专题6-2 数列求和归类高考数学一轮复习题型归纳与变式演练（全国通用）（解析版）

1、 41/41专题6-2数列求和归类目录一、热点题型归纳TOC o 1-3 h u HYPERLINK l _Toc9946 【题型一】等差等比数列求和 PAGEREF _Toc9946 2 HYPERLINK l _Toc29838 【题型二】分组求和 PAGEREF _Toc29838 3 HYPERLINK l _Toc20747 【题型三】倒序求和 PAGEREF _Toc20747 5 HYPERLINK l _Toc10486 【题型四】错位相消求和 PAGEREF _Toc10486 7 HYPERLINK l _Toc24191 【题型五】裂项相消常规型 PAGEREF _Toc

2、24191 9 HYPERLINK l _Toc13756 【题型六】分段求和 PAGEREF _Toc13756 11 HYPERLINK l _Toc31085 【题型七】正负相间求和 PAGEREF _Toc31085 14 HYPERLINK l _Toc32588 【题型八】 型裂项相消 PAGEREF _Toc32588 15 HYPERLINK l _Toc13126 【题型九】型裂项相消 PAGEREF _Toc13126 17 HYPERLINK l _Toc23879 【题型十】型裂项相消 PAGEREF _Toc23879 19 HYPERLINK l _Toc2410

3、【题型十一】型裂项相消 PAGEREF _Toc2410 21 HYPERLINK l _Toc21185 【题型十一】“分子分母有理化”型裂项 PAGEREF _Toc21185 21 HYPERLINK l _Toc26858 【题型十二】型裂项相消 PAGEREF _Toc26858 24 HYPERLINK l _Toc32144 二、真题再现 PAGEREF _Toc32144 25 HYPERLINK l _Toc28971 三、模拟检测 PAGEREF _Toc28971 33【题型一】等差等比数列求和【典例分析】在等差数列中， .（1）求数列的通项公式；（2）设，求的值.【全国

4、百强校】甘肃省高台县第一中学高三考试数学（文）试题【答案】(1) ;（2) 试题解析：(1)设等差数列的公差为，由已知得解得 ，即 （2)由(1)知=+ = 【提分秘籍】等差等比求和公式：等差：前n项和公式：Snna1eq f(nn1,2)deq f(na1an,2).等比：前n项和公式：Sneq blcrc (avs4alco1(na1，q1，,f(a11qn,1q)f(a1anq,1q)，q1.)【变式演练】1.已知数列是等差数列，其前项和为，且,，设.（1）求；（2）求数列的前项和. 【答案】（1）（2）试题解析：（1）；（2）， .2.已知等差数列的公差不为零， ，且成等比数列（1）求

5、的通项公式；（2）求 【答案】（）；（）试题解析：（1）设数列的公差为，由题意得，即，于是，又因为，所以（舍去），所以（2）令，由（1）知，故是首项为25，公差为6的等差数列从而【题型二】分组求和【典例分析】已知正项等比数列的前项和为，且满足关于的不等式的解集为.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设等比数列的公比为，由不等式的解集为得到和的值，进而求得数列的通项公式；（2）由（1）中的通项公式得到的通项公式，由的通项公式的特点进行等差数列和等比数列分组求和，进而得到的前项和.【详解】（1）设等比数列的公比为.因为关于的不等式的解集

6、为，所以，又，得， 所以，解得.所以数列的通项公式为. （2）由（1）可得，.因为，所以， 所以数列的前项和 .所以.【提分秘籍】基本规律分组求和法：1.形如an，用分组求和法，分别求和而后相加减2.形如an，用分组求和法，分别求和而后相加减3.形如an，用分组求和法，分别求和而后相加减【变式演练】1.已知在等比数列中，且是和的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和. 【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用等差中项的性质列方程，由此求得，进而求得数列的通项公式；（2）利用分组求和法求得.【详解】（1）设等比数列的公比为，则，则，由于是和的等差中项，即，即，解

