m时，用复化 Simpson 公式所得的近似值收敛于积分值，而且算法具有数值稳定性。程序中需要选择的积分函数F1,F 2,F 3F1表示函数 f ( x )1 sin xdx。0 xF224 5 x

4、 exx21 ln x表示函数 f ( x)2 x 21dx 。11 cos x sin xF3表示函数f ( x)1 cos 4dx 。0 x操作流程图 ：三复化 Simpson求积公式的 Matlab 实现function I=squad(x,y)%复化 Simpson 求积公式，其中，%x 为向量，被积函数自变量的等距结点；%y 为向量，被积函数在结点出的函数值；n=length(x);m=length(y);%积分自变量的结点数应与它的函数值的个数相同Ifrem(n-1,2)=0I=tquad(x,y);return;endN=(n-1)/2;H=（ x(n)-x(1) ）/N;a=zeros(1,n);for k=1 :N;a(2*k-1)=a(2k-1)+1;a(2*k)=a(2*k)+4;a(2*k+1)=a(2*k+1)+1;endI=h/6*sum(a.*y);四复化 Simpson 求积公式的算例实现I11dx利用程序计算积分11x2解：先用 M 文件定义一个名为myfun 的函数：function y=f(x);y=1/(1+x2);在 MATLAB命令窗口中输入.Q = quad(myfun,-1,1)Q