甘肃省兰州市第五十一2023学年高考数学三模试卷含解析

1、2023年高考数学模拟试卷注意事项：1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用05毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 “完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.古希腊数学家

2、毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（ ）ABCD2若实数满足不等式组则的最小值等于（ ）ABCD3已知命题：“关于的方程有实根”，若为真命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是（ ）ABCD4若复数满足，则（其中为虚数单位）的最大值为（ ）A1B2C3D45已知（i为虚数单位，），则ab等于（ ）A2B-2CD6某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左

3、视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（ ）ABCD27已知，则的大小关系为（ ）ABCD8已知复数，若，则的值为（ ）A1BCD9过双曲线的右焦点F作双曲线C的一条弦AB，且，若以AB为直径的圆经过双曲线C的左顶点，则双曲线C的离心率为（ ）ABC2D10如图，在中，点为线段上靠近点的三等分点，点为线段上靠近点的三等分点，则（ ）ABCD11直角坐标系中，双曲线（）与抛物线相交于、两点，若是等边三角形，则该双曲线的离心率（ ）ABCD12已知函数满足，且，则不等式的解集为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13函数在上的最小值和最大值分别

4、是_14已知，则_。15设满足约束条件，则的取值范围为_.16若函数，其中且，则_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标，某农科所的专家在土壤环境不同的甲、乙两块实验地分别种植某品种的棉花，为了评价该品种的棉花质量，在棉花成熟后，分别从甲、乙两地的棉花中各随机抽取21根棉花纤维进行统计，结果如下表：（记纤维长度不低于311的为“长纤维”，其余为“短纤维”）纤维长度甲地（根数）34454乙地（根数）112116（1）由以上统计数据，填写下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过1.125的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关

5、系”.甲地乙地总计长纤维短纤维总计附：（1）；（2）临界值表；1111.151.1251.1111.1151.1112.7163.8415.1246.6357.87911.828（2）现从上述41根纤维中，按纤维长度是否为“长纤维”还是“短纤维”采用分层抽样的方法抽取8根进行检测，在这8根纤维中，记乙地“短纤维”的根数为，求的分布列及数学期望.18（12分）已知椭圆，过的直线与椭圆相交于两点，且与轴相交于点.（1）若，求直线的方程；（2）设关于轴的对称点为，证明：直线过轴上的定点.19（12分）已知抛物线上一点到焦点的距离为2，（1）求的值与抛物线的方程；（2）抛物线上第一象限内的动点在点右侧

6、，抛物线上第四象限内的动点，满足，求直线的斜率范围.20（12分）传染病的流行必须具备的三个基本环节是：传染源、传播途径和人群易感性.三个环节必须同时存在，方能构成传染病流行.呼吸道飞沫和密切接触传播是新冠状病毒的主要传播途径，为了有效防控新冠状病毒的流行，人们出行都应该佩戴口罩.某地区已经出现了新冠状病毒的感染病人，为了掌握该地区居民的防控意识和防控情况，用分层抽样的方法从全体居民中抽出一个容量为100的样本，统计样本中每个人出行是否会佩戴口罩的情况，得到下面列联表：戴口罩不戴口罩青年人5010中老年人2020（1）能否有的把握认为是否会佩戴口罩出行的行为与年龄有关？（2）用样本估计总体，若

7、从该地区出行不戴口罩的居民中随机抽取5人，求恰好有2人是青年人的概率.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82821（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是(为参数)，以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.()求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；()已知直线与曲线交于，两点，与轴交于点，求.22（10分）设函数，直线与函数图象相邻两交点的距离为.（）求的值；（）在中，角所对的边分别是，若点是函数图象的一个对称中心，且，求面积的最大值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，

8、只有一项是符合题目要求的。1C【解析】先求出五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个的基本事件总数为，再求出6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，根据即可求出6和28不在同一组的概率.【详解】解：根据题意，将五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则基本事件总数为，则6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，6和28不在同一组的概率.故选：C.【点睛】本题考查古典概型的概率的求法，涉及实际问题中组合数的应用.2A【解析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求的最小值【详解】解：作出实数，满足不等式组表示的平面区域（如图示：阴影部分）由得，由得，平移，易知过点时直线在上截距最

9、小，所以故选：A【点睛】本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题3B【解析】命题p：，为，又为真命题的充分不必要条件为，故4B【解析】根据复数的几何意义可知复数对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，再根据复数的几何意义即可确定，即可得的最大值.【详解】由知，复数对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，表示复数对应的点与点间的距离，又复数对应的点所在圆的圆心到的距离为1，所以.故选：B【点睛】本题考查了复数模的定义及其几何意义应用，属于基础题.5A【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求解【详解】，得，故选：【点睛】本题考查

10、复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题6B【解析】首先根据题中所给的三视图，得到点M和点N在圆柱上所处的位置，将圆柱的侧面展开图平铺，点M、N在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果.【详解】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，将圆柱的侧面展开图平铺,可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为，故选B.点睛：该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位