7、得.因此，数列的通项公式为；（2），.2.已知正项数列满足：，.（1）判断数列是否是等比数列，并说明理由；（2）若，设，求数列的前项和. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）.【解析】【分析】（1）把已知等式左边因式分解，由数列为正项数列得，但需对讨论，不是等比数列，否则是等比数列；（2）由（1）求得，即可得，用分组求和法求和【详解】解：（1），又是正项数列，可得，当时，数列不是等比数列；当时，易知，故，所以数列是等比数列，首项为，公比为2.（2）由（1）知，.【题型三】倒序求和【典例分析】已知函数（1）证明函数的图像关于点对称;（2）若，求； 【答案】（1） 证明：见解析；（2）；【

8、解析】试题分析：（1） 证明：因为函数的定义域为， 设、是函数图像上的两点, 其中且,则有因此函数图像关于点对称 4分（2）由（1）知当时，+得8分【提分秘籍】基本规律倒序求和，多是具有中心对称的【变式演练】1.设奇函数fx对任意xR都有(1)求f12和(2)数列an满足：an=f 【答案】解：（1）14，12；（2【解析】【分析】（1）根据fx=fx1+12，且f（x）是奇函数，将12（2）利用倒序相加法结合第一问的结论，求出Sn，进而求出数列an的通项公式，再根据定义即可证得数列an是等差数列【详解】解：（1）fx=fx1+1f12f12因为fx=fx1令x=kn，得fk（2）令S又S两式

9、相加2S所以Sn故an=又an+1an=n+142.已知f(x) (xR)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函数yf(x)的图像上的两点，且线段P1P2的中点P的横坐标是.（1）求证：点P的纵坐标是定值； （2）若数列an的通项公式是an，求数列an的前m项和Sm.【答案】（1）见证明过程（2）Sm【分析】（1）根据P1P2的中点P的横坐标是可得x1x21，计算y1y2，代入x1x21可得y1y2，即可得证；（2）利用倒序相加法求数列的和即可.【详解】（1）证明：P1P2的中点P的横坐标为，x1x21.P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函数yf(x)的图像上的两点，y1，y2y1

10、y2，点P的纵坐标为.点P的纵坐标是定值（2）Sma1a2a3amffff fffff(1)令Sffff，倒序得Sffff，得2Sf ff fff1(k1，2，3，m1)，由（1）知ff.2S (m1)，S (m1)又f(1)，SmSf(1)(m1)【题型四】错位相消求和【典例分析】设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和解：（1）设的公比为，由题设得 即.所以 解得（舍去），.故的公比为.（2）设为的前n项和.由（1）及题设可得，.所以，.可得 所以.【提分秘籍】基本规律错位相减法：形如an，用错位相减法求解【变式演练】1.设等差数列的前项和为，且，.

11、（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足， 求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设等差数列的公差为，求出，即得解；（2）由题得，再利用错位相减法求和得解.【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得，解得， 因此；（2）由题意知：，所以，则，两式相减得，因此，.2.设数列的前项和为，且对任意正整数，点都在直线上.（1）求的通项公式；（2）若，求的前项和. 【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由在上有递推式，即可得，说明此等量关系在上都成立，则可求的通项公式；（2）结合（1）知，利用错位相减法求的前项和.【详解】（1）由点在直线上，有，当时，两式相减得，即，又当时，而，解得，满

12、足，即是首项，公比的等比数列，的通项公式为.（2）由（1）知，则，.两式相减得所以.【题型五】裂项相消常规型【典例分析】设数列满足：，且（），.（1）求的通项公式：（2）求数列的前项和. 【答案】（1）（）（2）【分析】(1)先根据等差中项判别法判断出数列是等差数列,然后根据已知条件列式求出公差,即可得到数列的通项公式;(2)由(1)求出数列的通项公式,然后运用裂项相消法求出前项和.【详解】(1)由()可知数列是等差数列,设公差为,因为,所以,解得,所以的通项公式为:();(2)由(1)知,所以数列的前项和:.【提分秘籍】基本规律裂项相消法：常用的裂项公式有：eq f(1,nn1)eq f(1

13、,n)eq f(1,n1)；eq f(1,2n12n1)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2n1)f(1,2n1)；eq f(1,r(n)r(n1)eq r(n1)eq r(n)；eq f(2n,2n12n11)eq f(1,2n1)eq f(1,2n11)；eq f(n1,n2n22)eq f(1,4)eq f(n+2)2n2,n2(n+2)2)eq f(1,4)eq f(1,(n+2)2)eq f(1,n2)【变式演练】1.已知等差数列的前项和为，且，.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由，得，则，进而可

