2020年四川省遂宁市中考数学试卷(解析版)

第26页（共26页）2020年四川省遂宁市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．）1．（4分）的相反数是A．5 B． C． D．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．【解答】解：的相反数是5，故选：．【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2．（4分）已知某种新型感冒病毒的直径为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为A． B． C． D．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：．故选：．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．（4分）下列计算正确的是A． B． C． D．【分析】根据整式的加减、乘除分别进行计算，再判断即可．【解答】解：与不是同类项，不能合并，因此选项不正确；根据完全平方公式可得，因此选项不正确；，因此选项不正确；，因此选项正确；故选：．【点评】考查整式的加减、乘除的计算法则，掌握计算方法是正确计算的前提．4．（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是A．等边三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．正五边形【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形．故本选项不合题意；、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项符合题意；、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意．故选：．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5．（4分）函数中，自变量的取值范围是A． B． C．且 D．且【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不为0，列不等式组可求得自变量的取值范围．【解答】解：根据题意得：解得：且．故选：．【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．6．（4分）关于的分式方程有增根，则的值A． B． C． D．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出的值即可【解答】解：去分母得：，由分式方程有增根，得到，即，把代入整式方程得：，解得：，故选：．【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．7．（4分）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交于点，交的延长线于点，若，则的值为A． B． C． D．【分析】由，可以假设，则，，证明，，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．【解答】解：由，可以假设，则，，四边形是平行四边形，，，，，，平分，，，，，，，，，故选：．【点评】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．8．（4分）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论不正确的是A． B． C． D．为任意实数）【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．【解答】解：由图象可得：，，△，，，，故选项不合题意，，故选项不合题意，当时，，，，即，故选项符合题意，当时，，当时，有最小值为，，，故选项不合题意，故选：．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系，本题属于基础题型．9．（4分）如图，在中，，，点在上，经过点的与相切于点，交于点，若，则图中阴影部分面积为A． B． C． D．【分析】连接，于，如图，根据切线的性质得到，则四边形为矩形，所以，则，接着计算出，，然后利用扇形的面积公式，利用图中阴影部分面积进行计算．【解答】解：连接，过作于，如图，，，，与相切于点，，四边形为矩形，，在中，，，在中，，，，图中阴影部分面积．故选：．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了扇形面积的计算．10．（4分）如图，在正方形中，点是边的中点，连接、，分别交、于点、，过点作交的延长线于，下列结论：①，②，③，④若四边形的面积为4，则该正方形的面积为36，⑤．其中正确的结论有A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【分析】①正确．证明，再利用三角形的外角的性质即可解决问题．②正确．利用四点共圆证明即可．③正确．设，求出，即可解决问题．④错误，通过计算正方形的面积为48．⑤正确．利用相似三角形的性质证明即可．【解答】解：如图，连接．四边形是正方形，，，，，，，，，故①正确，连接．，，，，，四点共圆，，，，故②正确，设，则，，，即，故③正确，根据对称性可知，，，，，，，，，，，，，故④错误，，，，，，，故⑤正确，故选：．【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）11．（4分）下列各数3.1415926，，，，，，中，无理数的个数有3个．