常德市重点2023年高考数学二模试卷含解析

1、2023年高考数学模拟试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ）A丙被录

2、用了B乙被录用了C甲被录用了D无法确定谁被录用了2复数的共轭复数为（ ）ABCD3已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线分别交于、两点，与轴的正半轴交于点，与准线交于点，且，则（ ）AB2CD34在四边形中，点在线段的延长线上，且，点在边所在直线上，则的最大值为（ ）ABCD5某人用随机模拟的方法估计无理数的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与曲线相交于点，过作轴的垂线与轴相交于点（如图），然后向矩形内投入粒豆子，并统计出这些豆子在曲线上方的有粒，则无理数的估计值是（ ） ABCD6已知数列是公差为的等差数列，且成等比数列，则（ ）A4B3C2D17已知实数，满足约束条件，

3、则的取值范围是（ ）ABCD8欧拉公式为,(虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限9已知函数，若成立，则的最小值为（ ）A0B4CD10在正项等比数列an中，a5-a1=15，a4-a2 =6，则a3=（ ）A2B4CD811已知为抛物线的焦点，点在上，若直线与的另一个交点为，则( )ABCD12山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成

4、球体）的直径（单位：）服从正态分布，则直径在内的概率为（ ）附：若，则，.A0.6826B0.8413C0.8185D0.9544二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知抛物线的焦点为，斜率为的直线过且与抛物线交于两点，为坐标原点，若在第一象限，那么_14（5分）国家禁毒办于2019年11月5日至12月15日在全国青少年毒品预防教育数字化网络平台上开展2019年全国青少年禁毒知识答题活动，活动期间进入答题专区，点击“开始答题”按钮后，系统自动生成20道题.已知某校高二年级有甲、乙、丙、丁、戊五位同学在这次活动中答对的题数分别是，则这五位同学答对题数的方差是_15已知F为抛物线C

5、：x28y的焦点，P为C上一点，M（4，3），则PMF周长的最小值是_.16的展开式中，的系数为_（用数字作答）.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：mm），得到如下的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求这个零件尺寸的中位数（结果精确到）；（2）若从这个零件中尺寸位于之外的零件中随机抽取个，设表示尺寸在上的零件个数，求的分布列及数学期望；（3）已知尺寸在上的零件为一等品，否则为二等品，将这个零件尺寸的样本频率视为概率. 现对生产线上生产

6、的零件进行成箱包装出售，每箱个. 企业在交付买家之前需要决策是否对每箱的所有零件进行检验，已知每个零件的检验费用为元. 若检验，则将检验出的二等品更换为一等品；若不检验，如果有二等品进入买家手中，企业要向买家对每个二等品支付元的赔偿费用. 现对一箱零件随机抽检了个，结果有个二等品，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据，该企业是否对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由.18（12分）已知椭圆：，不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于，两点.（）若线段的中点坐标为，求直线的方程；（）若直线过点，点满足（，分别为直线，的斜率），求的值.19（12分）设函数.（）讨论函数的单调性；（）若函数有两

7、个极值点，求证：.20（12分）已知函数.（1）若函数的图象与轴有且只有一个公共点，求实数的取值范围；（2）若对任意成立，求实数的取值范围.21（12分）已知函数的导函数的两个零点为和（1）求的单调区间；（2）若的极小值为，求在区间上的最大值22（10分）已知直线的参数方程为（，为参数），曲线的极坐标方程为.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线的形状；(2)若直线经过点，求直线被曲线截得的线段的长.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1C【解析】假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可

8、.【详解】解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意，若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意，若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意，综上可得甲被录用了，故选：C.【点睛】本题考查了逻辑推理能力，属基础题.2D【解析】直接相乘，得，由共轭复数的性质即可得结果【详解】其共轭复数为.故选：D【点睛】熟悉复数的四则运算以及共轭复数的性质.3B【解析】过点作准线的垂线，垂足为，与轴交于点，由和抛物线的定义可求得，利用抛物线的性质可构造方程求得，进而求得结果.【详解】过点作准线的垂线，垂足为，与轴交于点，由抛物线解析式知：，准线方程为.，由抛物线

9、定义知：，.由抛物线性质得：，解得：，.故选：.【点睛】本题考查抛物线定义与几何性质的应用，关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式.4A【解析】依题意，如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据求出的坐标，求出边所在直线的方程，设，利用坐标表示，根据二次函数的性质求出最大值.【详解】解：依题意，如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，由，因为点在线段的延长线上，设，解得，所在直线的方程为 因为点在边所在直线上，故设当时故选：【点睛】本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题.5D【解析】利用定积分计算出矩形中位于曲线上方区域的面积，进而利用几何概型的概率公式得

10、出关于的等式，解出的表达式即可.【详解】在函数的解析式中，令，可得，则点，直线的方程为，矩形中位于曲线上方区域的面积为，矩形的面积为，由几何概型的概率公式得，所以，.故选：D.【点睛】本题考查利用随机模拟的思想估算的值，考查了几何概型概率公式的应用，同时也考查了利用定积分计算平面区域的面积，考查计算能力，属于中等题.6A【解析】根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案.【详解】由成等比数列得，即，已知，解得.故选：.【点睛】本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力.7B【解析】画出可行域，根据可行域上的点到原点距离，求得的取值范围.【详解】由约束条件作出可行域是由，

11、三点所围成的三角形及其内部，如图中阴影部分，而可理解为可行域内的点到原点距离的平方，显然原点到所在的直线的距离是可行域内的点到原点距离的最小值，此时，点到原点的距离是可行域内的点到原点距离的最大值，此时.所以的取值范围是.故选：B【点睛】本小题考查线性规划，两点间距离公式等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识.8A【解析】计算，得到答案.【详解】根据题意，故，表示的复数在第一象限.故选：.【点睛】本题考查了复数的计算， 意在考查学生的计算能力和理解能力.9A【解析】令，进而求得，再转化为函数的最值问题即可求解.【详解】（），令：，在上增，且，所以在上减，在上增，所以，所以的最小值