14、得答案；（2）利用（1）由得，利用裂项相消法可得答案.【详解】（1）由，得，同理可得，设公差为，则，所以.（2）由得，所以所以.2.已知公差不为零的等差数列满足：，且是与的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据等差数列的通项公式列方程组，求出首项和公差即可得出通项公式；（2）利用裂项相消法求和【详解】（1）设等差数列的公差为d，且是与的等比中项，解得，.（2）由（1）得，【题型六】分段求和【典例分析】已知数列的前项和为，.（1）求证：数列是等差数列；（2）若，设数列的前项和为，求. 【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】

15、（1）由已知变形为，可证得等差数列；（2）由（1）求得，从而得，对按奇数项和偶数项分别分组求和，奇数项的和用裂项相消法求和，偶数项用等比数列前项和公式求和【详解】解：（1）证明：因为，所以，所以，所以.所以是以为首项，以为公差的等差数列.（2）由（1）可得，所以.【提分秘籍】基本规律分段数列求和：1.分奇偶讨论，各自新数列求和。注意奇数项与偶数项各自项数。2.要注意处理好奇偶数列对应的项：（1）可构建新数列；（2）可“跳项”求和【变式演练】1.设是等差数列，是等比数列.已知，.（1）求和的通项公式；（2）数列满足，设数列的前项和为，求. 【答案】（1），；（2）.【分析】（1）设是公差为的等差

16、数列，是公比为的等比数列，根据条件求出，再代入通项公式即可；（2）利用等差数列和等比数列的前项和公式求和，即可得答案；【详解】（1）设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，由，可得，解得，则，；（2）.2.已知等比数列的前项和为，且，成等差数列.（1）求的通项公式；（2）若数列满足，设，求数列的前项和. 【答案】（1），；（2）.【分析】（1）运用等差数列的中项性质和等比数列的定义、通项公式可得所求；（2）由等差数列的定义和通项公式，可得，求得，运用数列的分组求和，以及等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和.【详解】解：（1）由，成等差数列，可得，即，即，即，所以等比数列的公比为2，又，可

17、得，；（2）由，可得是首项为0，公差为1的等差数列，则，所以的前项和为.【题型七】正负相间求和【典例分析】设是数列的前n项和，已知，求数列的通项公式； 设，求数列的前项和 【答案】（1）（2）【详解】（1）因为，所以当时，两式相减得， 所以当时，则所以数列为首项为，公比为的等比数列， 故（2）由（1）可得所以故当为奇数时， 当为偶数时，综上【提分秘籍】基本规律正负相间求和：1.奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。2.如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项。【变式演练】1.已知数列的前项和是，且.（1）求数列的通项公式；

18、（2）令，求数列前项的和. 【答案】(1) ；(2).解析：（1）由得，于是是等比数列.令得，所以.（2），于是数列是首项为0，公差为1的等差数列. ，所以.2.已知等差数列满足：，.（1）求的通项公式；（2）若数列满足：，求的前项和. 【答案】（1）；（2）为偶数，；为奇数，；【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得，解得，故的通项公式为.（2）由于，若为偶数，结合，得；若为奇数，则.综上，当为偶数时，当为奇数时，.【题型八】 型裂项相消【典例分析】正项数列的前n项和Sn满足： (1)求数列的通项公式； (2)令，数列bn的前n项和为Tn，证明：对于任意的nN*，都有Tn . 【答案】（1）

19、（2）见解析【详解】（1）因为数列的前项和满足：，所以当时，即解得或，因为数列都是正项，所以，因为，所以，解得或，因为数列都是正项，所以，当时，有，所以，解得，当时，符合所以数列的通项公式，;（2）因为，所以，所以数列的前项和为：，当时，有，所以，所以对于任意，数列的前项和.【提分秘籍】基本规律1.形如，可列为型。其中，分子a-b是隐藏比较深的分母相减结果，需要注意构造出这种形式。2.如果分子次幂比较高，可以先分离常数，再构造分母之差的形式。【变式演练】1.数列满足，且.（1）设，证明：数列是等差数列；（2）设，求数列的前项和为. 【答案】（1）证明见详解；（2）.【详解】（1）由得，则，即，