【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数，找出无理数的个数．【解答】解：在所列实数中，无理数有，，这3个，故答案为：3．【点评】本题考查了无理数的知识，解答本题的掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．12．（4分）一列数4、5、4、6、、5、7、3中，其中众数是4，则的值是4．【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，根据众数的定义求出这组数的众数即可．【解答】解：根据众数定义就可以得到：．故答案为：4．【点评】此题考查了众数，熟练掌握众数是一组数据中出现次数最多的数是解题的关键．13．（4分）已知一个正多边形的内角和为，则它的一个外角的度数为36度．【分析】首先设此多边形为边形，根据题意得：，即可求得，再由多边形的外角和等于，即可求得答案．【解答】解：设此多边形为边形，根据题意得：，解得：，这个正多边形的每一个外角等于：．故答案为：36．【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．关键是掌握多边形内角和定理：，外角和等于．14．（4分）若关于的不等式组有且只有三个整数解，则的取值范围是．【分析】解不等式组得出其解集为，根据不等式组有且只有三个整数解得出，解之可得答案．【解答】解：解不等式，得：，解不等式，得：，则不等式组的解集为，不等式组有且只有三个整数解，，解得，故答案为：．【点评】此题考查了不等式组的整数解，关键是根据不等式组的整数解求出取值范围，用到的知识点是一元一次不等式的解法．15．（4分）如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“”的个数为，第2幅图中“”的个数为，第3幅图中“”的个数为，，以此类推，若．为正整数），则的值为4039．【分析】先根据已知图形得出，代入到方程中，再将左边利用裂项化简，解分式方程可得答案．【解答】解：由图形知，，，，，，，，，解得，经检验：是分式方程的解，故答案为：4039．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出及．三、计算或解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．（7分）计算：．【分析】先化简二次根式、代入三角函数值、去绝对值符号、计算负整数指数幂和零指数幂，再计算乘法，最后计算加减可得．【解答】解：原式．【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握二次根式和绝对值的性质、熟记特殊锐角三角函数值、负整数指数幂与零指数幂的规定．17．（7分）先化简，，然后从范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的的值代入计算可得．【解答】解：原式，，可取，则原式．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．18．（8分）如图，在中，，点、分别是线段、的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接．（1）求证：；（2）求证：四边形为矩形．【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到，推出四边形是平行四边形，根据等腰三角形的性质得到，于是得到结论．【解答】证明：（1），，是线段的中点，，，；（2），，是线段的中点，，，，四边形是平行四边形，，，，四边形为矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．19．（8分）在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点垂直起飞到达点处，测得1号楼顶部的俯角为，测得2号楼顶部的俯角为，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且和分别垂直地面于点和，点为的中点，求2号楼的高度．（结果精确到（参考数据，，，，，【分析】通过作辅助线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，分别求出，，进而计算出2号楼的高度即可．【解答】解：过点、分别作，，垂足分别为、，由题意得，，，，，，，在中，，，在中，，，，答：2号楼的高度约为45.8米．【点评】本题考查直角三角形的边角关系，构造直角三角形是常用的方法，掌握边角关系是正确解答的关键．20．（9分）新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买、两种花苗．据了解，购买种花苗3盆，种花苗5盆，则需210元；购买种花苗4盆，种花苗10盆，则需380元．（1）求、两种花苗的单价分别是多少元？（2）经九年级一班班委会商定，决定购买、两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆种花苗，种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？【分析】（1）设、两种花苗的单价分别是元和元，则，即可求解；（2）设购买花苗盆，则购买花苗为盆，设总费用为元，由题意得：，即可求解．【解答】解：（1）设、两种花苗的单价分别是元和元，则，解得，答：、两种花苗的单价分别是20元和30元；（2）设购买花苗盆，则购买花苗为盆，设总费用为元，由题意得：，．故有最大值，当时，的最大值为265，当时，的最小值为216，故本次购买至少准备216元，最多准备265元．【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在时取得．21．