福建省龙岩高中2018-2019学年高二年级上册学期期中考试数学（理）试题【含答案】

1、福建省龙岩高中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合2，则等于A. B. C. 1，2，D. 0，1，2，C由得：，故，故选C.点睛：合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.解指数或对数不等式要注意底数对单调性的影响.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍.2.下列四个命题，真命

2、题的个数是若，则的充分不必要条件是命题“，”的否定为“，”A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个B【分析】讨论、和时，对应的取值范围即可；判断充分性与必要性是否成立即可；根据特称命题的否定为全称命题，判断即可【详解】对于，当时，时，无意义，时，错误；对于，时，不能得出，即充分性不成立；时，能得出，即必要性成立；是必要不充分条件，错误；对于，命题“，”的否定为“，”，正确综上，正确的命题序号是故选：B本题利用命题真假的判断考查了简易逻辑的应用问题，熟记基本不等式的应用条件，充要条件判定，全称与特称命题是关键，是基础题3.已知命题p：对，总有；命题q：“”是“”的充分不必要条件，则下列命题为真命

3、题的是A. B. C. D. D【分析】由指数函数的性质可得p为真命题，由充分必要条件的判定方法可知q为假命题，再由复合命题的真假判断得答案【详解】命题p：对，总有为真命题；由，不能得到，由，能够得到，“”是“”的必要不充分条件，故q为假命题为假命题，为假命题，为假命题，为真命题故选：D本题考查充分必要条件的判定，考查复合命题的真假判断，是基础题4.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南方向直线航行，30分钟后到达B处在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南，在B处观察灯塔，其方向是北偏东，那么B、C两点间的距离是A. 海里B. 海里C. 海里D. 海里A如图，在中，,

4、则；由正弦定理得，得,即B、C两点间的距离是10n mile考点：解三角形5.钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=( )A. 5B. C. 2D. 1B由面积公式得：，解得，所以或，当时，由余弦定理得：=1，所以，又因为AB=1，BC=，所以此时为等腰直角三角形，不合题意，舍去；所以，由余弦定理得：=5，所以，故选B.考点：本小题主要考查余弦定理及三角形的面积公式，考查解三角形的基础知识.6.已知等比数列满足，则（ ）A. B. C. D. B由a1+a3+a5=21得 a3+a5+a7=，选B.7.已知等差数列的前5项和为15，则数列的前100项和为A. B. C. D. D

5、【分析】首先根据已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和【详解】等差数列的前5项和为15，设首项为，公差为d，则：，解得：，所以：所以：，则：，所以：，故选：D本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型8.设x，y满足约束条件，则的最大值为A. 10B. 8C. 3D. 2B试题分析：作出约束条件的可行域，如图，平移直线，当直线经过点时有最大值，由得，将代入得，即的最大值为，故选B考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题求目

6、标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值9.从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且是坐标原点，则该椭圆的离心率是A. B. C. D. C【分析】依题意，可求得点P的坐标，由，从而可得答案【详解】依题意，设，则，又，即，设该椭圆的离心率为e，则，椭圆的离心率故选：C本题考查椭圆的简单性质，求得点P的坐标是关键，考查分析与运算能力，属于中档

7、题10.设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且丨丨：丨丨：1，则的面积为A. 4B. 6C. D. A设丨PF2丨=x，则丨PF1丨=2x，依题意，丨PF1丨+丨PF2丨=x+2x=3x=2a=6，x=2，2x=4，即丨PF2丨=2，丨PF1丨=4，又|F1F2丨=2=2，+=，PF1F2为直角三角形，PF1F2的面积为S=丨PF1丨丨PF2丨=24=4故选A11.已知双曲线的一条渐近线与圆相交于A，B两点，若，则该双曲线曲离心率为A. 8B. C. 3D. C试题分析：双曲线的一条渐近线方程为，圆心为，半径为3，可知圆心到直线AB的距离为，解得，.考点：双曲线的离心率.12.已知双曲线C：

8、，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=A. B. 3C. D. 4B分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到，根据直角三角形的条件，可以确定直线的倾斜角为或，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得，利用两点间距离同时求得的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，从而得到，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，求得，所