20、因为，所以，即数列是以为公差的等差数列；（2）因为，所以；由（1）得，即，则，所以，以上各式相乘可得，所以；因此，因此数列的前项和为.2.等差数列满足，成等比数列，数列满足，.（）求数列，的通项公式；（）数列的前项和为，证明. 【答案】（）；（）证明见解析.【详解】（）由题意得（不符）或，所以.则当时.当时符合，所以.（）由（）知，所以.【题型九】型裂项相消【典例分析】在数列中，且对任意的N*，都有.（）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（）设，记数列的前项和为，若对任意的N*都有，求实数的取值范围. 【答案】（）见证明；（）【详解】（）由可得 又，所以，故.所以是首项为2，公比为2的等

21、比数列.所以. 所以. （）因为. 所以. 又因为对任意的都有，所以恒成立，即,即当时，.【提分秘籍】基本规律形如指数型，其中f（n）可构造为，化为。注意构造过程中指数幂的运算。【变式演练】1.已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）令，记数列的前项和为，若对于任意的，均有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）.【详解】（1）由，则，两式相除得：.当为奇数时，当为偶数时，.（2）由（1）知，则，由恒成立，则.2.在数列中，.（1）求的通项公式；（2），是数列的前项和，求证： 【答案】（1）；（2）证明见解析.【详解】（1）由得，又，所以数列为首项为3，公比为4的等比数列，故，

22、又，则有，所以当为奇数时，当为偶数时，经验证均符合，故；（2），则，所以，所以所以【题型十】型裂项相消【典例分析】已知是公差不为零的等差数列的前项和，是与的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）设数列，数列的前项和为，若，求正整数的最小值. 【答案】（1）；（2）505.【详解】（1）公差不为零的等差数列，由是与的等比中项，可得，即，解得.又，可得，所以数列是以1为首项和公差的等差数列，所以.（2）由（1）可知，所以的最小值为505.【提分秘籍】基本规律形如型，可构造，化为利用正负相间裂项相消求和。【变式演练】1.已知数列an的中a1=1，a2=2，且满足.（1）求数列an的通项公式；（2）

23、设bn，记数列bn的前n项和为Tn，若|Tn+1|，求n的最小值. 【答案】（1）；（2）2020.【详解】（1）数列an的中a1=1，a2=2，且满足.当n2时， ，两式作差整理得：，所以：，累加法可得： a1=1，a2=2也满足此式，数列an的通项公式为an=n.（nN*）.（2）bn（1）n（），数列bn的前n项和：Tn=（）+（）+（）+=1，nN*，|Tn+1|，|Tn+1|，解得n2019.n的最小值为2020.2.已知数列的前项和为，设.（1）证明：是等比数列；（2）设，求的前项和，若对于任意恒成立，求取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）当时，当时，所以，

24、即，即，又，是首项，公比为2的等比数列（2）由（1）知，即，所以 当为偶数时，是递减的，此时当时，取最大值，则.当为奇数时，是递增的，此时，则.综上，的取值范围是.【题型十一】型裂项相消【典例分析】已知正项数列的前项和为，且是4与的等比中项.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和. 【答案】（1）（2）【详解】（1）由题意得：，,当时，.，得. ，当时，是以1为首项，2为公差的等差数列，.（2），设，.【提分秘籍】基本规律形如型，可构造，化为利用正负相间裂项相消求和。注意构造过程中指数幂的运算。 【题型十一】“分子分母有理化”型裂项【典例分析】数列满足，.（1）求证:数列是等比数列，并求出的

25、通项公式；（2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析，（2）【详解】（1）易知，故，即，因此数列是以为首项，为公比的等比数列，所以；（2）因为，故，因此数列的前项和.【提分秘籍】基本规律一般情况下，无理型【变式演练】1.设an是各项都为整数的等差数列，其前n项和为，是等比数列，且，.（1）求数列，的通项公式；（2）设cnlog2b1+log2b2+log2b3+log2bn， .（i）求Tn；（ii）求证：2. 【答案】（1），（2）（i）n3（ii）证明见解析；解：（1）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，由，可得解得d2，q2或d，q5，由于an是各项都为整数的等差