（9分）阅读以下材料，并解决相应问题：小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数，、、是常数）与，、、是常数）满足，，，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数的旋转函数，小明是这样思考的，由函数可知，，，，根据，，，求出，，就能确定这个函数的旋转函数．请思考小明的方法解决下面问题：（1）写出函数的旋转函数．（2）若函数与互为旋转函数，求的值．（3）已知函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点、、关于原点的对称点分别是、、，试求证：经过点、、的二次函数与互为“旋转函数”．【分析】（1）由二次函数的解析式可得出，，的值，结合“旋转函数”的定义可求出，，的值，此问得解；（2）由函数与互为“旋转函数”，可求出，的值，将其代入即可求出结论；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点，，的坐标，结合对称的性质可求出点，，的坐标，由点，，的坐标，利用交点式可求出过点，，的二次函数解析式，由两函数的解析式可找出，，，，，的值，再由，，可证出经过点，，的二次函数与函数互为“旋转函数”．【解答】解：（1）由函数可知，，，，，，，，，，函数的“旋转函数”为；（2）与互为“旋转函数”，，解得：，．（3）证明：当时，，点的坐标为．当时，，解得：，，点的坐标为，点的坐标为．点，，关于原点的对称点分别是，，，，，．设过点，，的二次函数解析式为，将代入，得：，解得：，过点，，的二次函数解析式为，即．，，，，，，，，，，经过点，，的二次函数与函数互为“旋转函数”．【点评】本题考查了相反数、二次函数图象上点的坐标特征、对称的性质以及待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是：（1）利用“旋转函数”的定义求出，，的值；（2）利用“旋转函数”的定义求出，的值；（3）根据点的坐标，利用待定系数法求出过点，，的二次函数解析式．22．（10分）端午节是中国的传统节日．今年端午节前夕，遂宁市某食品厂抽样调查了河东某居民区市民对、、、四种不同口味粽子样品的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图：（1）本次参加抽样调查的居民有600人．（2）喜欢种口味粽子的人数所占圆心角为度．根据题中信息补全条形统计图．（3）若该居民小区有6000人，请你估计爱吃种粽子的有人．（4）若有外型完全相同的、、、棕子各一个，煮熟后，小李吃了两个，请用列表或画树状图的方法求他第二个吃的粽子恰好是种粽子的概率．【分析】（1）用喜欢种口味粽子的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；（2）先计算出喜欢种口味粽子的人数，再计算出喜欢种口味粽子的人数，则用360度乘以喜欢种口味粽子的人数所占的百分比得到它在扇形统计图中所占圆心角的度数，然后补全条形统计图；（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出他第二个吃的粽子恰好是种粽子的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）（人，所以本次参加抽样调查的居民有60人；（2）喜欢种口味粽子的人数为（人，喜欢种口味粽子的人数为（人，所以喜欢种口味粽子的人数所占圆心角的度数为；补全条形统计图为：（3），所以估计爱吃种粽子的有2400人；故答案为600；72；2400；（4）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中他第二个吃的粽子恰好是种粽子的结果数为3，所以他第二个吃的粽子恰好是种粽子的概率．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点的坐标为，连结，以为边在第一象限内作正方形，直线交双曲线于、两点，连结，交轴于点．（1）求双曲线和直线的解析式．（2）求的面积．【分析】（1）作轴于，通过证得，求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得双曲线和直线的解析式．（2）解析式联立求得的坐标，然后根据勾股定理求得和，进而求得的长，即可根据三角形面积公式求得的面积．【解答】解：点的坐标为，点的坐标为，，，作轴于，四边形是正方形，，，，，，在和中，，，，，双曲线经过点，，双曲线为，设直线的解析式为，把，代入得，解得，直线的解析式为；（2）连接，交于，四边形是正方形，垂直平分，，解得或，，，，，，，．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了正方形的性质、待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，勾股定理的应用，求得、的坐标是解题的关键．24．（10分）如图，在中，，为边上的一点，以为直径的交于点，交于点，过点作交于点，交于点，过点的弦交于点不是直径），点为弦的中点，连结，恰好为的切线．（1）求证：是的切线．（2）求证：．（3）若，，求四边形的面积．【分析】（1）连接，，根据线段垂直平分线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定和性质定理即可得到结论．（2）根据平行线和等腰三角形的性质即可得到结论．（3）根据垂径定理得到，根据平行线和等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，推出四边形是菱形，解直角三角形得到，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：连接，，，点为弦的中点，垂直平分，，，，，，为的切线，，，，是的切线．（2）