11、置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.7A【解析】根据指数函数的单调性，可得，再利用对数函数的单调性，将与对比，即可求出结论.【详解】由题知，则.故选:A.【点睛】本题考查利用函数性质比较大小，注意与特殊数的对比，属于基础题.8D【解析】由复数模的定义可得：，求解关于实数的方程可得：.本题选择D选项.9C【解析】由得F是弦AB的中点.进而得AB垂直于x轴，得，再结合关系求解即可【详解】因为，所以F是弦AB的中点.且AB垂直于x轴.因为以AB为直径的圆经过双曲线C的左顶点，所以，即，则，故.故选：C【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率

12、的综合考查，是考查基本知识，属于基础题10B【解析】，将,代入化简即可.【详解】.故选：B.【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算、数乘运算，考查学生的运算能力，是一道中档题.11D【解析】根据题干得到点A坐标为，代入抛物线得到坐标为，再将点代入双曲线得到离心率.【详解】因为三角形OAB是等边三角形，设直线OA为，设点A坐标为，代入抛物线得到x=2b,故点A的坐标为，代入双曲线得到 故答案为：D.【点睛】求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出，代入公式；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于

13、的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围).12B【解析】构造函数,利用导数研究函数的单调性，即可得到结论.【详解】设,则函数的导数,，即函数为减函数,，则不等式等价为，则不等式的解集为,即的解为，由得或，解得或,故不等式的解集为.故选:.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数单调性，根据函数的单调性解不等式，考查学生分析问题解决问题的能力,是难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】求导，研究函数单调性，分析，即得解【详解】由题意得，令，解得，令，解得.在上递减，在递增，而，故在区间上的最小值和最大值分别是故答案为：【点睛】本题考查了导数在函数最值的求解中

14、的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题14【解析】由已知求，再利用和角正切公式，求得，【详解】因为所以cos因此.【点睛】本题考查了同角三角函数基本关系式与和角的正切公式。15【解析】由题意画出可行域，转化目标函数为，数形结合即可得到的最值，即可得解.【详解】由题意画出可行域，如图：转化目标函数为，通过平移直线，数形结合可知：当直线过点A时，直线截距最大，z最小；当直线过点C时，直线截距最小，z最大.由可得，由可得，当直线过点时，；当直线过点时，所以.故答案为：.【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合思想，属于基础题.16【解析】先化简函数的解析式，在求出，

15、从而求得的值.【详解】由题意，函数可化简为，所以，所以.故答案为：0.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，以及导数的运算和函数值的求解，其中解答中正确化简函数的解析式，准确求解导数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）在犯错误概率不超过的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”（2）见解析【解析】试题分析：（1）可以根据所给表格填出列联表，利用列联表求出，结合所给数据，应用独立性检验知识可作出判断；（2）写出的所有可能取值，并求出对应的概率，可列出分布列并进一步求出的数学期望试题解析：（）根据已知数据得到如下列联表：甲

16、地乙地总计长纤维91625短纤维11415总计212141根据列联表中的数据，可得所以，在犯错误概率不超过的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系” （）由表可知在8根中乙地“短纤维”的根数为，的可能取值为：1,1,2,3， ， 的分布列为：1123 18（1）或；（2）见解析【解析】（1）由已知条件利用点斜式设出直线的方程，则可表示出点的坐标，再由的关系表示出点的坐标，而点在椭圆上，将其坐标代入椭圆方程中可求出直线的斜率；（2）设出两点的坐标，则点的坐标可以表示出，然后直线的方程与椭圆方程联立成方程，消元后得到关于的一元二次方程，再利用根与系数的关系，再结合直线的方程，化简可得结果.【详解】（

17、1）由条件可知直线的斜率存在，则可设直线的方程为，则，由，有，所以，由在椭圆上，则，解得，此时在椭圆内部，所以满足直线与椭圆相交，故所求直线方程为或.（也可联立直线与椭圆方程，由验证）（2）设，则，直线的方程为.由得，由，解得，当时，故直线恒过定点.【点睛】此题考查的是直线与椭圆的位置关系中的过定点问题，计算过程较复杂，属于难题.19（1）1；（2）【解析】（1）根据点到焦点的距离为2，利用抛物线的定义得，再根据点在抛物线上有，列方程组求解，（2）设，根据，再由，求得，当，即时，直线斜率不存在；当时，令，利用导数求解，【详解】（1）因为点到焦点的距离为2，即点到准线的距离为2，得，又，解得，所

18、以抛物线方程为（2）设，由由，则当，即时，直线斜率不存在；当时，令，所以在上分别递减则【点睛】本题主要考查抛物线定义及方程的应用，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题，20（1）有的把握认为是否戴口罩出行的行为与年龄有关.（2）【解析】(1) 根据列联表和独立性检验的公式计算出观测值,从而由参考数据作出判断.(2) 因为样本中出行不戴口罩的居民有30人,其中年轻人有10人,用样本估计总体,则出行不戴口罩的年轻人的概率为，是老年人的概率为.根据独立重复事件的概率公式即可求得结果.【详解】（1）由题意可知，有的把握认为是否戴口罩出行的行为与年龄有关.（2）由样本估计总体，出行不戴口罩的年轻人的概率为，是老年人的概率为.人未戴口罩，恰有2人是青年人的概率.【