26、数列，所以d2，q2，从而，；（i）log2bnlog22n1n1，cn0+1+2+（n1）n（n1），a2（i）1n2n1+2i，Tn（n2n1+2）+（n2n1+4）+（n2n1+2n）n（n2n1）+（2+4+2n）n（n2n1）+n（n+1）n3；（ii）证明：，而，1，由于0，可得12.则.2.已知数列的前项和满足，且.（1）求证：数列是常数数列；（2）设，为数列的前项和，求使成立的最小正整数的值.【答案】（1）证明见解析；（2）50.【详解】（1），（2），两式相减：，即，.时，所以数列是常数数列.（2）由（1）得，时，所以：，而时，解得满足，所以，又，.所以的最小值为50【题型十

27、二】型裂项相消【典例分析】已知正项数列满足：，其中是数列的前项和（1）求数列的通项公式；（2）设，证明： 【答案】（1）；（2）证明见解析.【详解】（1）由，又有，两式相减得，因为，所以，又，时，解得，满足，因此数列是等差数列，首项为1，公差为1，所以（2）所以【提分秘籍】基本规律形如型“等差指数幂”裂项型，分子可构造为，化为裂项求解。【变式演练】1.设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知，（1）求数列，的通项公式；（2）设，（i）求（ii）求 【答案】（1）， （2）（i）； （ii）【详解】（1）设数列的首项为，公差为，数列的公比为，已知，或，由，解得：，;（）设，则：（）（）由于：，

28、故2.已知为单调递增数列，为其前项和，()求的通项公式；()若为数列的前项和，证明：. 【答案】(1)；(2)见解析.试题解析：（）当时，,所以，即,又为单调递增数列，所以.由得，所以,整理得,所以.所以，即,所以是以1为首项，1为公差的等差数列，所以.()所以.1.（2017全国高考真题（理）等差数列的首项为，公差不为若、成等比数列，则的前项的和为（）ABCD【答案】A【分析】根据等比中项的性质，结合等差数列的通项公式，列出关于等差数列公差的方程，求出，再利用等差数列的前项和公式，即可求出结果.【详解】因为设等差数列的公差，且，若、成等比数列，所以，所以，所以，即，所以的前项的和为.故选：A

29、.2.（2022全国高考真题（理）记为数列的前n项和已知(1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得（1）因为，即，当时，得，即，即，所以，且，所以是以为公差的等差数列（2）方法一：二次函数的性质由（1）可得，又，成等比数列，所以，即，解得，所以，所以，所以，当或时，方法二：【最优解】邻项变号法由（1）可得，又，成等比数列，所以，即，解得，所以，即有.则当或时，3.（2021浙江高考真题）已知数列的前

30、n项和为，且.（1）求数列的通项；（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由，结合与的关系，分讨论，得到数列为等比数列，即可得出结论；（2）由结合的结论，利用错位相减法求出，对任意恒成立，分类讨论分离参数，转化为与关于的函数的范围关系，即可求解.【详解】（1）当时，当时，由，得，得，又是首项为，公比为的等比数列，；（2）由，得，所以，两式相减得，所以，由得恒成立，即恒成立，时不等式恒成立；时，得；时，得；所以.4.（2021全国高考真题（文）设是首项为1的等比数列，数列满足已知，成等差数列（1）求和的通项公式；（2）记和分别为和

31、的前n项和证明：【答案】（1），；（2）证明见解析.【分析】（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可；（2）利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可.【详解】（1）因为是首项为1的等比数列且，成等差数列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）方法一：作差后利用错位相减法求和，设，则由-得所以因此故方法二【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得，得 ，所以，所以，所以.方法三：构造裂项法 由（）知，令，且，即，通过等式左右两边系数比对易得，所以则，下同方法二方法四：导函数法设，由于，则又，所以，下同方法二5.（2021全国高考真题）已知数列满足，（1）记，写出，并求数列的通

