2020年四川省泸州市中考数学试卷（解析版）

第21页（共21页）2020年四川省泸州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．（3分）2的倒数是A． B． C．2 D．【分析】根据倒数的概念求解．【解答】解：2的倒数是．故选：．【点评】主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是倒数的性质：负数的倒数是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．2．（3分）将867000用科学记数法表示为A． B． C． D．【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．【解答】解：，故选：．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．3．（3分）如图所示的几何体的主视图是A． B． C． D．【分析】找到从几何体的正面看所得到的图形即可．【解答】解：从正面看是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的实线．故选：．【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．4．（3分）在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位长度，得到的对应点的坐标为A． B． C． D．【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．【解答】解：将点先向右平移4个单位，点的对应点的坐标是，即．故选：．【点评】本题考查坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：左右移动改变点的横坐标，左减、右加；上下移动改变点的纵坐标，下减、上加．5．（3分）下列正多边形中，不是中心对称图形的是A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形的概念结合选项的图形进行判断即可．【解答】解：．正方形是中心对称图形，故本选项不合题意；．正五边形不是中心对称图形，故本选项符合题意；．正六边形是中心对称图形，故本选项不合题意；．正八边形是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：．【点评】本题考查了中心对称图形的知识，要注意中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后重合．6．（3分）下列各式运算正确的是A． B． C． D．【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则逐一判断即可．【解答】解：．与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；．与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；．，故本选项不合题意；．，故本选项符合题意．故选：．【点评】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．7．（3分）如图，中，，．则的度数为A． B． C． D．【分析】先根据圆周角定理得到，再利用三角形内角和计算出，然后根据圆周角定理得到的度数．【解答】解：，，，．故选：．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．8．（3分）某语文教师调查了本班10名学生平均每天的课外阅读时间，统计结果如下表所示：课外阅读时间（小时）0.511.52人数2341那么这10名学生平均每天的课外阅读时间的平均数和众数分别是A．1.2和1.5 B．1.2和4 C．1.25和1.5 D．1.25和4【分析】根据中位数、众数的计算方法求出结果即可．【解答】解：10名学生的每天阅读时间的平均数为；学生平均每天阅读时间出现次数最多的是1.5小时，共出现4次，因此众数是1.5；故选：．【点评】本题考查平均数、众数的意义和计算方法，掌握平均数的计算方法是正确计算的前提．9．（3分）下列命题是假命题的是A．平行四边形的对角线互相平分 B．矩形的对角线互相垂直 C．菱形的对角线互相垂直平分 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等【分析】根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质判断即可．【解答】解：、平行四边形的对角线互相平分，是真命题；、矩形的对角线互相相等，不是垂直，原命题是假命题；、菱形的对角线互相垂直平分，是真命题；、正方形的对角线互相垂直平分且相等，是真命题；故选：．【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．10．（3分）已知关于的分式方程的解为非负数，则正整数的所有个数为A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，可得答案．【解答】解：去分母，得：，移项、合并，得：，分式方程的解为非负数，且，解得：且，整数解有0，1，2，4，5共5个，故选：．【点评】本题考查了分式方程的解，先求出分式方程的解，再求出不等式的解．11．（3分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若，是边的两个“黄金分割”点，则的面积为A． B． C． D．【分析】作于，如图，根据等腰三角形的性质得到，则根据勾股定理可计算出，接着根据线段的“黄金分割”点的定义得到，则计算出，然后根据三角形面积公式计算．【解答】解：作于，如图，，，在中，，，是边的两个“黄金分割”点，，，．故选：．【点评】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个．也考查了等腰三角形的性质．12．（3分）已知二次函数（其中是自变量）的图象经过不同两点，，且该二次函数的图象与轴有公共点，则的值为A． B．2 C．3 D．4【分析】求出抛物线的对称轴，再由抛物线的图象经过不同两点，，也可以得到对称轴为，可得，再根据二次函数的图象与轴有公共点，得到，进而求出、的值．【解答】解：由二次函数的图象与轴有公共点，，即①，由抛物线的对称轴，抛物线经过不同两点，，，即，②，②代入①得，，即，因此，，，故选：．【点评】本题考查二次函数的图象和性质，理解抛物线的对称性、二次函数与一元二次方程的关系是解决问题的关键．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）．13．（3分）函数的自变量的取值范围是．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：根据题意得，，解得．故答案为：．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负数．14．（3分）若与是同类项，则的值是3．【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，据此可得的值．【解答】解：与是同类项，，解得，故答案为：3．