9、以，故选B.点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在中，则B等于_【分析】利用正弦定理即可求得，再由知，从而可得答案【详解】在中，由正弦定理得：，又，故本题考查正弦定理，熟记正弦定理，在中，知是关键，属于基础题14.已知数列的前n项和，则数列的通项_当n=

10、1时，S1=1当n时，Sn15.已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，则的方程是_.试题分析：由题意得，斜率存在，设为 k，则直线l的方程为 y-2=k（x-4），即 kx-y+2-4k=0，代入椭圆的方程化简得 （1+4k2）x2+（16k-32 k2）x+64 k2-64k-20=0，解得 k=-，故直线l的方程为 x+2y-8=0考点：直线与圆锥曲线的关系16.函数，若对任意，存在，使得，则实数m的取值范围是_【分析】先分别求出和的值域，再根据列式可解得【详解】时，是减函数，所以，即，所以的值域为；时，是增函数，所以，即，所以值域为，根据题意可得所以，故实数m的取值范围是本题考查了指数函数

11、、二次函数的单调性、最值将转化为是关键，属中档题三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设p：，q：，且是的必要不充分条件，求实数a的取值范围【分析】求解绝对值的不等式化简p，由是的必要不充分条件，可得，但qp，则是不等式的解集的真子集，由此列关于a的不等式组求解【详解】由p：，得，即；若是的必要不充分条件，则，即，但qp是不等式的解集的真子集由，得，解得实数a的取值范围是本题考查充分必要条件的判定及其应用，熟练求解命题p,q是关键，考查数学转化思想方法，是中档题18.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，求的周长.（1）（2）试题分析：（1）根据正弦定

12、理把化成，利用和角公式可得从而求的角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长.试题解析：（1）由已知可得（2）又，的周长为考点：正余弦定理解三角形.19.已知数列的前n项和为，且，求数列的通项公式；设，求数列的前n项和（1）（2）【分析】通过，得，两式相减即得数列是首项为2，公比为2的等比数列，计算即可；由得，计算出、，两式相减即可【详解】，即，两式相减，得，即，又，即数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以；设，则，两式相减，得：本题考查数列的递推关系，通项公式，前n项和，错位相减法，利用错位相减法是解决本题的关键，属于中档题20.设x，y满足约束条件，目标函数的最大

13、值为2作出可行域；求的值；若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围（1）见解析（2）（3）【分析】画出不等式组表示的平面区域即可；由图形知目标函数过直线与的交点时，z取得最大值，由此求得的值；由题意求得的最小值，把命题转化为关于x的一元二次不等式恒成立问题，利用判别式求出m的取值范围【详解】画出约束条件表示的平面区域，如图阴影部分所示；由图形知，当直线过直线与的交点时，目标函数取得最大2，即；由题意，；当且仅当时等号成立，所以的最小值是；不等式对任意恒成立，等价于对任意恒成立；即，解得实数m的取值范围是本题考查了简单的线性规划问题，也考查了利用基本不等式求最值的应用问题，熟记线性规划方法，熟练

14、运用基本不等式，及不等式恒成立问题的转化是关键， 是中档题21.已知双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为，过点求双曲线C的标准方程；是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由（1）（2）直线l不存在详见解析【分析】设出双曲线方程，利用双曲线经过P，求解即可假设直线l存在由已知条件利用点差法求出直线l的方程为，联立方程组，得，由，推导出直线l不存在【详解】双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为，设双曲线方程为：，过点可得，所求双曲线方程为：假设直线l存在设是弦MN的中点，且，则，N在双曲线上，直线l的方程为，即，联立方程组，得，直线l与双曲线无交点，直线l不存在本题考查双曲线与直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法和根的判别式的合理运用22.如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆的离心率为，过椭圆由焦点F作两条互相垂直的弦AB与当直线AB斜率为0时，弦AB长4求椭圆的方程；若求直线AB的方程（1）（2）或【分析】，又，解得：，即可求出椭圆的方程