32、项公式；（2）求的前20项和.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列的特征，然后求和其通项公式即可；(2)方法二：分组求和，结合等差数列前项和公式即可求得数列的前20项和.【详解】解：（1）方法一【最优解】：显然为偶数，则，所以，即，且，所以是以2为首项，3为公差的等差数列，于是方法二：奇偶分类讨论由题意知，所以由（为奇数）及（为偶数）可知，数列从第一项起，若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，若为偶数，则其后一项减去该项的差为2所以，则方法三：累加法由题意知数列满足所以，则所以，数列的通项公式（2）方法一：奇偶分类讨论方法二：分组求和由题意知数列满足，所以

33、所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列从而数列的前20项和为：6.（2011全国高考真题（理）等比数列的各项均为正数，且.（1）求数列的通项公式；（2）设bnlog3a1log3a2log3an，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据题意列出方程组，求出首项与公比，即可求出等比数列的通项公式即可；（2）由an化简bnlog3a1log3a2log3an，可得到bn的通项公式，求出的通项公式，利用裂项相消法求和.【详解】（1）设数列an的公比为q,由9a2a6得9,所以q2.由条件可知q0,故q.由2a13a2

34、1得2a13a1q1,所以a1.故数列an的通项公式为an.（2）bnlog3a1log3a2log3an（12n）.故.所以数列的前n项和为7.（天津高考真题（理）已知数列满足，且成等差数列.（）求的值和的通项公式；（）设，求数列的前项和.【答案】（） ; （）.【详解】（） 由已知，有，即，所以，又因为，故，由，得，当时，当时，所以的通项公式为（） 由（）得，设数列的前项和为，则，两式相减得，整理得所以数列的前项和为.8.（江西高考真题（理）已知数列an的前n项和,且Sn的最大值为8.（1）确定常数k，求an；（2）求数列的前n项和Tn【答案】（1）（2）Tn【详解】试题分析：（1）当时，

35、取最大值，即，故，从而，又，所以（1） 因为，所以9.（2020海南高考真题）已知公比大于的等比数列满足（1）求的通项公式；（2）求.【答案】（1）；（2）【分析】(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式；(2)首先求得数列的通项公式，然后结合等比数列前n项和公式求解其前n项和即可.【详解】(1) 设等比数列的公比为q(q1)，则，整理可得：，数列的通项公式为：.(2)由于：，故：.10.（2020全国高考真题（理）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知结合等

36、差中项关系，建立公比的方程，求解即可得出结论；（2）由（1）结合条件得出的通项，根据的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.【详解】（1）设的公比为，为的等差中项，；（2）设的前项和为，得，.1.已知数列是等差数列，其前项和为，且,，设.（1）求；（2）求数列的前项和. 【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由等差数列通项公式及前n项和公式，联立方程组解得首项与公差，再代入通项公式可得；（2）由于数列为等比数列，所以根据等比数列前n项和公式可得数列的前项和.试题解析：（1）；（2）， .2.已知等差数列中，数列的前项和.（1）求，；（2）若，求的前项和. 【答案】（1），；（2）.【

37、解析】【分析】（1）先设等差数列的公差为，然后应用等差数列的通项公式列出关于首项与公差的方程组，解出与的值，即可得到数列的通项公式，再应用即可得到数列的通项公式；（2）先根据第（1）题的结果计算出的通项公式，然后结合等差数列的求和公式，利用分组求和法可得答案【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为，则，当时，解得当时，整理，得，是以1为首项，2为公比的等比数列，（2）由（1），可知，3.设是函数的图象上任意两点，且，已知点的横坐标为（1）求证：点的纵坐标为定值；（2）若求； 【答案】（1）详见解析；（2）；（3）（+）【解析】试题分析：（1）利用中点坐标公式的表示，得到，然后代入求中点的纵坐标

38、的过程，根据对数运算法则，可以得到常数；（2）利用上一问的结果，当时，可以采用倒序相加法，求和；（3）根据上一问的结果，代入，求，然后跟形式，采用裂项相消法求和，并反解，转化为恒成立求最值的问题试题解析：（1）证明：设由知，点的纵坐标为定值（2）由（1）知,两式相加得：7分4.已知数列中，前项和为，若（，且）.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先求出，再求出即得解；（2）求出，再利用错位相减法求数列的前项和.【详解】（1）数列中，（，且），又（，且），可得：，则数列是以为首项，公差为1的等差数列，则，则，当时，也符合该式，则.（2）由（1）的结论得，则；则，两式错位相减可得：，.5.5.在等差