12、为0.故选：A【点睛】本题主要考查了导数在研究函数最值中的应用，考查了转化的数学思想，恰当的用一个未知数来表示和是本题的关键，属于中档题.10B【解析】根据题意得到，解得答案.【详解】，解得或（舍去）.故.故选：.【点睛】本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力.11C【解析】求得点坐标，由此求得直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，求得点坐标，进而求得【详解】抛物线焦点为，令，解得，不妨设，则直线的方程为，由，解得，所以.故选：C【点睛】本小题主要考查抛物线的弦长的求法，属于基础题.12C【解析】根据服从的正态分布可得，将所求概率转化为，结合正态分布曲线的性质可求得结果.【详解】

13、由题意，则，所以，.故果实直径在内的概率为0.8185.故选：C【点睛】本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。132【解析】如图所示，先证明，再利用抛物线的定义和相似得到.【详解】由题得,.因为.所以,过点A、B分别作准线的垂线，垂足分别为M，N，过点B作于点E,设|BF|=m，|AF|=n，则|BN|=m，|AM|=n，所以|AE|=n-m，因为,所以|AB|=3(n-m)，所以3(n-m)=n+m，所以.所以.故答案为：2【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，意在考查学生对这些

14、知识的理解掌握水平.142【解析】由这五位同学答对的题数分别是，得该组数据的平均数，则方差155【解析】PMF的周长最小，即求最小，过做抛物线准线的垂线，垂足为，转化为求最小，数形结合即可求解.【详解】如图，F为抛物线C：x28y的焦点，P为C上一点，M（4，3），抛物线C：x28y的焦点为F（0，2），准线方程为y2.过作准线的垂线，垂足为，则有，当且仅当三点共线时，等号成立，所以PMF的周长最小值为55.故答案为：5.【点睛】本题考查抛物线定义的应用，考查数形结合与数学转化思想方法，属于中档题.1660【解析】根据二项式定理展开式通项，即可求得的系数.【详解】因为，所以，则所求项的系数为.

15、故答案为：60【点睛】本题考查了二项展开式通项公式的应用，指定项系数的求法，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）；（2）分布列见详解，期望为；（3）余下所有零件不用检验，理由见详解.【解析】（1）计算的频率，并且与进行比较，判断中位数落在的区间，然后根据频率的计算方法，可得结果.（2）计算位于之外的零件中随机抽取个的总数，写出所有可能取值，并计算相对应的概率，列出分布列，计算期望，可得结果.（3）计算整箱的费用，根据余下零件个数服从二项分布，可得余下零件个数的期望值，然后计算整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值，进行比较，可得结果.【详解】（1）尺

16、寸在的频率：尺寸在的频率：且所以可知尺寸的中位数落在假设尺寸中位数为所以所以这个零件尺寸的中位数（2）尺寸在的个数为尺寸在的个数为的所有可能取值为1，2，3，4则，所以的分布列为（3）二等品的概率为如果对余下的零件进行检验则整箱的检验费用为（元）余下二等品的个数期望值为如果不对余下的零件进行检验，整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值为（元）所以，所以可以不对余下的零件进行检验.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，掌握中位数，平均数，众数的计算方法，中位数的理解应该从中位数开始左右两边的频率各为0.5，考验分析能力以及数据处理，属中档题.18（）（）【解析】（）根据点差法，即可求得直线的斜率，则

17、方程即可求得；（）设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理，根据，即可求得参数的值.【详解】（1）设，则两式相减，可得.（*）因为线段的中点坐标为，所以，.代入（*）式，得.所以直线的斜率.所以直线的方程为，即.（）设直线：（），联立整理得.所以，解得.所以，.所以，所以.所以.因为，所以.【点睛】本题考查中点弦问题的点差法求解，以及利用代数与几何关系求直线方程，涉及韦达定理的应用，属中档题.19（）见解析（）见解析【解析】（）求导得到，讨论，三种情况得到单调区间.（）设，要证，即证，设，根据函数单调性得到证明.【详解】（） ， 令，（1）当，即时，在上单调递增； （2）当，即时，设的两根为（

18、），若，时，所以在和上单调递增， 时，所以在上单调递减，若，时，所以在上单调递减， 时，所以在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增；当时， 在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. （）不妨设，要证，即证，即证，由（）可知，可得，所以有， 令，所以在单调递增， 所以， 因为，所以，所以.【点睛】本题考查了函数单调性，证明不等式，意在考查学生的分类讨论能力和计算能力.20（1）（2）【解析】（1）求出及其导函数，利用研究的单调性和最值，根据零点存在定理和零点定义可得的范围（2）令，题意说明时，恒成立.同样求出导函数，由研究的单调性，通过分类讨论可得的单调性得出结论【详解

19、】解（1）函数所以讨论：当时，无零点；当时，所以在上单调递增.取，则又，所以，此时函数有且只有一个零点；当时，令，解得（舍）或当时，所以在上单调递减；当时，所以在上单调递增.据题意，得，所以（舍）或综上，所求实数的取值范围为.（2）令，根据题意知，当时，恒成立.又讨论：若，则当时，恒成立，所以在上是增函数.又函数在上单调递增，在上单调递增，所以存在使，不符合题意.若，则当时，恒成立，所以在上是增函数，据求解知，不符合题意.若，则当时，恒有，故在上是减函数，于是“对任意成立”的充分条件是“”，即，解得，故综上，所求实数的取值范围是.【点睛】本题考查函数零点问题，考查不等式恒成立问题，考查用导数研究函数的单调性解