【点评】本题考查了同类项的概念，同类项与系数的大小无关；同类项与它们所含的字母顺序无关．15．（3分）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是2．【分析】根据根与系数的关系求解．【解答】解：根据题意得则，所以，故答案为2．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个为，，则，．16．（3分）如图，在矩形中，，分别为边，的中点，与、分别交于点，．已知，，则的长为．【分析】延长、交于，延长和，交于，根据勾股定理求出，根据矩形的性质求出，根据全等三角形的性质得出，，根据相似三角形的判定得出，，根据相似三角形的性质得出比例式，求出和的长，即可得出答案．【解答】解：延长、交于，如图1，四边形是矩形，，，，，为中点，，在中，由勾股定理得：，，，为的中点，，，在和中，，即，，，，，，，延长和，交于，如图2，同理，，，，，，，解得：，，故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，相似三角形的性质和判定，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分．17．（6分）计算：．【分析】直接利用绝对值以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．（6分）如图，平分，．求证：．【分析】由“”可证，可得．【解答】证明：平分，，又，，，．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是本题的关键．19．（6分）化简：．【分析】根据分式的混合运算顺序和运算法则进行计算．【解答】解：原式．【点评】本题主要考查了分式的混合运算，熟记分式混合运算的顺序和各类运算法则是解题的关键．四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分．20．（7分）某汽车公司为了解某型号汽车在同一条件下的耗油情况，随机抽取了辆该型号汽车耗油所行使的路程作为样本，并绘制了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题：（1）求的值，并补全频数分布直方图；（2）若该汽车公司有600辆该型号汽车．试估计耗油所行使的路程低于的该型号汽车的辆数；（3）从被抽取的耗油所行使路程在，这两个范围内的4辆汽车中，任意抽取2辆，求抽取的2辆汽车来自同一范围的概率．【分析】（1）由组的车辆数及其所占百分比求得的值；求出组的车辆数，补全频数分布直方图即可；（2）由总车辆数乘以乘以耗油所行使的路程低于的汽车的辆数所占的比例即可；（3）画出树状图，由概率公式求解即可．【解答】解：（1），即，组的车辆为：（辆，补全频数分布直方图如图：（2）（辆，即估计耗油所行使的路程低于的该型号汽车的辆数为150辆；（3）设行使路程在范围内的2辆车记为为、，行使路程在范围内的2辆车记为、，画树状图如图：共有12个等可能的结果，抽取的2辆汽车来自同一范围的结果有4个，抽取的2辆汽车来自同一范围的概率为．【点评】本题考查了列表法或画树状图法、频数分布直方图和扇形统计图的有关知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．21．（7分）某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛，计划购买甲、乙两种奖品共30件．其中甲种奖品每件30元，乙种奖品每件20元．（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费800元，那么这两种奖品分别购买了多少件？（2）若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍．如何购买甲、乙两种奖品，使得总花费最少？【分析】（1）设甲种奖品购买了件，乙种奖品购买了件，利用购买甲、乙两种奖品共花费了800元列方程，然后解方程求出，再计算即可；（2）设甲种奖品购买了件，乙种奖品购买了件，设购买两种奖品的总费用为元，由购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍，可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再由总价单价数量，可得出关于的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：（1）设甲种奖品购买了件，乙种奖品购买了件，根据题意得，解得，则，答：甲种奖品购买了20件，乙种奖品购买了10件；（2）设甲种奖品购买了件，乙种奖品购买了件，设购买两种奖品的总费用为元，根据题意得，解得，，，随的增大而减小，时，有最小值为：．答：当购买甲种奖品8件、乙种奖品22件时，总花费最小，最小费用为680元．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用：对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解；一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分．22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，且点的坐标为．（1）求该一次函数的解析式；（2）求的面积．【分析】（1）根据反比例函数可得点的坐标，把代入一次函数中可得的值，从而得一次函数的解析式；（2）利用面积和可得的面积．【解答】解：（1）如图，点在反比例函数的图象上，，，，把代入一次函数中得：，，该一次函数的解析式为：；（2）由得：，，，当时，，即，的面积．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数交点坐标同时满足反比例函数与一次函数解析式．解决问题的关键是确定一次函数的解析式．23．（8分）如图，为了测量某条河的对岸边，两点间的距离．在河的岸边与平行的直线上取两点，，测得，，，量得长为70米．求，两点间的距离（参考数据：，，．【分析】通过作辅助线，在三个直角三角形中，根据边角关系，分别求出、、、，进而求出答案．【解答】解：过点、分别作，，垂足为、，在中，，，在中，，，，，，在中，，，，答：，两点间的距离为米，【点评】本题考查直角三角形的边角关系的应用，掌握直角三角形的边角关系以及几个直角三角形之间的关系是正确解答的关键．六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分．24．（12分）如图，是的直径，点在上，的延长线与过点的切线交于点，为线段上的点，过点的弦于点．（1）求证：；（2）已知．，且，求的长．【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据切线的性质得到，得到，根据圆周角定理即可得到结论；（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：连接，是的直径，，，是的切线，，，，，；（2）解：，，，，，，，，，，，，，，，，，连接，，是的直径，，，，，，，，．【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，正